《矢量分析》課件

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1、薛正遠(yuǎn) （理6-505） 課程公郵： 密碼：physics2011 華南師范大學(xué),電磁場與電磁波,一、電磁現(xiàn)象的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識時代（18世紀(jì)之前） 1.古希臘“七賢之一”的哲學(xué)家泰利斯（Thales）曾敘述過織衣者所觀察到的現(xiàn)象，那就是用毛織物摩擦過的琥珀能夠吸引某些輕的物體。 2.大約在春秋末期（約公元前四、五世紀(jì)）成書的管子地數(shù)篇，戰(zhàn)國時期的鬼谷子，戰(zhàn)國末期的呂氏春秋等，都留記述了天然磁石及其吸鐵現(xiàn)象，并且出現(xiàn)世界上最古老的指南針“司南”。 3. 1638年，我國建筑學(xué)書籍中對避雷的記載：屋頂?shù)乃慕嵌急坏耧棾升堫^的形狀，仰頭、張口，在它們的舌頭上有一根金屬芯子，其末端伸到地下，如有雷電擊中房頂，

2、會順著龍舌引入地下，不會對房屋造成危險。,緒論,1. 1745年，荷蘭萊頓大學(xué)馬森布羅克制成了萊頓瓶，可以將電荷儲存起來，供電學(xué)實(shí)驗(yàn)使用，為電學(xué)研究打下了基礎(chǔ)。 2. 1752年7月，美國著名的科學(xué)家、文學(xué)家、政治家富蘭克林的風(fēng)箏試驗(yàn)，證實(shí)了閃電式放電現(xiàn)象，從此拉開了人們研究電學(xué)的序幕。 3.1753年，俄國著名的電學(xué)家利赫曼在驗(yàn)證富蘭克林的實(shí)驗(yàn)時，被雷電擊中，為科學(xué)探索獻(xiàn)出了寶貴的生命。 4. 17711773，英國科學(xué)家卡文迪什進(jìn)行了大量靜電試驗(yàn)，證明在靜電情況下，導(dǎo)體上的電荷只分布在導(dǎo)體表面上。,二、電磁學(xué)現(xiàn)代科學(xué)體系的建立 （文藝復(fù)興之后，18世紀(jì)中-19世紀(jì)中）,5. 1785年，法

3、國科學(xué)家?guī)靵鲈趯?shí)驗(yàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，提出了第一個電學(xué)定律：庫侖定律。使電學(xué)研究走上了理論研究的道路。 6. 1820年，由丹麥的科學(xué)家奧斯特在課堂上的一次試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)了電的磁效應(yīng)，從此將電和磁聯(lián)系在一起 。 7. 1822年，法國科學(xué)家安培提出了安培環(huán)路定律，將奧斯特的發(fā)現(xiàn)上升為理論。 8. 1825年，德國科學(xué)家歐姆得出了第一個電路定律：歐姆定律。 9. 1831年，英國實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)定律 并設(shè)計(jì)了世界上第一臺感應(yīng)發(fā)電機(jī)。,10. 1840年，英國科學(xué)家焦耳提出了焦耳定律，揭示了電磁現(xiàn)象的能量特性。 11. 1848年 ，德國科學(xué)家基爾霍夫提出了基爾霍夫電路理論，使電路理論趨于

4、完善。 12.奧斯特的電生磁和法拉第的磁生電奠定了電磁學(xué)的基礎(chǔ)。,電磁學(xué)理論的完成者英國的物理學(xué)家麥克斯韋（1831-1879）。麥克斯韋方程組用最完美的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了宏觀電磁學(xué)的全部內(nèi)容 ，從理論上預(yù)言了電磁波的存在。,1866年，德國的西門子發(fā)明了使用電磁鐵的發(fā)電機(jī)，為電力工業(yè)開辟了道路。 1876年，美國貝爾發(fā)明了電話，實(shí)現(xiàn)了電聲通信。 1879年，美國發(fā)明家愛迪生發(fā)明了電燈，使電進(jìn)入了人們的日常生活。 1887年，德國的物理學(xué)家赫茲首次用人工的方法產(chǎn)生了電磁波。隨后，俄國的波波夫和意大利的馬可尼，利用電磁波通信獲得成功，開創(chuàng)了人類無線通信的新時代。,三、電磁學(xué)應(yīng)用突飛猛進(jìn)（19世紀(jì)中至

5、今）,四、課程內(nèi)容,第一章：電磁學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 矢量運(yùn)算 第二章：電磁學(xué)的理論基礎(chǔ) 麥克斯韋方程組 第三、四、五章：麥克斯韋方程組的應(yīng)用 (邊界條件，靜態(tài)場) 第六章：（平面）電磁波的傳輸特性 第七章：電磁波在波導(dǎo)中的傳播（光纖通信） 第八章：電磁波的產(chǎn)生（電磁波的輻射）,五、場的基本概念,1.什么是場？ a.從數(shù)學(xué)角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性。 比如：T 是溫度場中的物理量，T 就是溫度場 b.從物理角度：場是遍及一個被界定的或無限擴(kuò)展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應(yīng)的特殊的物質(zhì)，場是具有能量的。 重力場、電磁場、,2.場

