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1、矢量代數(shù) 常用正交曲線坐標(biāo)系 標(biāo)量場的梯度 矢量場的散度 矢量場的旋度 無旋場與無散場 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 亥姆霍茲定理,本章內(nèi)容,矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示,矢量可表示為： 其中 為模值，表征矢量的大小； 為單位矢量，表征矢量的方向；,1.1 矢量代數(shù),1.1.1 標(biāo)量和矢量,標(biāo)量與矢量 標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強(qiáng)度）,矢量的代數(shù)表示,說明：矢量書寫時，印刷體為場量符號加粗，如 。教材上的矢量符號即采用印刷體。,矢量用坐標(biāo)分量表示,1.1.2 矢量代數(shù)運(yùn)算,,矢量的加法和減法,矢量相
2、加和相減可用平行四邊形法則求解：,說明： 矢量的加法符合交換律和結(jié)合律：,矢量的乘法,矢量與標(biāo)量相乘,標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。,矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）,說明： 1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律：,2、兩個矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量,,,3、,矢量的矢積（叉積）,說明： 1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律：,2、兩個矢量的叉積為矢量,4、矢量運(yùn)算恒等式,,,3、,三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。,三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。,正交坐標(biāo)系：三條正交曲線組成、確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為
3、坐標(biāo)變量。,1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系,1.2.1 直角坐標(biāo)系,位置矢量,面元矢量,線元矢量,體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,坐標(biāo)變量：,坐標(biāo)單位矢量：,變化范圍：,坐標(biāo)變換關(guān)系：,,,1.2.2 圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)之間單位矢量的變換關(guān)系,線元矢量,體積元,面元矢量,位置矢量,說明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法,加減：,標(biāo)積：,矢積：,1.2.3 球坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量：,坐標(biāo)單位矢量,變化范圍：,變換關(guān)系：,,,坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,球坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo),球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo),線元矢量,體積元,面元矢量,球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,位置矢量,說明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算,加減：,標(biāo)積
4、：,矢積：,課外學(xué)習(xí)實(shí)訓(xùn) 1,試分析產(chǎn)生此悖論的原因。在此基礎(chǔ)上，撰寫一篇關(guān)于對三個常用坐標(biāo)系單位坐標(biāo)矢量認(rèn)識的學(xué)習(xí)報(bào)告。,2、位于球坐標(biāo)系下的P點(diǎn)（1, 30, 90）處的矢量 ， 利用直角坐標(biāo)系可表示為：,1、已知圓柱坐標(biāo)系下的點(diǎn) 和 ，試在圓 柱坐標(biāo)系下寫出從 到P 的矢量 與從P 到 的矢量,1.3 標(biāo)量場的梯度,1. 標(biāo)量場和矢量場,標(biāo)量場：物理量是為標(biāo)量,矢量場：物理量是矢量,場的概念：物理量在空間區(qū)域上的一個確定分布,例如：流速場、重力場、電場、磁場等,例如：溫度場、電位場、高度場等。,場的表示方式,如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。,標(biāo)
5、量場：,矢量場：,2. 標(biāo)量場的等值面,等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。,等值面方程：,常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間； 標(biāo)量場的等值面互不相交。,等值面的特點(diǎn)：,意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。,3. 方向?qū)?shù),意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。,概念：, u(M)沿 方向增加；, u(M)沿 方向減?。? u(M)沿 方向無變化。,特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn) M0 有關(guān)，也與 方向有關(guān)。,問題： 在什么方向上變化率最大? 最大的變化率為多少？,梯度,,梯度的計(jì)算公式
6、：,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,4. 標(biāo)量場的梯度（ 或 ）,意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及 其變化最大的方向,概念：,其中 取得最大值的方向,梯度的性質(zhì),標(biāo)量場的梯度為矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù),標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的最大變化率,標(biāo)量場梯度的方向垂直于等值面，且為標(biāo)量場增加最快的方向,標(biāo)量場在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向投影,梯度運(yùn)算的基本公式：,式中： 為常數(shù)；,為坐標(biāo)變量函數(shù)；,解 (1),例1.3.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)u ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試求： (1) 該函數(shù)u 在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及
