北師大八年級上《第1章勾股定理》單元測試(二)含答案解析

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1、《第1章 勾股定理》 　 一、選擇題 1．分別有下列幾組數(shù)據：①6、8、10 ②12、13、5 ③17、8、15 ④4、11、9，其中能構成直角三形的有（　　） A．4組 B．3組 C．2組 D．1組 2．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　?。? A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．如圖，帶陰影的矩形面積是（　?。┢椒嚼迕祝? A．9 B．24 C．45 D．51 4．下列三角形中，不是直角三角形的是（　?。? A．三角形三邊分別是9，40，41 B．三角形三內角之比為1：2：3 C．三角形三內角中有兩個角互余 D．三角形三邊之比為2：

2、3：4 5．為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應為（　　） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 6．如果三角形一個內角等于另外兩個內角之和，那么這個三角形是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能 7．直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其斜邊上的高為（　　） A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm 8．如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF

3、，則△ABE的面積為（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 　 二、填空： 9．如圖，正方形B的面積是　?。? 10．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊形ABCD的面積　?。? 11．一根旗桿在離地面12米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部5米處．旗桿折斷之前有　　米． 12．一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以30km/h的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距　　 km． 13．如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”．他們僅僅少走了　　步路（

4、假設2步為1米），卻踩傷了花草． 14．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=　?。? 　 三、解答題： 15．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了520m，該河流的寬度為多少？ 16．新中源陶瓷廠某車間的人字形屋架為等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB邊上的高CD的長度？ 17．如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據所學的知識 （1）求△

5、ABC的面積． （2）判斷△ABC是什么形狀？并說明理由． 18．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是多少？ 19．小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高． 20．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC=10厘米，AB=8厘米． （1）求BF與FC的長． （2）求EC的長． 　 《第1章 勾股定理》 參考答案與試題解析 　 一、選擇

6、題 1．分別有下列幾組數(shù)據：①6、8、10 ②12、13、5 ③17、8、15 ④4、11、9，其中能構成直角三形的有（　?。? A．4組 B．3組 C．2組 D．1組 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據勾股定理的逆定理對四組數(shù)據進行逐一解答即可． 【解答】解：①62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理； ②52+122=132，符合勾股定理的逆定理； ③82+152=172，符合勾股定理的逆定理； ④42+92≠112，不符合勾股定理的逆定理； 故選：B． 【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形

7、就是直角三角形． 　 2．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　?。? A．25 B．14 C．7 D．7或25 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進行討論解答． 【解答】解：分兩種情況：（1）3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為5； （2）3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為．∴第三邊長的平方是25或7， 故選D． 【點評】本題利用了分類討論思想，是數(shù)學中常用的一種解題方法． 　 3．如圖，帶陰影的矩形面積是（　?。┢椒嚼迕祝? A．9 B．24 C．45 D．51

8、 【考點】幾何體的表面積；勾股定理． 【分析】根據勾股定理先求出直角邊的長度，再根據長方形的面積公式求出帶陰影的矩形面積． 【解答】解：∵ =15厘米， ∴帶陰影的矩形面積=15×3=45平方厘米． 故選C． 【點評】本題考查了勾股定理和長方形的面積公式． 　 4．下列三角形中，不是直角三角形的是（　?。? A．三角形三邊分別是9，40，41 B．三角形三內角之比為1：2：3 C．三角形三內角中有兩個角互余 D．三角形三邊之比為2：3：4 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】分別討論四個選項是否滿足勾股定理的逆定理或者有一個角是直角即可，若滿足則是直角三角形，否則不是．

9、 【解答】解：對于A：92+402=412，滿足勾股定理的逆定理，所以該三角形是直角三角形； 對于B：設三個內角為x，2x，3x則，x+2x+3x=180°，x=30°．此時三個內角分別為30°、60°、90°，即有一個角是直角，所以該三角形是直角三角形； 對于C：三角形三內角中有兩個互余，即另外一個角是90°，所以該三角形是直角三角形； 對于D：設該三角形的三邊為2x、3x、4x則（2x）2+（3x）2=13x2≠（4x）2=16x2，不滿足勾股定理，也沒有角為直角，所以不是直角三角形． 故選D． 【點評】本題主要考查利用直角三角形的性質證明該三角形是直角三角形的能力，只要滿足勾

10、股定理的逆定理或者有一個角為直角都可證明是直角三角形． 　 5．為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應為（　　） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用題． 【分析】仔細分析題意得：梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形，梯高為斜邊，利用勾股定理解此直角三角形即可． 【解答】解：梯腳與墻角距離： =0.7（米）． 故選A． 【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵． 　 6．如果三

