湘教版七年級下冊數(shù)學知識點梳理.docx

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用含X的代數(shù)式表示Y，就是先把X看成已知數(shù)，把Y看成未知數(shù)；用含Y的代數(shù)式表示X，則相當于把Y看成已知數(shù)，把X看成未知數(shù)。 例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代數(shù)式表示y為：___________,用含y的代數(shù)式表示x為:____________。 4、根據(jù)二元一次方程的定義求字母系數(shù)的值： 要抓住兩個方面：①、未知數(shù)的指數(shù)為1，②、未知數(shù)前的系數(shù)不能為0 例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是關于x、y的二元一次方程，求a、b的值。 5、求二元一次方程的整數(shù)解 例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整數(shù)解。 思路：利用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的方法，可以求出方程有正整數(shù)解時x、y的取值范圍，然后再進一步確定解。 解：用含x的代數(shù)式表示y: y = 9/2 – (3/4)x 用含y的代數(shù)式表示x: x = 6 – (4/3)y 因為是求正整數(shù)解，則：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0 所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2 所以，當 y = 1時，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去 ； 當 y = 2時，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去 ；當 y = 3時，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合 ； 當 y = 4時，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去 。 x = 2 y = 3 所以，3x + 4y = 18 的正整數(shù)解為： ax - 2y = 5 2x + by = 3 x = 3 y = - 1 再例：①、如果 是方程組 的解，求 a-b 的值。 ax + 5y = 15,① 4x - by = -2,② ②、甲、乙兩人共解方程組 由于甲看錯了方程①中的a，得到的方程組的解 x = 5, y = 4, x = - 3, y = - 1, 為 乙看錯了方程②中的b，得到的方程組的解為 試計算a^2009 + (-b/10)^2010的值。 二、二元一次方程組的解法——消元 （整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”） 1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。 注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為： ①、從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來； ②、將變形后的關系式代入另一個方程（不能代入原來的方程哦?。?，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程； ③、解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值； ④、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式（或原來的方程組中任一個方程）中，求出另一個未知數(shù)的值； ⑤、把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解。 2、加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r，將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。 注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為： ①、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等； ②、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程； ③、解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值； ④、將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，并把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解。 例：解方程組： x/2 + y/3 = 13/2 x/3– y/4 = 3/2 ①、 4y–(2y + x + 16)/2 = -6x 2y + 3x = 7 – 2x - y ②、 3、用換元法解方程組： 根據(jù)題目的特點，利用換元法簡化求解，同時應注意換元法求出的解要代回關系式中，求出方程組中未知數(shù)的解。 5/(x+1) + 4/(y-2) = 2 7/(x+1)– 3/(y-2) = 13/20 例：ⅰ、解方程組： a = 8.3 b = 1.2 2a-3b = 13 3a+5b = 30.9 2(x+2)-3(y-1) = 13 3(x+2)+5(y-1) = 30.9 ⅱ、已知方程組 的解是 ，則方程組 的解是：（ ） x = 10.3 y = 2.2 x = 6.3 y = 2.2 x = 10.3 y = 0.2 x = 8.3 y = 1.2 A、 B、 C、 D、 4、用整體代入法解方程組： 2x - y = 6 ① (x+2y)(4x–2y)= 192 ② 例：解方程組： 解：將②變形為：(x+2y)×2(2x–y)= 192 ③ ，把①代入③得：(x+2y)×2×6 = 192 ,即 x+2y = 16 ④ x = 5.6 y = 5.2 2x - y = 6 x + 2y = 16 再把①和④組成新的方程組： 解得： 5、另外幾種類型的例題： （1）、若︱m + n – 5︱ + (2m + 3n - 5)2= 0 ,求(m - n)2的值。 （2）、已知代數(shù)式x2+ ax + b，當x = -1時，它的值是5，當x =1時，它的值是-1，求當x =2時，代數(shù)式的值。 x - 2y = 5 5x + ny = 1 5x + y = 3 mx + 5y = 4 （3）、已知方程組 與 有相同的解，求m，n的值。 3x - 5y = 2m 2x + 7y = m-18 （4）、已知方程組 的解x、y互為相反數(shù)，求m、x以及y的值。 2x - y = k 3x + y = k+1 （5）、關于x、y的方程組 的解，也是方程2x + y = 3的解，求k的值。 （6）、某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工后上市銷售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸?，F(xiàn)計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為2000元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？ 三、實際問題與二元一次方程組 1、利用二元一次方程組解實際應用問題的一般過程為：審題并找出數(shù)量關系式 —> 設元（設未知數(shù)） —> 根據(jù)數(shù)量關系式列出方程組 —> 解方程組 —> 檢驗并作答（注意：此步驟不要忘記） 2、列方程組解應用題的常見題型： （1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關系式是：較大量 - 較小量 = 相差量 ，總量 = 倍數(shù) × 倍量； （2）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關系式是：加工總量成比例； （3）、速度問題：解這類問題的基本關系式是：路程 = 速度 × 時間，包括相遇問題、追及問題等； （4）、航速問題：①、順流（風）：航速 = 靜水（無風）時的速度 + 水（風）速； ②、逆流（風）：航速 = 靜水（無風）時的速度 – 水（風）速； （5）、工程問題：解這類問題的基本關系式是：工作總量 = 工作效率×工作時間，（有時需把工作總量看作1）； （6）、增長率問題：解這類問題的基本關系式是：原量×（1+增長率）= 增長后的量，原量×（1-減少率）= 減少后的量； （7）、盈虧問題：解這類問題的關鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個角度來把握事物的總量； （8）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關概念、特征及其表示； （9）、幾何問題：解這類問題的基本關系是有關幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式； （10）、年齡問題：解這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等。 例1：一批水果運往某地，第一批360噸，需用6節(jié)火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節(jié)火車車廂加上10輛汽車，求每節(jié)火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸？ 例2：甲、乙兩物體分別在周長為400米的環(huán)形軌道上運動，已知它們同時從一處背向出發(fā)，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發(fā)，半分鐘后乙物體再從該處同向出發(fā)追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，假設甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。 例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動，甲的速度比乙大，當二人反向運動時，每150秒相遇一次，當二人同向運動時，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。 例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 ：7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 ：1，今要得到酒精與水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙兩種溶液各取多少kg？ 例5：一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50個，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，請問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時，可以制成多少張方桌？ 例6：某人要在規(guī)定的時間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘，如果他以每小時75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求甲、乙兩地間的距離。 農(nóng)作物品種 每公頃需勞動力 每公頃需投入資金 水稻 4人 1萬元 棉花 8人 1萬元 蔬菜 5人 2萬元 例7：某農(nóng)場有300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農(nóng)作物，已知種植各種農(nóng)作物每公頃所需勞動力人數(shù)及投入資金如右表： 已知該農(nóng)場計劃投入資金67萬元，應該怎樣安排這三種農(nóng)作物的種植面積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？ 例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個50人的旅游團到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？ 年級 捐款數(shù)額 （元） 捐助貧困中學生人數(shù) （名） 捐助貧困小學生人數(shù) （名） 初一年級 4000 2 4 初二年級 4200 3 3 初三年級 7400 例9：某山區(qū)有23名中、小學生因貧困失學需要捐助，資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生的學習費用需要b元。某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數(shù)額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學生和小學生人數(shù)的部分情況如右表： （1）、求a、b的值； （2）初三年級的捐款解決了其余貧困中小學生的學習費用，請分別計算出初三年級的捐款所資助的中學生和小學生人數(shù)。 四、三元一次方程組的解法 1、概念：由三個方程組成方程組，且方程組中共含有三個未知數(shù)，每個方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。 注：三元一次方程組中的三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個未知數(shù)”的條件即可。 