1.2 基本不等式1

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1、1．2 基本不等式 1．定理1 設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式) 如果a，b為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立．即：兩個正數(shù)的算術平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均． 3．定理3(三個正數(shù)的算術—幾何平均值不等式) 如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 4．定理4(一般形式的算術—幾何平均值不等式) 如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則 ≥ 并且當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立． [小問題·大思維] 1．在基本不等式≥中，為什么要求a，b∈(

2、0，＋∞)? 提示：對于不等式≥，如果a，b中有兩個或一個為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，而且a，b至少有一個為0時，不能稱為幾何平均(或等比中項)，因此規(guī)定a，b∈(0，＋∞)． 2．滿足不等式≥成立的a，b，c的范圍是什么？ 提示：a，b，c的范圍為a≥0，b≥0，c≥0. [例1]　已知a，b，c為正實數(shù)，且abc＝1 求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路點撥]　本題考查基本不等式在證明不等式中的應用，解答本題需要分析不等式的特點，先對a＋b，b＋c，c＋a分別使用基本不等式，再把它們相乘． [精解詳析]　∵a，b，c為正實數(shù)， ∴a＋b≥2＞0

3、， b＋c≥2＞0， c＋a≥2＞0， 由上面三式相乘可得 (a＋b)(b＋c)(c＋a) ≥8··＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. 規(guī)律總結 (1)用基本不等式證明不等式時，應首先依據(jù)不等式兩邊式子的結構特點進行恒等變形，使之具備基本不等式的結構和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形形式進行證明． (2)本題證明過程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所證的不等式． 變式 1．已知a，b∈(0，＋∞)，求證：(a＋b)≥4. 證明：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，① 當且僅當a＝b時取等號． ＋≥2>0，② 當且僅當＝，

4、即a＝b時取等號． ①×②，得(a＋b)≥2·2＝4， 當且僅當a＝b時取等號． ∴(a＋b)≥4. [例2]　(1)已知a，b，c∈R＋， 求證：a2＋b2＋c2＋2≥6. (2)設a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝m，求證：＋＋≥. [思路點撥]　本題考查平均不等式的應用．解答(1)題時可重復使用均值不等式，(2)題需要先觀察求證式子的結構，然后通過變形轉化為用平均不等式證明． [精解詳析]　(1)a2＋b2＋c2＋2 ≥3＋9 ≥2＝6， 當且僅當a＝b＝c＝時等號成立． (2)∵·m ＝(a1＋a2＋a3)· ≥3·3 ＝9·＝9. 當且僅

5、當a1＝a2＝a3＝時等號成立． 又∵m>0，∴＋＋≥. 規(guī)律總結 三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應用比較法證明，只是在具備條件時，直接應用該定理會更簡便．若不直接具備“一正二定三相等”的條件，要注意經(jīng)過適當?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明． 連續(xù)多次使用平均值不等式定理時要注意前后等號成立的條件是否保持一致． 變式 2．已知a，b，c∈R＋，證明(a＋b＋c)2≥27. 證明：∵a，b，c∈R＋， ∴a＋b＋c≥3>0. ∴(a＋b＋c)2≥9 又＋＋≥3>0， ∴(a＋b＋c)

6、2≥3·9 ＝27. 當且僅當a＝b＝c時，等號成立． ∴(a＋b＋c)2≥27. 一、選擇題 1．設x、y為正實數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則(　　) A．x＋y≥2(＋1)　　　　 B．x＋y≤2(＋1) C．x＋y≤(＋1)2 D．x＋y≥(＋1)2 解析：x＞0，y＞0，xy－(x＋y)＝1?xy＝1＋(x＋y)?1＋(x＋y)≤2?x＋y≥2(＋1)． 答案：A 2．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列關系式總成立的是(　　) A．V≥π B．V≤π C．V≥π D．V≤π 解析：設圓柱的底面半徑為r

7、，高為h， 則由題意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3， 于是有V＝πr2h≤π·3＝π3＝π， 當且僅當r＝h時取等號． 答案：B 3．設x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，則lg x＋lg y＋lg z的取值范圍是(　　) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) 解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而xyz≤3，∴l(xiāng)g(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (當且僅當x＝y(tǒng)＝z＝2時，等號成立)． 答案：B 4．設a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝，則x的取值范圍為(　　)

8、A. B. C．[1,8) D．[8，＋∞) 解析：∵x＝ ＝··＝ ≥＝8， 當且僅當a＝b＝c時取等號，∴x≥8. 答案：D 二、填空題 5．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 解析：因為x＞0，y＞0， 所以＋≥2＝ ，即 ≤1，解得xy≤3，所以其最大值為3. 答案：3 6．設a>1，t>0，則logat與loga的大小關系為logat________loga(填“<”“≥”或“≤”)． 解析：因為logat＝loga，又t>0 又≥ . 而a>1，∴l(xiāng)oga≥loga，故填“≤”． 答案：≤

9、 7．函數(shù)y＝(x≠0)有最大值________，此時x＝________. 解析：∵x≠0，∴x2>0. ∴y＝＝≤＝， 當且僅當x2＝，即x4＝9，x＝±時取等號， 即當x＝±時，ymax＝. 答案：　± 8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，則abc的最大值是________． 解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3. 0＜abc≤3＝， 當且僅當a＝b＝c＝時取等號． 答案： 三、解答題 9．求函數(shù)y＝2x2＋(x>0)的最小值． 解：由x>0知2x2>0，>0，則 y＝2x2＋＝2x2＋＋ ≥3＝3. 當且僅當2x2＝，即

10、x＝時， ymin＝3＝. 10．已知a，b為正實數(shù)，a＋b＝1. 求證：2＋2≥. 證明：∵a>0，b>0，a＋b＝1. ∴1＝a＋b≥2，≤.∴≥4. ∵≤ ，∴≥2. ∴2＋2≥22＝≥≥. ∴2＋2≥. 當且僅當a＝b＝時等號成立． 11．設a，b，c為正實數(shù)， 求證：＋＋＋abc≥2. 證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由算術—幾何平均不等式可得 ＋＋≥3， 即＋＋≥(當且僅當a＝b＝c時，等號成立)． 所以＋＋＋abc≥＋abc. 而＋abc≥2＝2(當且僅當a2b2c2＝3時，等號成立)， 所以＋＋＋abc≥2(當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立)．