第五節(jié) 古典概型

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1、第五節(jié)古典概型 【最新考綱】1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式?2 .會(huì)計(jì)算一些 隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 教材回歸I固本強(qiáng)基 有王德'蟲(chóng)?本文皿其 ◎I基礎(chǔ)梳理 1. 基本事件的特點(diǎn) (1) 任何兩個(gè)基本事件是互斥的? (2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2. 古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概 型. (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè) (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等 3 .如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn) 1 的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1

2、;如果某個(gè)事件 A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)=mn 4. 古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的個(gè)數(shù) 數(shù) . 1. (質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤?(正確的打“J”，錯(cuò)誤的 打"') (1) “在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典 概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.() (2) 擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反 面"，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件?() (3) 從一3,—2,—1, 0, 1, 2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與 不小于0的可能性相同?() (4) 利用古典概型的概率可求“在邊長(zhǎng)為2的正方形

3、內(nèi)任取一點(diǎn)， 這點(diǎn)到正方形中心距離小于或等于1”的概率.() 答案：⑴X (2)X (3)" (4)X 2 .擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于() A.* B?9 C-6 D.志 解析：擲兩顆均勻的骰子，共有6X6=36種可能情況.其中點(diǎn) 數(shù)之和為5的有(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)共4種.故所求事件 的概率p=36=9? 答案：B 3. (2015-全國(guó)課標(biāo)I卷)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形 三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1, 2, 3, 4, 5只任 取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()

4、解析：從1, 2, 3, 4, 5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有C3=10種不 5 同的結(jié)果，其中勾股數(shù)只有(3, 4, 5)—種情況. 1 故所求事件的概率p=1j. 答案：C 4. (2016-豫東名校聯(lián)考)在集合A={2, 3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m, 在集合B={1, 2, 3}中隨機(jī)取一個(gè)元素隊(duì) 得到點(diǎn)P(m, n),則點(diǎn)P 在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為() a2 b3 c4 D.2 解析：點(diǎn) P(m, n)共有(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), 6種情況，只有(2, 1), (2, 2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2+%=9的內(nèi)

5、 21 部，所求概率為6=3. 答案：B 5. (2014-課標(biāo)全國(guó)II卷)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、 白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的 概率為. 解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色(紅，紅)，(紅，白)，(紅， 藍(lán)），（白，白），（白，紅）,（白，藍(lán)），（藍(lán)，藍(lán)），（藍(lán)，白）,（藍(lán)，紅）， 共9種. 而同色的有（紅，紅），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)）,共3種. 3 1 所以所求概率P=9=3? 93 答案：3 ［名師微博-通法領(lǐng)悟｝ 一點(diǎn)提醒 在計(jì)算古典概型中基本事件與要發(fā)生事件的事件數(shù)時(shí)，切莫忽 視它們是否是等可能的.

6、 兩個(gè)技巧 處理較為復(fù)雜的概率問(wèn)題的兩種技能. 一是轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進(jìn)行求 解； 二是采用間接法，先求事件A的對(duì)立事件A的概率，再由P（A） = 1—P（A）求事件A的概率. 三種方法 基本事件個(gè)數(shù)的確定方法 1 .列舉法：適用于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn). 2 .樹(shù)狀圖法：適用于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.另 外在確定基本事件時(shí)，（x，y）若看成是有序的，則（1，2）與（2, 1）不同; ｛x，）｝若看成無(wú)序的，則｛1，2｝與｛2，1｝相同. 3 .計(jì)數(shù)原理法：如果基本事件的個(gè)數(shù)較多，可借助計(jì)數(shù)原理及 排列組合知識(shí)進(jìn)行計(jì)算. 蠡扁域鹿.高效提能I 分層

7、集訓(xùn)I單獨(dú)成冊(cè) 一、選擇題 1 .集合A={2, 3}, B={1, 2, 3},從A, B中各任意取一個(gè) 數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是（） a.3 b.2 C?3 d.6 解析：從A, B中任意取一個(gè)數(shù)，共有C2 - C1=6種情形，兩數(shù) 21 和等于4的情形只有（2, 2）, （3, 1）兩種，..?P=6=3. 答案：C 2. （2016-北京西城區(qū)模擬）一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲， 讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機(jī)排成一行，若卡片按 從左到右的順序排成“1314”，則孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì)，那么孩子受 到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為（） 112712

