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1、*范例8.5 平均速率和方均根速率,,,以最概然速率為速率單位，麥克斯韋速率分布函數(shù)的形式是什么？速率分布函數(shù)曲線有什么特點(diǎn)？求所有分子的平均速率和方均根速率。分子速率在區(qū)間0v的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例為多少？,解析利用公式,,設(shè)x = v/vp，麥克斯韋速率分布函數(shù)可表示為,,這是無量綱的速率分布函數(shù)，歸一化系數(shù)為,,在v v + dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為dN，總速率為vdN = N0vf(v)dv，速率從0到積分可得全部分子的速率之和。,這個(gè)和除以總分子數(shù)N0就是所有分子的平均速率,用分部積分法可得,,,以最概然
2、速率為速率單位，麥克斯韋速率分布函數(shù)的形式是什么？速率分布函數(shù)曲線有什么特點(diǎn)？求所有分子的平均速率和方均根速率。分子速率在區(qū)間0v的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例為多少？,利用函數(shù)可簡化計(jì)算。,,函數(shù)的定義為,,當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，通過分部積分可直接證明(n) = (n 1)!。,,,,,,利用變量替換，容易證明,,當(dāng)n = 4時(shí)，可得平均速率,,,*范例8.5 平均速率和方均根速率,,所有分子速率平方的平均值為,利用,,可得,方均根速率為,對(duì)于同一種氣體，在相同的溫度下，平均速率、方均根速率與最概然速率之比都是常量。,分子的
3、平均平動(dòng)動(dòng)能為,分子中的3表示三個(gè)自由度，kT/2是所有分子一個(gè)自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能。,溫度越高，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能就越大，表示分子運(yùn)動(dòng)越劇烈。,平均速率、方均根速率與最概然速率都能表示分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。,*范例8.5 平均速率和方均根速率,,分子速率在區(qū)間0v的分子數(shù)為,利用麥克斯韋無量綱的速率分布函數(shù)，上式可表示為,,上式還可以繼續(xù)化簡,,,,利用誤差函數(shù),,,這是用誤差函數(shù)表示的解析式，不妨稱為分子數(shù)函數(shù)。,可得,,,當(dāng)積分上限分別取1、,,,,和,,,時(shí)，,,由上式即可計(jì)算分子速率小于最概然速率、平均速率和方均根速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例。,*范例8.5 平均速率和方均根速率,分子
4、速率小于等于最概然速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是42.8%，分子數(shù)小于總分子數(shù)的一半。,以最概然速率vp為速率單位，速率分布曲線就只有一條。,任何一段曲線下的面積都表示分子數(shù)占總分子數(shù)的比例。,而分子速率大于最概然速率的分子占總數(shù)的比例是57.2%，分子數(shù)大于總分子數(shù)的一半。,分子數(shù)大于總分子數(shù)的一半。當(dāng)速率大于最概然速率的3倍時(shí)，分子數(shù)比例就很小了。,當(dāng) 時(shí)，N/N0是分子速率小于平均速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例，這就是53.31%，分子數(shù)越過總分子數(shù)的一半。,分子速率在0v之間的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是v的單調(diào)增函數(shù)，這是因?yàn)関越大，0v之間的分子數(shù)就越多。,當(dāng) 時(shí)，N/N0是分子速率小于方均根速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例，這就是60.84%。,當(dāng)v = 2.5vp時(shí)，分子速率從0到v的分子數(shù)就占了全部分子數(shù)的絕大部分。,
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