7、表示該梯度方向的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)u 沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。,(2),而該點(diǎn)的梯度值為,顯然，梯度 描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。,,1.4 矢量場的通量與散度,1. 矢量線,意義：形象直觀地描述了矢量場的空間 分布狀態(tài)。,矢量線方程：,概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場 的方向。,2. 矢量場的通量,問題：如何定量描述矢量場的大小？ 引入通量的概念。,通量的概念,面積元的法向單位矢量；,穿過面積元 的通量。,如果
8、 S 是閉合曲面，則,外法向單位矢量,若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的正源；,若 ，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)源；,若 ，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無源，或正源負(fù)源代數(shù)和為0。,通過閉合面S的通量的物理意義：,3. 矢量場的散度,散度的定義,在場空間中任意點(diǎn)M 處作一個包圍體積元 的閉合曲面S，定義場矢量 在M 點(diǎn)處的散度為：,矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性(體密度)；,說明,矢量場的散度是標(biāo)量；,矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；,若 ，則該矢量場稱為有散場，為源密度,若 處處成立，則該矢量場稱為無散場,圓
9、柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,散度的計(jì)算公式, 直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo),則穿過前、后兩側(cè)面的凈通量值為,取包圍P點(diǎn)的微體積元V 為一直平行六面體，如圖所示。則,同理，求出穿過另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得,根據(jù)定義，得,散度的有關(guān)公式：,4. 散度定理（矢量場的高斯定理）,意義：矢量場穿過空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包圍體積中矢量場的散度的體積分。,散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系。,說明：,如何證明？,應(yīng)用散度定理要注意條件： 必須是封閉曲面 的各分量具有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù),1.5 矢量場的環(huán)流與旋度,矢量場的環(huán)流,流速場,電流的磁場,環(huán)流的概念,矢量場
10、沿有向閉合曲線L的線積分稱為該矢量對閉合曲線L的環(huán)流，即,環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。,稱為矢量場在點(diǎn)M 處沿方向 的環(huán)流面密度。,定義：,2. 環(huán)流面密度,說明：,環(huán)流面密度 是 在M點(diǎn)處沿 方向的漩渦源密度,在空間任一點(diǎn)M處以 為法向矢量做一面積元 ，則,環(huán)流面密度 與面元方向 有關(guān)。,而,推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。,直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式,于是,同理可得,故得,概念：矢量場在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán) 流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積 元的法線方向，即,3. 矢量場的旋度,
11、說明：,矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù),矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度,若 處處成立，則稱其為無旋場,若 ，則稱其為有旋場， 為漩渦源密度矢量,,旋度的計(jì)算公式:,旋度的有關(guān)公式：,,4. 斯托克斯定理,意義：矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量。,說明：斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式。,如何證明？,散度和旋度的比較,1.6 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理,1. 拉普拉斯運(yùn)算,標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算,概念：, 拉普拉斯算符,直角坐標(biāo)系,計(jì)算公式：,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,矢量拉普拉斯運(yùn)算,概念：,即,注意：對于非直角
12、分量，,直角坐標(biāo)系中：,如：,2. 格林定理,標(biāo)量第一格林定理,式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為表面S 的外法向矢量,標(biāo)量第二格林定理：,1.7 亥姆霍茲定理,在以 S 為邊界的有限區(qū)域 V 內(nèi)，任意矢量場由其在區(qū)域V內(nèi)的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上 S 的分布）唯一確定，且可表示為：,式中：,1. 亥姆霍茲定理,無界空間（不存在邊界面）,亥姆霍茲定理表明：,在無界區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。,在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場有關(guān)。,亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線。,2. 矢量場按源的分類,（1）無旋場,性質(zhì)
13、： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。,無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示，即,例如：靜電場,（2）無散場,性質(zhì)：,無散場可以表示為另一個矢量場的旋度,例如，恒定磁場,（3）無旋、無散場,（源在所討論的區(qū)域之外）,（4）有散、有旋場,這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分,,,,內(nèi)容總結(jié) 場的基本概念 三個坐標(biāo)系 三個度 兩個轉(zhuǎn)換(公式) 兩個恒等式 一個運(yùn)算 兩個定理 場基本方程的微分和積分形式 場點(diǎn)和源點(diǎn)的梯度關(guān)系,哈密頓算符： 梯度： 散度： 旋度：,斯托克斯定理,散度定理（高斯定理）,面-體積分轉(zhuǎn)化：,面-線積分轉(zhuǎn)化：,梯度的旋度恒等于零： 旋度的散度恒等于零: 拉普拉斯運(yùn)算： 格林定理 第一恒等式： 第二恒等式：,場基本方程的微分形式： 場基本方程的積分形式：,亥姆霍茲定理： 只要一個矢量場的散度和旋度處處是已知的，那么就可以惟一地求出這個矢量場,,,場點(diǎn)和源點(diǎn)的梯度關(guān)系：,練 習(xí) 題,1.5, 1.9,1.11, 1.12, 1.16, 1.18,1.20, 1.23, 1.27,
矢量分析基礎(chǔ)
