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1、培優(yōu)點(diǎn)十二 數(shù)列求和
一、分組求和法
例1：設(shè)公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由題意，可求得，
，公差為，即，解得（舍）或，
所以，．
（2）
．
二、裂項(xiàng)相消法
例2：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），是公比為的等比數(shù)列，
又，解得，
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
通項(xiàng)公式為．
（2），
，
數(shù)列的前項(xiàng)和．
三、錯(cuò)位相減法
2、
例3：在數(shù)列中，有，；在數(shù)列中，有前項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由已知得數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，
在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以．
（2），
，
，
兩式相減有，
．
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列滿足，則前項(xiàng)和（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得：，
，，則．
2．已知遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，且，（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所
3、以，即，
化簡(jiǎn)得，解得(舍)或，
又，所以，．
3．設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，
則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵成等比數(shù)列，∴，即，
解得，，，．
4．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，令它的前項(xiàng)和為，
則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，
所以，則，解(舍去)或．
所以．故選A．
5．?dāng)?shù)列按如下規(guī)律排列，，，，，，，則它的前項(xiàng)和（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】觀察數(shù)列發(fā)現(xiàn)它的通項(xiàng)公式為，
，，
兩式相減可得，
4、．
6．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和．
7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，①，故②，
由②－①得，，即，
所以，故選C．
8．已知等差數(shù)列中，，，，則使成立的最大的值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
，，∴，
∴，
由，解得，
又在數(shù)列中為整數(shù)，∴最大的值為．故選B．
二、填空題
9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則它的前項(xiàng)和____
5、___．
【答案】
【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
．
10．等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________．
【答案】
【解析】在等差數(shù)列中，，，可得，，
所以數(shù)列的公差，，所以，
，
則數(shù)列的前項(xiàng)和．
11．已知數(shù)列中，，，前項(xiàng)和為．若，，
則數(shù)列的前項(xiàng)和為_______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?
所以．
所以，
又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，
所以，
又也滿足，所以，
所以．
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為
．
12．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前項(xiàng)和_______．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，，
符合通項(xiàng)公式，
所以有，
6、
可有，
兩式相減可得，
所以．
三、解答題
13．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意，它的前項(xiàng)和滿足，
并且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，有，解得或，
對(duì)任意，有，
當(dāng)時(shí)，有，
兩式相減并整理得，
而數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)舍去．
，．
（2）
．
14．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解
7、析．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為()．
由題意得，則，
化簡(jiǎn)得，解得，
所以．
（2）證明：，
所以．
15．在等比數(shù)列與等差數(shù)列中，，，，．
（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，
由，，，，可得，
解得，，
，．
（2）由（1）知：，
．
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求這數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）知：，
，
，
兩式相減有
，
．
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2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十二 數(shù)列求和精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文
