2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(三十六) 第六章 第三節(jié) 基本不等式 文

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1、課時(shí)提升作業(yè)(三十六) 第六章 第三節(jié) 基本不等式 一、選擇題 1.設(shè)00,且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上(其中m,n>0),則+的最小值等于　(　　) (A)16 (B)12 (C)9 (D)8 3.(2012·湖北高考)設(shè)a,b,c∈R,則“abc=1”是“++≤a+b+c”的　(　　) (A)充分條件但不是必要條件 (B)必要條件但不是充分條

2、件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要的條件 4.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸,每次都購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=　(　　) (A)20　　　(B)10　　　(C)16　　　(D)8 5.(2013·撫州模擬)設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則+的最小值為　 (　　) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 6.(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a

3、 (D)v= 7.(2013·南昌模擬)設(shè)x,y是滿足2x+y=20的正數(shù),則lgx+lg(2y)的最大值為　 (　　) (A)50 (B)2 (C)1+lg5 (D)1 8.(2013·余姚模擬)已知f(x)=log2(x-2),若實(shí)數(shù)m,n滿足f(m)+f(2n)=3,則m+n的最小值為　(　　) (A)5 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空題 9.(2013·淮南模擬)設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,則+的最大值為　　　　. 10.若對(duì)任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是　　　　. 11.若當(dāng)x>1時(shí)不

4、等式>m2+1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　. 12.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是　　　　. 三、解答題 13.若x,y∈R,且滿足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范圍.(2)求證:xy≤2. 14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值. 15.(能力挑戰(zhàn)題)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示),如果池圍墻建造單價(jià)為400元/米,中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米,池底建造單價(jià)為80元/米2,水池所有

5、墻的厚度忽略不計(jì). (1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià). (2)若由于地形限制,設(shè)池的長(zhǎng)和寬都不能超過16米,試設(shè)計(jì)該水池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低. 答案解析 1.【解析】選B.方法一:令a=1,b=4, 則=2,=, ∴a<<0,b>0 (B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0 (C)若a>0,b>0,且a+b=4,則+≤1 (D)若ab>0,則≥ 【解析】

6、選D.當(dāng)a,b∈R時(shí),一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A錯(cuò).要使+≥2成立,只要>0,>0即可,這時(shí)只要a,b同號(hào),B錯(cuò).當(dāng)a>0,b>0,且a+b=4時(shí),則+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C錯(cuò).當(dāng)a>0,b>0時(shí),a+b≥2,所以≤=,而當(dāng)a<0,b<0時(shí),顯然有>,所以當(dāng)ab>0時(shí),一定有≥,故D正確. 2.【解析】選D.由題意A(-2,-1), ∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. ∴+=(+)(2m+n)=4++≥8. 當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)取等號(hào). 3.【解析】選A.由于++=≤=.可知當(dāng)abc=1時(shí),可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c

7、=9,滿足++≤a+b+c,但abc=1不成立. 4.【解析】選A.該公司一年購(gòu)買某種貨物400噸,每次都購(gòu)買x噸,則需要購(gòu)買次,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,故一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為(·4+4x)萬(wàn)元. 而·4+4x≥2=160,當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=20時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小. 5.【解析】選B.由題意3=3a·3b=3a+b,∴a+b=1, ∴+=(+)(a+b)=2++≥4, 當(dāng)且僅當(dāng)=,a=b時(shí)取等號(hào). 6.【解析】選A.設(shè)甲乙兩地的路程為s,則往返時(shí)間分別是t1=,t2=,所以平均速度是v===,因?yàn)閍a, <,即a<

8、v<. 7.【解析】選B.∵20=2x+y≥2,∴2xy≤100, ∴l(xiāng)gx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2. 當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào). 8.【解析】選B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3, 因此于是n=+1. 所以m+n=m++1=m-2++3≥2+3=7.當(dāng)且僅當(dāng)m-2=,即m=4時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)m+n取最小值7. 9.【解析】由題意x=loga3,y=logb3.∴+=+=log3a+log3b=log3(ab). ∵2=a+b≥2,∴ab≤3, ∵+≤log33=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

9、 ∴+的最大值為1. 答案：1 10.【解析】∵x>0,∴x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)), ∴=≤=, ∴()max=,∴a≥. 答案：a≥ 【方法技巧】根據(jù)恒成立求參數(shù)的方法 (1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max. (2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min. 即將求參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來(lái)解決. 11.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是用基本不等式求的最小值,可將其分子按照分母x-1進(jìn)行配方,然后分解為3項(xiàng),再利用基本不等式求最值. 【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào),所以要使不等式恒成立,應(yīng)有m2+1<6,

10、解得-0,所以有0≤x2+y2≤4. (2)由(1)

11、知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2. 14.【思路點(diǎn)撥】把2x+8y-xy=0轉(zhuǎn)化為+=1即可. 【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1, 又x>0,y>0, 則1=+≥2=,得xy≥64, 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立. 所以xy的最小值為64. (2)由2x+8y-xy=0,得+=1, 則x+y=(+)·(x+y) =10++≥10+2=18. 當(dāng)且僅當(dāng)=,且+=1時(shí)等號(hào)成立, ∴x+y的最小值為18. 15.【解析】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米,則長(zhǎng)為米, 則總造價(jià)f(x)=400×(2x+2×)+248×2x+80×162=1296x++12960= 1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元). 當(dāng)且僅當(dāng)x=,x=10時(shí)取等號(hào). ∴當(dāng)長(zhǎng)為16.2米,寬為10米時(shí)總造價(jià)最低,最低總造價(jià)為38880元. (2)由限制條件知 ∴10≤x≤16. 設(shè)g(x)=x+(10≤x≤16), ∴g(x)在[10,16]上是增函數(shù), ∴當(dāng)x=10時(shí)(此時(shí)=16),g(x)取最小值, 即f(x)取最小值. ∴當(dāng)長(zhǎng)為16米,寬為10米時(shí),總造價(jià)最低.