高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1_5_1 曲邊梯形的面積 1_5.2 汽車行駛的路程高效測評 新人教A版選修2-2

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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程高效測評 新人教A版選修2-2 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列函數(shù)在其定義域上不是連續(xù)函數(shù)的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　　　 B．y＝|x| C．y＝ D．y＝ 解析：　由于函數(shù)y＝的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，故其圖象不是連續(xù)不斷的曲線． 答案：　D 2．當(dāng)n很大時，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間上的值可以用下列哪個值近似代替(　　) A．f B．f C．f D．f(0) 解析：　當(dāng)n很大時，f(x)＝x2在區(qū)間上的值可用該區(qū)間上任何一點(diǎn)的函數(shù)值近似代替，顯然可以用左端點(diǎn)或右端點(diǎn)的函數(shù)值近似代替． 答案：　C 3．對于由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊三角形，把區(qū)間3等分，則曲邊三角形面積的近似值(取每個區(qū)間的左端點(diǎn))是(　　) A． B． C． D． 解析：　將區(qū)間[0,1]三等分為，，，各小矩形的面積和為s1＝03＋3＋3＝. 答案：　A 4．若做變速直線運(yùn)動的物體v(t)＝t2在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過的路程為9，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　將區(qū)間[0，a]n等分，記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，此區(qū)間長為，用小矩形面積2近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，則Sn＝2＝(12＋22＋…＋n2)＝，依題意得 ＝9，∴＝9，解得a＝3. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知某物體運(yùn)動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動的路程近似值為________． 解析：　∵把區(qū)間[0,10]10等分后，每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n＝1,2，…，10)，每個小區(qū)間的長度為1. ∴物體運(yùn)動的路程近似值S＝1(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：　55 6．求由拋物線f(x)＝x2，直線x＝1以及x軸所圍成的平面圖形的面積時，若將區(qū)間[0,1]5等分，如圖所示，以小區(qū)間中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，所有小矩形的面積之和為________． 解析：　由題意得 S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)0.2＝0.33. 答案：　0.33 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝所圍成的曲邊梯形的面積． 解析：　令f(x)＝. (1)分割 將區(qū)間[0,2]n等分，分點(diǎn)依次為 x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2. 第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，每個區(qū)間長度為Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)， Sn＝Δx＝2＝2 ＝(12＋22＋…＋n2)＝ ＝. (3)取極限S＝Sn＝ ＝，即所求曲邊梯形的面積為. 8．汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動．在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋2(單位：km/h)，那么它在0≤t≤1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？ 解析：?、俜指睿簩r間區(qū)間[0,1]分為n等份，形成n個小區(qū)間[ti－1，ti]＝(i＝1,2，…，n)，且每個小區(qū)間長度為Δti＝(i＝1,2，…，n)．汽車在每個時間段上行駛的路程分別記作：Δs1，Δs2，…，Δsn. 則顯然有s＝si. ②近似代替：當(dāng)n很大，即Δt很小時，在區(qū)間上，函數(shù)v(t)＝－t2＋2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值v＝－2＋2.從物理意義看，就是汽車在時間段(i＝1,2，…，n)上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時刻處的速度v＝－2＋2做勻速行駛，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”．于是 Δsi≈Δs′i＝vΔt＝ ＝－2＋(i＝1,2，…，n)． (*) ③求和：由(*)得sn＝s′i＝Δt ＝ ＝－0－2－…－2＋2 ＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2 ＝－＋2 ＝－＋2. ④取極限：當(dāng)n趨向于無窮大，即Δt趨向于0時， sn＝－＋2趨向于s，從而有 s＝sn＝v ＝ ＝.  ☆☆☆ 9．(10分)求由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝x3所圍成的圖形的面積． 解析：?、俜指? 如圖所示，用分點(diǎn)，，…，，把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，，…，，…，，每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝(i＝1,2,3，…，n)．過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. ②近似代替 各小區(qū)間的左端點(diǎn)為ξi，取以點(diǎn)ξi的縱坐標(biāo)ξ為一邊，以小區(qū)間 長Δx＝為其鄰邊的小矩形面積，近似代替小曲邊梯形面積．第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為ΔSi≈ξΔx＝3(i＝1,2,3，…，n)． ③求和 因?yàn)槊恳粋€小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即S＝Si≈3. ④取極限 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目越多，即Δx越小時，和式的值就越接近曲邊梯形ABCD的面積S.因此n→∞，即Δx→0時，和式的極限，就是所求的曲邊梯形ABCD的面積． 因?yàn)?＝(n＋i－1)3 ＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3] ＝[n(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)(n＋1)(2n＋1)＋n2(n＋1)2]， 所以S＝3 ＝1＋＋1＋＝.