高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評8 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 新人教A版選修1-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評8 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 一、選擇題 1．點A(a,1)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是(　　) A．－＜a＜　　　　　 B．a(chǎn)＜－或a＞ C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1 【解析】　∵點A(a,1)在橢圓＋＝1內(nèi)部， ∴＋＜1.∴＜. 則a2＜2，∴－＜a＜. 【答案】　A 2．已知直線y＝kx＋1和橢圓x2＋2y2＝1有公共點，則k的取值范圍是(　　) A．k＜－或k＞ B．－＜k＜ C．k≤－或k≥ D．－≤k≤ 【解析】　由 得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0. ∵直線與橢圓有公共點． ∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0， 則k≥或k≤－. 【答案】　C 3．(2016重慶高二檢測)過橢圓＋＝1的一個焦點F作垂直于長軸的弦，則此弦長為(　　) A. B．3 C．2 D. 【解析】　因為F(1,0)，所以過橢圓的焦點F且垂直于長軸的弦與橢圓的交點坐標(biāo)為，所以弦長為3. 【答案】　B 4．直線y＝x＋1被橢圓＋＝1所截得線段的中點的坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 【解析】　聯(lián)立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.設(shè)交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點M(x0，y0)． ∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝， ∴中點坐標(biāo)為. 【答案】　C 5．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的右焦點作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：26160041】 A．－3 B．－ C．－或－3 D． 【解析】　橢圓右焦點為(1,0)， 設(shè)l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把y＝x－1代入＋y2＝1， 得3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B， ∴＝－. 【答案】　B 二、填空題 6．直線l過定點A(－3,0)，則過點A的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為________． 【解析】　∵A(－3,0)為橢圓長軸一個頂點， ∴當(dāng)過點A作橢圓切線時，直線與橢圓有一個公共點(即切點)；當(dāng)過點A作與橢圓相交的直線時，二者有兩個交點，故填1或2. 【答案】　1或2 7．已知動點P(x，y)在橢圓＋＝1上，若A點坐標(biāo)為(3,0)，||＝1，且PA＝0，則|P|的最小值是________． 【解析】　易知點A(3,0)是橢圓的右焦點． ∵PA＝0， ∴A⊥P. ∴|P|2＝|A|2－|A|2＝|A|2－1， ∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小，故|A|min＝2， ∴|P|min＝. 【答案】　 8．過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為________． 【解析】　由題意知，右焦點坐標(biāo)為(1,0)，直線的方程為y＝2(x－1)，將其與＋＝1聯(lián)立，消去y，得3x2－5x＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝. 設(shè)原點到直線的距離為d，則d＝＝. 所以S△OAB＝|AB|d＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．已知橢圓＋＝1，直線l：y＝4x＋，若橢圓上存在兩點P、Q關(guān)于直線l對稱，求直線PQ的方程． 【解】　法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則kPQ＝－. 設(shè)PQ所在直線方程為y＝－＋b. 由消去y，得 13x2－8bx＋16b2－48＝0. ∴Δ＝(－8b)2－413(16b2－48)＞0. 解得b2＜，x1＋x2＝， 設(shè)PQ中點為M(x0，y0)，則有 x0＝＝，y0＝－＋b＝. ∵點M在直線y＝4x＋上， ∴＝4＋，∴b＝－. 直線PQ的方程為y＝－x－， 即2x＋8y＋13＝0. 法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， M(x0，y0)是PQ的中點． 則有兩式相減，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， ∴＝－＝－kPQ. ∵kPQ＝－，∴y0＝3x0. 代入直線y＝4x＋， 得x0＝－，y0＝－， 則直線PQ的方程為y＋＝－， 即2x＋8y＋13＝0. 10．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點，過F1的直線l與E相交A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求|AB|； (2)若直線l的斜率為1，求b的值． 【解】　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝. (2)直線l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標(biāo)滿足方程組 化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝. 因為直線AB的斜率為1， 所以|AB|＝|x1－x2|， 即＝|x1－x2|. 所以(x1＋x2)2－4x1x2＝， 即－＝＝， 解得b2＝或b2＝－(舍去)， 又b＞0，∴b＝. [能力提升] 1．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，A(－a,0)，B(0，b)為橢圓的兩個頂點，若點F到AB的距離為，則橢圓的離心率為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 【解析】　直線AB的方程是＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.因為點F的坐標(biāo)為(－c,0)，所以＝，化簡，得8c2－14ac＋5a2＝0，兩端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝. 【答案】　C 2．已知橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，直線l：x＝2，點A∈l，線段AF交橢圓C于點B，若F＝3F，則|A|＝(　　) A. B．2 C. D．3 【解析】　設(shè)點A(2，n)，B(x0，y0)． 由橢圓C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即c＝1，∴右焦點F(1,0)． 由F＝3F，得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0. ∴x0＝，y0＝n. 將x0，y0代入＋y2＝1，得 2＋2＝1.解得n2＝1， ∴|A|＝＝＝. 【答案】　A 3．若直線y＝kx＋1與曲線x＝有兩個不同的交點，則k的取值范圍是________． 【解析】　由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)， 又∵直線y＝kx＋1過定點(0,1)， 故問題轉(zhuǎn)化為過定點(0,1)的直線與橢圓在y軸右側(cè)的部分有兩個公共點，當(dāng)直線與橢圓(右側(cè)部分)相切時， k＝－，則相交時k＜－. 【答案】　 4．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，A＝2F. (1)求橢圓C的離心率； 【導(dǎo)學(xué)號：26160042】 (2)如果|AB|＝，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0. (1)直線l的方程為y＝(x－c)， 其中c＝. 聯(lián)立，得 消去x，得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝ 因為A＝2F，所以－y1＝2y2， 即＝2， 得離心率e＝＝. (2)因為|AB|＝|y2－y1|， 所以＝. 由＝，得b＝a，所以a＝，所以a＝3，b＝. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.