11、角形一個內角等于另外兩個內角之和，那么這個三角形是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能 【考點】三角形內角和定理． 【專題】應用題． 【分析】根據三角形的外角性質和已知條件可得：這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的；又因為外角與它相鄰的內角互補，可得一個內角一定是90°，即可判斷此三角形的形狀． 【解答】解：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角之和，又一個內角也等于另外兩個內角的和， 由此可知這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內角互補， ∴有一個內角一定是90°，故這個三角形是直角三角形． 故選B．

12、【點評】本題主要考查了三角形外角的性質及三角形的內角和定理，解答的關鍵是利用外角和內角的關系，比較簡單． 　 7．直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其斜邊上的高為（　?。? A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm 【考點】勾股定理；三角形的面積． 【分析】先根據勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答． 【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為5cm，12cm， ∴斜邊==13cm， 設斜邊上的高為h，則直角三角形的面積=×5×12=×13?h， ∴h=cm． 故選D． 【點評】本題考查了勾股定理的運用及直角三角形的面積的求法

13、，屬中學階段常見的題目，需同學們認真掌握． 　 8．如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（　?。? A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】首先根據翻折的性質得到ED=BE，再設出未知數(shù)，分別表示出線段AE，ED，BE的長度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的長度，進而求出AE的長度，就可以利用面積公式求得△ABE的面積了． 【解答】解：∵長方形折疊，使點B與點D重合， ∴ED=BE， 設AE=xcm，則ED=BE=（9﹣x）c

14、m， 在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=（9﹣x）2， 解得：x=4， ∴△ABE的面積為：3×4×=6（cm2）． 故選：A． 【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換和學生的空間想象能力，解題過程中應注意折疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動手折疊一下即可． 　 二、填空： 9．如圖，正方形B的面積是　144?。? 【考點】勾股定理． 【分析】根據正方形的面積公式求出AC、AD的長，根據勾股定理求出CD的長，根據正方形的面積公式計算即可． 【解答】解：由正方形的面積公式可知， AC=13，AD=5， 由勾股定理

15、得，DC==12， 則CD2=144， ∴正方形B的面積是144， 故答案為：144． 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2． 　 10．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊形ABCD的面積　12?。? 【考點】勾股定理；三角形的面積；正方形的性質． 【專題】計算題． 【分析】由圖可得出四邊形ABCD的面積=網格的總面積﹣四個角的四個直角三角形的面積，該網格是5×5類型的且邊長都是1的小正方形，面積為5×5；四個角的四個直角三角形的直角邊分別為：1、2；4、3；3、2；3、2；根據直角三角形的

16、面積等于×兩直角邊的乘積，分別求出四個直角三角形的面積，進而求出四邊形ABCD的面積． 【解答】解：由題意可得： 四邊形ABCD的面積=5×5﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×3﹣×2×3=12， 所以，四邊形ABCD的面積為12． 故答案為12． 【點評】本題主要考查求不規(guī)則圖形面積的能力，關鍵在于根據圖形得出：四邊形ABCD的面積=網格的總面積﹣四個角的四個直角三角形的面積，求出四邊形ABCD的面積． 　 11．一根旗桿在離地面12米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部5米處．旗桿折斷之前有　25　米． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據題意，可以知道兩直角邊的長度，從而構造直角

17、三角形，根據勾股定理就可求出斜邊的長． 【解答】解：∵52+122=169， ∴=13（m）， ∴13+12=25（米）． ∴旗桿折斷之前有25米． 故答案為：25． 【點評】此題考查了勾股定理的應用．培養(yǎng)同學們利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵． 　 12．一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以30km/h的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距　17　 km． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據題意，畫出圖形，且東北和東南的夾角為90°，根據題目中給出的半小時后和速度可以計算AC，BC的

18、長度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的長． 【解答】解：作出圖形，因為東北和東南的夾角為90°，所以△ABC為直角三角形． 在Rt△ABC中，AC=16×0.5km=8km， BC=30×0.5km=15km． 則AB=km=17km 故答案為 17． 【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中確定△ABC為直角三角形，并且根據勾股定理計算AB是解題的關鍵． 　 13．如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”．他們僅僅少走了　8　步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草． 【考點】勾股定理的應用． 【

