2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(五十一) 第八章 第五節(jié) 橢 圓 文

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1、課時(shí)提升作業(yè)(五十一) 第八章 第五節(jié) 橢 圓 一、選擇題 1.(2013·商洛模擬)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,則橢圓的離心率等于　 (　　) (A)　　　 (B)　 　　(C)　 　　(D) 2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　(　　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+y2=1 (D)+=1 3.(2013·馬鞍山模擬)橢圓x2+4y2=1的離心率為　(　　) (A) (B) (C) (D) 4.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M

2、,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是　(　　) (A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線 5.(2013·宜春模擬)過橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為　(　　) (A) (B) (C) (D) 6.(能力挑戰(zhàn)題)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是　(　　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1

3、(D)+=1 二、填空題 7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為　　　　. 8.已知點(diǎn)P是橢圓16x2+25y2=400上一點(diǎn),且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線PF2的斜率為-4,則△PF1F2的面積是　　　　. 9.分別過橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,則此橢圓的離心率的取值范圍是　　　　. 三、解答題 10.(2013·南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C上任意一點(diǎn)P

4、到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4. (1)求曲線C的方程. (2)設(shè)過(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑作圓. 試問:該圓能否經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若能,請(qǐng)寫出此時(shí)直線l的方程,并證明你的結(jié)論;若不能,請(qǐng)說明理由. 11.(2013·淮南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y2=8x的焦點(diǎn),上頂點(diǎn)為B,離心率為. (1)求橢圓C的方程. (2)過點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,求直線l的方程. 12.(2013·九江模擬)已知點(diǎn)P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點(diǎn),

5、點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn). (1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程. (2)設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)K是軌跡C上異于A,B的任意一點(diǎn),KH⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長(zhǎng)交過B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D,N為DB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系. 答案解析 1.【解析】選B.由題意得2a=2b,即a=b. 又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得離心率e=. 2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.

6、 知其半徑r=4,∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,∴a=2. 又e==, ∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 3.【解析】選A.先將x2+4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程+=1,則a=1,b=,c==.離心率e==. 4.【解析】選B.點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上,故|PA|=|PN|,又AM是圓的半徑,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由橢圓的定義知,P的軌跡是橢圓. 5.【解析】選B.由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-c,)或(-c,-),因?yàn)椤螰1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡(jiǎn)得到結(jié)論為. 6.【思路

7、點(diǎn)撥】由于c=1,所以只需長(zhǎng)軸最小,即公共點(diǎn)P,使得|PF1|+|PF2|最小時(shí)的橢圓方程. 【解析】選C.由于c=1,所以離心率最大即為長(zhǎng)軸最小. 點(diǎn)F1(-1,0)關(guān)于直線x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為F′(-3,2), 設(shè)點(diǎn)P為直線與橢圓的公共點(diǎn), 則2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2. 取等號(hào)時(shí)離心率取最大值, 此時(shí)橢圓方程為+=1. 7.【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0). ∵e=,∴=.根據(jù)△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1. 答案:+=1 8.【解析】由已知F

8、1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因?yàn)閤<3,故舍去), 又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16×()2+25y2=400, 解得y=2, ∴=|F1F2|·y=×6×2=6. 答案:6 9.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是由l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,得到a,b,c間的關(guān)系,進(jìn)而求得離心率e的取值范圍. 【解析】由已知得交點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上. 又點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部,所以有c2

9、 即2c2

10、 Δ=162k2-4×12×(1+4k2)>0,∴k2>,………………② 則x1+x2=,x1·x2=,代入①,得 (1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4, ∴k=2或k=-2,滿足②式. 所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2. 11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為A(2,0),依題意可知a=2. 因?yàn)殡x心率e==,所以c=. 故b2=a2-c2=1, 所以橢圓C的方程為:+y2=1. (2)直線l:y=kx+, 由 消去y可得(4k2+1)x2+ 8kx+4=0, 因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于P,Q, 所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)

11、×4>0, 解得|k|>. 又x1+x2=,x1x2=, 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)M(x0,y0), 因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-, 所以x0===-, 解得k=1或k=, 因?yàn)閨k|>,所以k=1, 因此所求直線l:y=x+. 12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0), 圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|, 從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2, ∴點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,其中長(zhǎng)軸2a=4,焦距2c=2, 則短半軸b===1, 橢圓方程為:+y2=1. (2)設(shè)K(x0,y0),則+=1. ∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2, ∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上,即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上. 又A(-2,0),∴直線AQ的方程為y=(x+2). 令x=2,得D(2,). 又B(2,0),N為DB的中點(diǎn),∴N(2,). ∴=(x0,2y0),=(x0-2,). ∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+ =x0(x0-2)+x0(2-x0)=0, ∴⊥,∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切.