高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯分析8 推理與證明、復(fù)數(shù)、算法練習(xí) 理

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8.推理與證明、復(fù)數(shù)、算法 1．歸納推理和類比推理 共同點(diǎn)：兩種推理的結(jié)論都有待于證明． 不同點(diǎn)：歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理． [問題1]　(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)＝________. (2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ 答案　(1)　(2)D 2．證明方法：綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因．反證法是常用的間接證明方法，利用反證法證明問題時(shí)一定要理解結(jié)論的含義，正確進(jìn)行反設(shè)． [問題2]　用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_____________． 答案　三角形三個內(nèi)角都大于60 3．復(fù)數(shù)的概念 對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，a叫做實(shí)部，b叫做虛部；當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi叫做純虛數(shù)． [問題3]　若復(fù)數(shù)z＝lg(m2－m－2)＋ilg(m2＋3m＋3)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案?。? 4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則相同，主要是除法法則的運(yùn)用，另外復(fù)數(shù)中的幾個常用結(jié)論應(yīng)記熟： (1)(1i)2＝2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)設(shè)ω＝－i，則ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. [問題4]　已知復(fù)數(shù)z＝，是z的共軛復(fù)數(shù)，則||＝________. 答案　1 5．(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)中幾個常用變量： ①計(jì)數(shù)變量：用來記錄某個事件發(fā)生的次數(shù)，如i＝i＋1. ②累加變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之和，如s＝s＋i. ③累乘變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之積，如p＝pi. (2)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題，關(guān)鍵是理解認(rèn)清終止循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件及循環(huán)次數(shù)． [問題5]　執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出S的值為________． 答案　2 解析　由算法知，記第k次計(jì)算結(jié)果為Sk，則有S1＝＝－1，S2＝＝，S3＝＝2，S4＝＝－1＝S1， 因此{(lán)Sk}是周期數(shù)列，周期為3，輸出結(jié)果為S2 016＝S3＝2. 易錯點(diǎn)1　復(fù)數(shù)概念不清 例1　設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虛部是實(shí)部的2倍，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題有兩個方面，一是混淆復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部；二是計(jì)算時(shí)，錯用運(yùn)算法則導(dǎo)致失誤． 解析?。剑剑?， 故該復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是. 由題意，知＝2. 解得a＝6.故選A. 答案　A 易錯點(diǎn)2　循環(huán)結(jié)束條件判斷不準(zhǔn) 例2　如圖所示是一算法的程序框圖，若此程序運(yùn)行結(jié)果為S＝720，則在判斷框中應(yīng)填入關(guān)于k的判斷條件是(　　) A．k≥6? B．k≥7? C．k≥8? D．k≥9? 易錯分析　本題可以按照開始的輸入值、程序執(zhí)行的規(guī)律和輸出結(jié)果進(jìn)行綜合解決．容易出錯的就是不清楚這個判斷條件是什么，本題是當(dāng)不滿足判斷框中的條件時(shí)結(jié)束循環(huán)，當(dāng)判斷框中的條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)，故應(yīng)該從k＝10開始按照遞減的方式逐步進(jìn)行，直到S的輸出結(jié)果為720. 解析　第一次運(yùn)行結(jié)果為S＝10，k＝9，第二次運(yùn)行結(jié)果為S＝109＝90，k＝8；第三次運(yùn)行結(jié)果為S＝720，k＝7.這個程序滿足判斷框的條件時(shí)執(zhí)行循環(huán)，故判斷條件是k≥8？.故選C. 答案　C 易錯點(diǎn)3　類比不當(dāng) 例3　已知圓的面積S(R)＝πR2，顯然S′(R)＝2πR表示的是圓的周長：C＝2πR.把該結(jié)論類比到空間，寫出球中的類似結(jié)論：_____________. 易錯分析　該題易出現(xiàn)的問題是從平面圓類比到空間球的結(jié)論時(shí)缺乏對應(yīng)特點(diǎn)的分析，誤以為是球的表面積的導(dǎo)數(shù)問題，而無法得到正確的結(jié)論． 解析　平面圖形的面積應(yīng)該和空間幾何體的體積問題類比；平面圖形的周長應(yīng)和空間幾何體的表面積類比．