2、解三元一次方程組的基本思想： 一元一次 方程 消元 ————————> (代入法、加減法) 二元一次 方程組 消元 ————————> (代入法、加減法) 三元一次 方程組 3x + 4z = 7 2x + 3y + z = 9 5x– 9y + 7z = 8 3x + 4y + z = 14 x + 5y + 2z = 17 2x + 2y - z = 3 例1：解方程組 例2：在y = ax2+bx+c中，當x=1時，y=0；x=2時，y=3；x=3時,y=28，求a、b、c的值。當x = -1時，y的值是多少？ 例3：甲、乙、丙三數(shù)之和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個數(shù)。 例4：小明從家到學校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學校回家只需要44分鐘。求小明家到學校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 第二章 整式的乘法 1．同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n ，底數(shù)不變，指數(shù)相加. 2．冪的乘方與積的乘方：(am)n=amn ，底數(shù)不變，指數(shù)相乘； (ab)n=anbn ，積的乘方等于各因式乘方的積. 3．單項式的乘法：系數(shù)相乘，相同字母相乘，只在一個因式中含有的字母，連同指數(shù)寫在積里. 4．單項式與多項式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加. 5．多項式的乘法：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加. 6．乘法公式： （1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差； （2）完全平方公式： ① (a+b)2=a2+2ab+b2, 兩個數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍； ② (a-b)2=a2-2ab+b2 , 兩個數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍； ※ ③ (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略. 7．配方： （1）若二次三項式x2+px+q是完全平方式,則有關系式：； ※ （2）二次三項式ax2+bx+c經(jīng)過配方，總可以變?yōu)閍(x-h)2+k的形式，利用a(x-h)2+k ①可以判斷ax2+bx+c值的符號； ②當x=h時，可求出ax2+bx+c的最大（或最小）值k. ※（3）注意：. 8．同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n ，底數(shù)不變，指數(shù)相減. 9．零指數(shù)與負指數(shù)公式: （1）a0=1 (a≠0)； a-n=,(a≠0). 注意：00，0-2無意義； （2）有了負指數(shù)，可用科學記數(shù)法記錄小于1的數(shù)，例如：0.0000201=2.01×10-5 . 第三章 因式分解 1. 因式分解 定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項式幾個整式的積 例： 因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。 2.因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定義：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。 公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可以是一個單項式或多項式。 例：的公因式是 ． 解析：從多項式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部分都含有因式，故多項式的公因式是2. ②提公因式的步驟 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。 注意：提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的，要先提取符號。 例1：把分解因式. 解析：本題的各項系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式為6ab。 解： 例2：把多項式分解因式 解析：由于，多項式可以變形為,我們可以發(fā)現(xiàn)多項式各項都含有公因式（）,所以我們可以提取公因式（）后,再將多項式寫成積的形式. 解： = = 例3：把多項式分解因式 解：= （2）運用公式法 定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。 注意：①公式中的字母可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。 ②選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項式，可考慮完全平方公式。 例1：因式分解 解：= 例2：因式分解 解：= （3）分組分解法（拓展） ①將多項式分組后能提公因式進行因式分解； 例：把多項式分解因式 解：== ②將多項式分組后能運用公式進行因式分解. 例：將多項式因式分解 解： = （4）十字相乘法（形如形式的多項式，可以考慮運用此種方法） 方法：常數(shù)項拆成兩個因數(shù)，這兩數(shù)的和為一次項系數(shù) 例：分解因式 分解因式 補充點詳解 補充點詳解 我們可以將-30分解成p×q的形式， 我們可以將100分解成p×q的形式， 使p+q=-1, p×q=-30,我們就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我們就有p=2, q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以將多項式可以分 所以將多項式可以分 解為 解為 5 2 -6 50 3.因式分解的一般步驟： 如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式， 通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。 注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解，應該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個整式的積的形式。 一、 例題解析 提公因式法 提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面. 確定公因式的方法： 系數(shù)——取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)； 字母(或多項式因式)——取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次冪. 