8、A.c. 5-n5 % 解析：先從4個(gè)位置中選一個(gè)排4,再?gòu)氖Ｏ碌奈恢弥羞x一個(gè)排 3,最后剩下的2個(gè)位置排1. ?.?共有4X3X1=12種不同排法 又卡片排成“1314”只有1種情況 1 故所求事件的概率P=^. 12 答案：A 3. （2014?陜西卷）從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取 2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（） D4 解析：根據(jù)題意知，取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為C2種，2個(gè)點(diǎn)的距離 小于該正方形邊長(zhǎng)的情況有4種. 因此“這兩個(gè)點(diǎn)的距離不小于邊長(zhǎng)"的概率P=1— 4 _3 理F 答案：C 4

9、. 連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m, n，則向量（m，n）與向量（一 1, 1）的夾角0>90。的概率是（ a.12 C?3 D1 解析：*.*(m, n)?(—1, 1)=—m+n<0,.'.m>n. 基本事件總共有6X6=36（個(gè)），符合要求的有（2, 1）, （3, 1）, (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1),…，(5, 4), (6, 1),…， (6, 5),共 1+2+3+4+5=15(個(gè)). P= 15 36 5 12- 答案：A 5. 三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇 其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩

10、人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（） C.3 D?g 解析：三位同學(xué)每人選擇三項(xiàng)中的兩項(xiàng)有C2C|C23=3X3X3= 27種選法，其中有且僅有兩人所選項(xiàng)目完全相同的有 C2C2C1 = 3 3 2 3X3X2=18種選法. 18 2 .,?所求概率為P=27=3. 答案：A 二、填空題 6. （2014?廣東卷）從 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中任取七個(gè) 不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為, 解析：從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七個(gè)不同的數(shù)， 基本事件共有C；0=120（個(gè)），記事件“七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6

11、”為事件 A. 若事件A發(fā)生，則6, 7, 8, 9必取，再?gòu)?, 1, 2, 3, 4, 5 中任取3個(gè)數(shù)，有C?種選法. 故所求概率P（A）=1C0=1. 答案：6 7. （2016?南昌質(zhì)檢）10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任 取4件，則恰好取到1件次品的概率是. 解析：從10件產(chǎn)品中任取4件共。；。種取法，取出的4件產(chǎn)品 中恰有一件次品，有C3C1種取法，則所求概率p= / J 1 答案：2 8. 從n個(gè)正整數(shù)1, 2, 3,…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)， 1 若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為土，則n=? 解析：因?yàn)?=1+4=2+3 21 所以C2

12、=14，解得 n=8（n= —7 舍） n 答案：8 9. （2014-新課標(biāo)全國(guó)I改編）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中 任選一天參加公益活動(dòng)，貝調(diào)六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率 為. 解析：由題意知，4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參 加公益活動(dòng)有24種情況，而4位同學(xué)都選周六有1種情況，4位同學(xué) 都選周日也有1種情況，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率 24-1-1 14 7 為 P=一24一=16=8 - 7 答案：8 三、解答題 10. 先后擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記向上的點(diǎn)數(shù)為a, b.事 件A： 點(diǎn)(a, b)落在圓x2+y2=12內(nèi)；事件B： f

13、(a)<0，其中函數(shù)f(x) =x2-2x+：. (1) 求事件A發(fā)生的概率. (2) 求事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率. 解:(1)先后擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有6X6=36種等可能的結(jié) 果. 滿足落在圓 x2+y2=12 內(nèi)的點(diǎn)(a, b)有:(1, 1)、(1, 2)、(1, 3)、 (2, 1)、(2, 2)、(3, 1)共 6 個(gè)? 事件A發(fā)生的概率P(A)=36=1* . 3 一 1 3 (2)由 f(a)=a2—2a+ <0,得

14、1, 3)共 3 種情形. 31 故事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率為P(AB)=36=12. 11. 甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙 校1男2女. (1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，求選出的2名教 師性別相同的概率； (2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，求選出的2名老師來(lái)自同 學(xué)校的概率. 解：(1)從甲、乙兩校報(bào)名的教師中各選1名，共有n=C；?C；= 9種選法. 記“2名教師性別相同”為事件A,則事件A包含基本事件總數(shù) 一 .一 、 m 4 m=C2 ? 1+C； ? 1=4,」.P(A)=h=9- (2)從報(bào)名的6人中任選2名，有n=C2=15種選法. 記“選出的2名老師來(lái)自同一學(xué)?！睘槭录﨎,則事件B包含 基本事件總數(shù)m=2C|=6. ???選出2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率p(b)=15=5. 且A Q