所以半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導(dǎo)函數(shù)V′(R)＝3πR2＝4πR2，顯然表示的是球的表面積． 所以結(jié)論是：半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導(dǎo)函數(shù)表示的是球的表面積：S＝4πR2. 答案　半徑為R的球的體積為V(R)＝πR3，其導(dǎo)函數(shù)表示的是球的表面積：S＝4πR2 易錯點(diǎn)4　循環(huán)次數(shù)把握不準(zhǔn) 例4　執(zhí)行下邊的程序框圖，若p＝0.8，則輸出的n＝________. 易錯分析　容易陷入循環(huán)運(yùn)算的“黑洞”，出現(xiàn)運(yùn)算次數(shù)的偏差而致錯． 解析　順著框圖箭頭的走向列舉出有關(guān)的輸出數(shù)據(jù)，有 S：0＋＝，＋＝，＋＝＝0.875. n：　　2，　　 3，　　　　4. “0.875<0.8”判斷為“否”，輸出n＝4. 答案　4 1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析?。剑剑?＋i， ∴對應(yīng)點(diǎn)在第二象限． 2．用反證法證明命題：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個負(fù)數(shù)”的假設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個正數(shù) B．a(chǎn)，b，c，d全都為正數(shù) C．a(chǎn)，b，c，d全都為非負(fù)數(shù) D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個負(fù)數(shù) 答案　C 解析　用反證法證明命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一個負(fù)數(shù)”的否定是“a，b，c，d全都為非負(fù)數(shù)”，故C正確． 3．觀察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是(　　) A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 答案　B 解析　1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以歸納：等式左邊為連續(xù)自然數(shù)的和，有2n－1項(xiàng)，且第一項(xiàng)為n，則最后一項(xiàng)為3n－2，等式右邊均為2n－1的平方． 4．設(shè)f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個 答案　C 解析　f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，… ∴集合中共有3個元素． 5．設(shè)三角形ABC的三邊長分別為a、b、c，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個結(jié)論可知：若四面體S—ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體S—ABC的體積為V，則r等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則V＝VO—ABC＋VO—SAB＋VO—SAC＋VO—SBC，即V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，所以r＝. 6．定義某種運(yùn)算S＝a?b，運(yùn)算原理如圖所示，則式子[(2tan )?ln e]－[lg 100?()－1]的值是(　　) A．－3 B．－4 C．－8 D．0 答案　D 解析　由題意可知，程序框圖的運(yùn)算原理可視為函數(shù)S＝a?b＝ 所以2tan ?ln e＝2?1＝4， lg 100?()－1＝2?3＝4， 所以[(2tan )?ln e]－[lg 100?()－1]＝4－4＝0，故選D. 7．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 … 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)是________． 答案　 解析　前n－1行共用了個數(shù)，即個數(shù)，也就是說第n－1行的最后一個數(shù)就是，那么，第n(n≥3)行的從左至右的第三個數(shù)是＋3，也就是. 8．若復(fù)數(shù)z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(z1－z2)i的實(shí)部為________． 答案?。?0 解析　(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， 故(z1－z2)i的實(shí)部為－20. 9．在平面上有如下命題“O為直線AB外的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y，滿足＝x＋y，且x＋y＝1”，類比此命題，給出在空間相應(yīng)的一個正確命題是______________________________. 答案　O為平面ABC外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面ABC上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)x，y，z，滿足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1 10．某程序框圖如圖所示，現(xiàn)將輸出的(x，y)值依次記為：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，…，若程序運(yùn)行中輸出的一個數(shù)組是(x，－10)，則數(shù)組中的x＝________. 答案　32 解析　運(yùn)行第一次，輸出(1,0)，n＝3，x＝2，y＝－2； 運(yùn)行第二次，輸出(2，－2)，n＝5，x＝4，y＝－4； 運(yùn)行第三次，輸出(4，－4)，n＝7，x＝8，y＝－6； 運(yùn)行第四次，輸出(8，－6)，n＝9，x＝16，y＝－8； 運(yùn)行第五次，輸出(16，－8)，n＝11，x＝32，y＝－10； 運(yùn)行第六次，輸出(32，－10)．