【例 1】 分解因式： ⑴(為正整數(shù)) ⑵(、為大于1的自然數(shù)) 【鞏固】 分解因式： ，為正整數(shù). 【例 2】 先化簡再求值，，其中，． l 求代數(shù)式的值：，其中. 【例 3】 已知：，求的值. n 分解因式：. 公式法 平方差公式： ①公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反； ②每一項都可以化成某個數(shù)或式的平方形式； ③右邊是這兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當于兩個一次二項式的積. 完全平方公式： ①左邊相當于一個二次三項式； ②左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數(shù)或式的完全平方式； ③左邊中間一項是這兩個數(shù)或式的積的2倍，符號可正可負； ④右邊是這兩個數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定. 一些需要了解的公式： 第四章　相交線與平行線 一、知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) 二、知識要點 1、在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有 兩 種： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一種特殊情況。 2、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫 平行線 。如果兩條直線只有 一個 公共點，稱這兩條直線相交；如果兩條直線 沒有 公共點，稱這兩條直線平行。 圖1 1 3 4 2 3、兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有 公共頂點 且有 一條公共邊 的兩個角是 鄰補角。鄰補角的性質(zhì)： 鄰補角互補 。如圖1所示， 與 互為鄰補角， 與 互為鄰補角。 + = 180°； + = 180°； + = 180°； + = 180°。 4、兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的 反向延長線 ，這樣的兩個角互為 對頂角 。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。如圖1所示， 與 互為對頂角。 = ； = 。 5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個是 直角或90°時，稱這兩條直線互相垂直， 圖2 1 3 4 2 a b 其中一條叫做另一條的垂線。如圖2所示，當 = 90°時， ⊥ 。 垂線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。 性質(zhì)3：如圖2所示，當 a ⊥ b 時， = = = = 90°。 圖3 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離。 6、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角基本特征： ①在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側(cè) ，這樣 的兩個角叫 同位角 。圖3中，共有 對同位角： 與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角。 ②在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側(cè) ，這樣的兩個角叫 內(nèi)錯角 。圖3中，共有 對內(nèi)錯角： 與 是內(nèi)錯角； 與 是內(nèi)錯角。 ③在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩個角叫 同旁內(nèi)角 。圖3中，共有 對同旁內(nèi)角： 與 是同旁內(nèi)角； 與 是同旁內(nèi)角。 7、平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。 平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 圖4 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 平行線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，如果a∥b， 則 = ； = ； = ； = 。 性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。如圖4所示，如果a∥b，則 = ； = 。 性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。如圖4所示，如果a∥b，則 + = 180°； + = 180°。 性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a∥b，a∥c，則　　　∥　　　。 圖5 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 8、平行線的判定： 判定1：同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 　 或 = 　或 = 　或 = ，則a∥b。 判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 　或 = ，則a∥b 。 判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。如圖5所示，如果 + = 180°； + = 180°，則a∥b。 判定4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a∥b，a∥c，則　　　∥　 　。 9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設 和 結(jié)論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。如果題設成立，那么結(jié)論 一定 成立，這樣的命題叫 真命題 ；如果題設成立，那么結(jié)論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。 10、平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。 平移后，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。 平移性質(zhì)：平移前后兩個圖形中①對應點的連線平行且相等；②對應線段相等；③對應角相等。 第五章 旋轉(zhuǎn) 一.知識框架 二．知識概念 1.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。） 2.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°，大于360°）。 