19、分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用AC+BC﹣AB進而得出答案． 【解答】解：由題意可得：AB==10（m）， 則AC+BC﹣AB=14﹣10=4（m）， 故他們僅僅少走了：4×2=8（步）． 故答案為：8． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確應用勾股定理是解題關鍵． 　 14．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=　4?。? 【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質． 【專題】規(guī)律型． 【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的

20、正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據此即可解答． 【解答】 解：觀察發(fā)現(xiàn)， ∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°， ∴∠BAC=∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC=ED， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2=AC2+ED2=S1+S2， 即S1+S2=1， 同理S3+S4=3． 則S1+S2+S3+S4=1+3=4． 故答案為：4． 【點評】運用了全等三角形的判定以及性質、勾股定理．注意發(fā)現(xiàn)兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積． 　 三、解答題： 15．如圖，某人

21、欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了520m，該河流的寬度為多少？ 【考點】勾股定理的應用． 【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根據圖中數(shù)據，運用勾股定理求得AB===480m， 答：該河流的寬度為480m． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，是實際問題但比較簡單． 　 16．新中源陶瓷廠某車間的人字形屋架為等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB邊上的高CD的長度？ 【考點】勾股定理的應用；等腰三角形的性質． 【分析】根據等腰三角形ABC，CD是高，則易得△ACD是直

22、角三角形．利用勾股定理即可得出CD的長． 【解答】解：∵等腰三角形ABC，CD⊥AB， ∴AD=BD=AB=12m， ∵AC=BC=13m， ∴CD==5m． 答：AB邊上的高CD的長度是5米． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的簡單應用，根據已知得出AD=BD=12米是解題關鍵． 　 17．如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據所學的知識 （1）求△ABC的面積． （2）判斷△ABC是什么形狀？并說明理由． 【考點】勾股定理；三角形的面積；勾股定理的逆定理． 【專題】網格型． 【分析】（1）用長方形的面積減去三個小三角形的面積

23、即可求出△ABC的面積． （2）根據勾股定理求得△ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定，從而不難得到其形狀． 【解答】解：（1）△ABC的面積=4×8﹣1×8÷2﹣2×3÷2﹣6×4÷2=13． 故△ABC的面積為13； （2）∵正方形小方格邊長為1 ∴AC==，AB==，BC==2， ∵在△ABC中，AB2+BC2=13+52=65，AC2=65， ∴AB2+BC2=AC2， ∴網格中的△ABC是直角三角形． 【點評】考查了三角形的面積，勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角

24、三角形． 　 18．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是多少？ 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】先將長方體沿CF、FG、GH剪開，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一個平面內，連接AB；或將長方體沿DE、EF、FC剪開，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一個平面內，連接AB，然后分別在Rt△ABD與Rt△ABH，利用勾股定理求得AB的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程． 【解答】解：將長方體沿CF、FG、GH剪開，向右翻折，使面FCHG和面AD

25、CH在同一個平面內， 連接AB，如圖1， 由題意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm， 在Rt△ABD中，根據勾股定理得：AB==15cm； 將長方體沿DE、EF、FC剪開，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一個平面內， 連接AB，如圖2， 由題意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm， 在Rt△ABH中，根據勾股定理得：AB==10cm， 則需要爬行的最短距離是15cm． 連接AB，如圖3， 由題意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm， 在Rt△AB′B中，根據勾股定理得：AB==5cm

26、， ∵15＜10＜5， ∴則需要爬行的最短距離是15cm． 【點評】此題考查了最短路徑問題，利用了轉化的思想，解題的關鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解． 　 19．小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高． 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據題意設旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高． 【解答】解：設旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 ∴x2+52=（x

27、+1）2 解得x=12 ∴AB=12 ∴旗桿的高12m． 【點評】此題考查了學生利用勾股定理解決實際問題的能力． 　 20．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC=10厘米，AB=8厘米． （1）求BF與FC的長． （2）求EC的長． 【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理的應用；矩形的性質． 【分析】（1）由圖形翻折變換的性質可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的長度； （2）將CE的長設為x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根據勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：（

28、1）∵△ADE折疊后的圖形是△AFE， ∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF． ∵AD=BC=10cm， ∴AF=AD=10cm． 又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根據勾股定理，得AB2+BF2=AF2 ∴82+BF2=102， ∴BF=6cm， ∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm． （2）設EC的長為xcm，則DE=（8﹣x）cm． 在Rt△EFC中，根據勾股定理，得：FC2+EC2=EF2， ∴42+x2=（8﹣x）2， 即16+x2=64﹣16x+x2， 化簡，得16x=48， ∴x=3， 故EC的長為3cm． 【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，解題時常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．