3．中心對稱圖形與中心對稱： 中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。 中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。 4.中心對稱的性質(zhì)： 關于中心對稱的兩個圖形是全等形。 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。 關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。 一、精心選一選 (每小題3分，共30分) ．下面的圖形中，是中心對稱圖形的是（　 ?。? A． B． C． D． ．平面直角坐標系內(nèi)一點P（－2,3）關于原點對稱的點的坐標是 （　　?。? A．（3，－2） B． (2,3） C．（－2，－3） D．　(2，－3） ．3張撲克牌如圖1所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉(zhuǎn)180o后得到如圖（2）所示，則她所旋轉(zhuǎn)的牌從左數(shù)起是（ ） A．第一張 B．第二張 C．第三張 D．第四張 ．在下圖右側(cè)的四個三角形中，不能由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是（　） A B C A B C D 圖3 ．如圖3的方格紙中，左邊圖形到右邊圖形的變換是（　?。? A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分線為對稱軸作軸對稱，再以AB為對稱軸作軸對稱 C．繞AB的中點旋轉(zhuǎn)1800，再以AB為對稱軸作軸對稱 D．以AB為對稱軸作軸對稱，再向右平移7格 ．從數(shù)學上對稱的角度看，下面幾組大寫英文字母中，不同于另外三組的一組是（ ） 圖4 A．A N E G B．K B X N C．X I H O D．Z D W H ．如圖4，C是線段BD上一點，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊△ABC和等邊△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有( )． A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 ．下列這些復雜的圖案都是在一個圖案的基礎上，在“幾何畫板”軟件中拖動一點后形成的，它們中每一個圖案都可以由一個“基本圖案”通過連續(xù)旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)的角度是（ ） A B C D 圖5 ．如圖5所示，圖中的一個矩形是另一個矩形順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后形成的個數(shù)是（ ） A．l個 B．2個 C．3個 D．4個 圖6 ．如圖6，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE 都是直角，點C在AE上，ΔABC繞著A點經(jīng)過逆時針旋轉(zhuǎn)后能 夠與ΔADE重合得到圖7，再將圖23—A—4作為“基本圖形”繞 著A點經(jīng)過逆時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到圖7.兩次旋轉(zhuǎn)的角度分別為（ ） 圖7 A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60 二、耐心填一填（每小題3分，共24分） ．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過 ，而且被_____________平分. ．在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是_____________． ．時鐘上的時針不停地旋轉(zhuǎn)，從上午8時到上午11時，時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是_____________． ．如圖8，△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得△AB′C′，則△ABB′是 三角形. ．已知ａ＜0，則點Ｐ（ａ2，－ａ＋3）關于原點的對稱點Ｐ1在第＿＿＿象限 ．如圖9，△COD是△AOB繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)40°后所得的圖形，點C恰好在AB上，∠AOD＝90°，則∠D的度數(shù)是 ． ．如圖10，在兩個同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，若大圓的半徑為2，則圖中陰影部分的面積是＿＿＿.　 ．如圖,四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD，AE⊥BC于E，若線段AE=5，則S四邊形ABCD＝　　　　　。 圖11 圖10 圖8 圖9 三、細心解一解（共46分） 圖12 ．（6分）如圖12，四邊形ABCD的∠BAD=∠C=90o,AB=AD,AE⊥BC于E,旋轉(zhuǎn)后能與重合。 (1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點? (2）旋轉(zhuǎn)了多少度? (3）如果點A是旋轉(zhuǎn)中心，那么點B經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，點B旋轉(zhuǎn)到什么位置？ ．（4分）如圖13，請畫出關于點O點為對稱中心的對稱圖形 圖13 ．（6分）如圖14，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后， 的頂點均在格點上，點的坐標為． ①把向上平移5個單位后得到對應的，畫出，并寫出的坐標； ②以原點為對稱中心，再畫出與關于原點對稱的，并寫出點的坐標． 圖14 圖15 18．（4分）如圖15，方格中有一條美麗可愛的小金魚． (1）若方格的邊長為1，則小魚的面積為 ． (2）畫出小魚向左平移3格后的圖形（不要求寫作圖步驟和過程）． 圖16 ．（6分）如圖16,E、F分別是正方形ABCD的邊CD、DA上一點，且CE＋AF＝EF，請你用旋轉(zhuǎn)的方法求∠EBF的大?。? ． 19．（8分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片和．將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時與相交于點． C A E F D B C D O A F B(E) A D O F C B(E) 圖① 圖② 圖③ （1）當旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關系是 ． 2分 （2）當繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由． （3）在圖③中，連接，探索與之間有怎樣的位置關系，并證明． 第六章 數(shù)據(jù)的分析 一、知識點講解： 1.平均數(shù)： （1）算術平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，有n個數(shù)據(jù)，則它們的算術平均數(shù)為 . （2）加權平均數(shù)： 若在一組數(shù)字中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次，那么 叫做、、…、的加權平均數(shù)。其中，、、…、分別是、、…、的權. 權的理解:反映了某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的重要程度。 權的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個數(shù)、次數(shù)等）。 2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 4.平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 相同點 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個統(tǒng)計量的相同之處主要表現(xiàn)在：都是來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量；都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來作為一組數(shù)據(jù)的代表。 不同點 它們之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下方面。 1）、定義不同 平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 。 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 2）、求法不同 平均數(shù)：用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù),需要計算才得求出。 中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。它的求出不需或只需簡單的計算。 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，不必計算就可求出。 3）、個數(shù)不同 在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時不具有惟一性。在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)。 4）、代表不同 平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來一代表數(shù)據(jù)的總體 “平均水平”。 中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。 眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。 這三個統(tǒng)計量雖反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表。 5）、特點不同 平均數(shù)：與每一個數(shù)據(jù)都有關,其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應引起平均數(shù)的變動。主要缺點是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)。 中位數(shù)：與數(shù)據(jù)的排列位置有關，某些數(shù)據(jù)的變動對它沒有影響；它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響。 眾數(shù)：與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關，著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關，不受極端值的影響,其缺點是具有不惟一性，一組數(shù)據(jù)中可能會有一個眾數(shù)，也可能會有多個或沒有 。 6）、作用不同 平均數(shù)：是統(tǒng)計中最常用的數(shù)據(jù)代表值，比較可靠和穩(wěn)定，因為它與每一個數(shù)據(jù)都有關，反映出來的信息最充分。平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個標準。因此，它在生活中應用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說的平均成績、平均身高、平均體重等。 中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因為它只利用了部分數(shù)據(jù)。但當一組數(shù)據(jù)的個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適。 眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因為它也只利用了部分數(shù)據(jù)。。在一組數(shù)據(jù)中，如果個別數(shù)據(jù)有很大的變動，且某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適合。 5.極差：一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差。極差反映的是數(shù)據(jù)的變化范圍。 6.方差：設有n個數(shù)據(jù)，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是，…，我們用它們的平均數(shù)，即用 來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差?！? 當一組數(shù)據(jù)比較小時可以用公式計算。 方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。 標準差：方差的算術平方根，即 并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標準差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量. 7.極差、方差和標準差的區(qū)別與聯(lián)系： 聯(lián)系：極差、方差和標準差都是用來衡量（或描述）一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。床▌哟笮。┑闹笜耍Ｓ脕肀容^兩組數(shù)據(jù)的波動情況。 區(qū)別：極差是用一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差來反映數(shù)據(jù)的變化范圍，主要反映一組數(shù)據(jù)中兩個極端值之間的差異情況，對其他的數(shù)據(jù)的波動不敏感。 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的結(jié)果，主要反映整組數(shù)據(jù)的波動情況，是反映一組數(shù)據(jù)與其平均值離散程度的一個重要指標，每個數(shù)年據(jù)的變化都將影響方差的結(jié)果，是一個對整組數(shù)據(jù)波動情況更敏感的指標。在實際使用時，往往計算一組數(shù)據(jù)的方差，來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小。 標準差實際是方差的一個變形，只是方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，而標準差的單位與原數(shù)據(jù)單位相同。 8.數(shù)據(jù)的收集與整理的步驟： 1.收集數(shù)據(jù)????2.整理數(shù)據(jù)????3.描述數(shù)據(jù)???4.分析數(shù)據(jù)???5.撰寫調(diào)查報告???6.交流? 9.平均數(shù)、方差的三個運算性質(zhì) 如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，……，xn的平均數(shù)是，方差是s2。 那么（1）一組新數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，x3+b，……，xn+b的平均數(shù)是+b，方差是s2。 （2） 一組新數(shù)據(jù)ax1，ax2，ax3，……，axn的平均數(shù)是a，方差是a2s2. （3）一組新數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，ax3+b，……，axn+b的平均數(shù)是a+b，方差是a2s2. 二、典型例題： 1．5名同學目測同一本教科書的寬度時，產(chǎn)生的誤差如下（單位：mm）：，，，，，則這組數(shù)據(jù)的極差為（ ）． A．4 mm B．3 mm C．5 mm 　D．0 mm 2．小偉五次數(shù)學考試成績分別為：86分，78分，80分，85分，92分，李老師想了解小偉數(shù)學學習變化情況，則李老師最關注小偉數(shù)學成績的（　?。? Ａ．平均數(shù) Ｂ．眾數(shù) Ｃ．中位數(shù) Ｄ．方差 3. 一組數(shù)據(jù)的方差一定是（ ）． A．正數(shù) B．任意實數(shù) C．負數(shù) D．非負數(shù) 包裝機 甲 乙 丙 方差(克2) 1.70 2.29 7.22 4．金華火腿聞名遐邇.某火腿公司有甲、乙、丙三臺切割包裝機，同時分裝質(zhì)量為500克的火腿心片.現(xiàn)從它們分裝的火腿心片中各隨機抽取10盒，經(jīng)稱量并計算得到質(zhì)量的方差如表所示,你認為包裝質(zhì)量最穩(wěn)定的切割包裝機是（ ）. A.甲 B.乙 C.丙 D.不能確定 5．某地統(tǒng)計部門公布最近5年國民消費指數(shù)增長率分別為8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，3.8%，業(yè)內(nèi)人士評論說：“這五年消費指數(shù)增長率之間相當平穩(wěn)”，從統(tǒng)計角度看，“增長率之間相當平穩(wěn)”說明這組數(shù)據(jù)的哪個數(shù)據(jù)比較?。? ）. A．方差 B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù) 6．在一次射擊測試中，甲、乙、丙、丁的平均環(huán)數(shù)均相同，而方差分別為8.7，6.5，9.1，7.7，則這四人中，射擊成績最穩(wěn)定的是（ ）. A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．一次數(shù)學測試后，隨機抽取九年級二班5名學生的成績?nèi)缦拢?8，85，91，98，98．關于這組數(shù)據(jù)的錯誤說法是（　?。? Ａ．極差是20 Ｂ．眾數(shù)是98 Ｃ．中位數(shù)是91 Ｄ．平均數(shù)是91 8．若一組數(shù)據(jù)2，4，，6，8的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的方差是（ ）. A． B．8 C． D．40 9．我國著名的珠穆朗瑪峰海拔高達8844m，在它周圍2km的附近，聳立的幾座著名山峰的高度如下表： 山峰名 珠穆 朗瑪 洛子峰 卓窮峰 馬卡 魯峰 章子峰 努子峰 普莫 里峰 海拔高度 8844m 8516m 7589m 8463m 7543m 7855m 7145m 則這七座山峰海拔高度的極差為 m． 10．一組數(shù)據(jù)5，5，5，5，5的方差是 ． 11．對甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的零件進行抽樣測量．其平均數(shù)、方差計算結(jié)果如下：機床甲：10，=0.02；機床乙：10，= 0．0 6，由此可知：_________（“甲”或“乙”）機床性能好． 12．甲、乙兩種產(chǎn)品進行對比實驗，得知乙產(chǎn)品性能比甲產(chǎn)品性能更穩(wěn)定，那么分析計算它們的方差，的大小關系是 ． 13．一組數(shù)據(jù)1，2，3，x，5的平均數(shù)是3，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ． 14．已知數(shù)據(jù)a，b，c的方差是1，則4a，4b，4c的方差是 ． 15．甲、乙兩臺包裝機同時包裝質(zhì)量為200g的糖果，從中各抽取10袋，測得其實際質(zhì)量分別如下表：（單位：克） 甲 203 204 202 196 199 201 205 197 202 199 乙 201 200 208 206 210 209 200 193 194 194 （1）分別計算出兩個樣本的平均數(shù)與方差； （2）從計算結(jié)果看，哪臺包裝機的10袋糖果的平均質(zhì)量更接近200g？哪臺包裝機包裝的10袋糖果質(zhì)量比較穩(wěn)定？ 16．李明、王林兩人參加奧賽班集訓的11次測驗成績?nèi)缦卤恚海▎挝唬悍郑? 測 驗 成 績 李明 99 100 100 95 93 90 98 100 93 90 98 王林 98 99 96 94 95 92 92 98 96 99 97 （1）他們兩人的平均成績各是多少分？ （2）他們兩人的極差和方差各是多少？ （3）現(xiàn)要從中選一人參加比賽，歷屆比賽的成績表明，成績在98分以上才能進入決賽，你認為應選誰參加這次比賽呢，為什么？ （4）試分析兩位同學的成績特點，并對他們以后的學習各提出一條建議． 17.某校為選拔參加2007年全國初中數(shù)學競賽的選手，進行了集體培訓．在集訓期間進行了10次測試，假設其中兩位同學的測試成績?nèi)缦卤硭荆? （1）根據(jù)圖表中所示的信息填寫下表： （2）這兩位同學的測試成績各有什么特點（從不同的角度分別說出一條即可）? （3）為了使參賽選手取得好成績，應選誰參加比賽？為什么？ 24 .