6、的分類 a. 按物理量的性質(zhì)分： 標(biāo)量場：描述場的物理量是標(biāo)量。 矢量場：描述場的物理量是矢量。 b. 按場量與時間的關(guān)系分： 靜態(tài)場：場量不隨時間發(fā)生變化的場。 動態(tài)場：場量隨時間的變化而變化的場。 動態(tài)場也稱為時變場。,第1章 矢量分析,一、矢量和標(biāo)量的定義,二、矢量的運(yùn)算法則,三、矢量微分元：線元，面元，體元,四、標(biāo)量場的梯度,六、矢量場的旋度,五、矢量場的散度,七、重要的場論公式,一、矢量和標(biāo)量的定義,1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。,矢量表示為：,所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位

7、矢量，表示矢量的方向，其大小為1。,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、電場 等,如：溫度 T、長度 L 等,,例1：在直角坐標(biāo)系中，x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？,圖示法：,,,,,,,,,力的圖示法：,二、矢量的運(yùn)算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。,a.滿足交換律：,b.滿足結(jié)合律：,,,,,,,,,,,,,,三個方向的單位矢量用 表示。,根據(jù)矢量加法運(yùn)算：,所以：,,,,,,在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:,,,,,其中：,矢量：,模的計(jì)算：,單位矢量：,方向角與方向余弦：,在直角坐標(biāo)系中三個矢量加法運(yùn)算：,,,,2.減法：

8、換成加法運(yùn)算,,,,,,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。,,,,,,,,,,,,,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：,3.乘法：,（1）標(biāo)量與矢量的乘積：,（2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：,,,,,,在直角坐標(biāo)系中，已知三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即,有兩矢量點(diǎn)積：,結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。,推論1：滿足交換律,推論2：滿足分配律,推論3：當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個矢量必正交。,推論1：不服從交換律：,推論2：服從分配律：,推論3：不服從結(jié)合律：,推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。,b.矢量積（叉積）：,含義： 兩矢量

9、叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。,在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：,兩矢量的叉積又可表示為：,（3）三重積：,三個矢量相乘有以下幾種形式：,矢量，標(biāo)量與矢量相乘。,標(biāo)量，標(biāo)量三重積。,矢量，矢量三重積。,a. 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。,定義：,,含義：標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。,注意：先后輪換次序。,推論：三個非零矢量共面的條件。,在直角坐標(biāo)系中：,b.矢量三重積：,例2：,解：,則：,設(shè),,,例3： 已知,求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。,,,,,其中

10、：k 為任意實(shí)數(shù)。,,,C,A,B,,,,,,,,解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上， 任取一點(diǎn)C，對于原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則,三、矢量微分元：線元、面元、體元,例：,其中： 和 稱為微分元。,1. 直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。,線元：,,,面元：,體元：,2. 圓柱坐標(biāo)系,在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,3. 球坐標(biāo)系,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：,b. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變

11、量為 ,其中 為角度， 其對應(yīng)的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為：,注意：,在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這個修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、面元和體元。,體元：,線元：,面元：,正交曲線坐標(biāo)系：,四、標(biāo)量場的梯度,1. 標(biāo)量場的等值面,可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。,以溫度場為例：,,,熱源,等溫面,,,,,b.梯度,定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值

12、面的法線方向。,數(shù)學(xué)表達(dá)式：,2. 標(biāo)量場的梯度,a.方向?qū)?shù)：,空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。,為最大的方向?qū)?shù)。,標(biāo)量場的場函數(shù)為,計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在任意正交曲線坐標(biāo)系中：,在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：,在直角坐標(biāo)系中：,五、矢量場的散度,1. 矢線（場線）：,在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。,2. 通量：,定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。,表達(dá)式：,若曲面為閉合曲面：,,,,,,討論：,a. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿出閉合面的通量

13、大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。,b. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。,c. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量等于穿出的通量。,3. 散度：,散度：,a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。,b.表達(dá)式：,在直角坐標(biāo)系中選擇一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。,c.散度的計(jì)算：,矢量場 表示為：,通量計(jì)算式為,因?yàn)椋?則：,在 x 方向上的總通量：,在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：,整個封閉曲面的總通量：,同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：,該閉合曲面

14、所包圍的體積：,通常散度表示為：,4.散度定理：,物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。,柱坐標(biāo)系中：,球坐標(biāo)系中：,直角坐標(biāo)系中：,常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式,六、矢量場的旋度,六、矢量場的旋度,1. 環(huán)量：,在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。,可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。,2. 旋度:,定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度。,表達(dá)式：,旋度計(jì)算：,以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：,場矢量：,其中： 為x 方向的環(huán)量密度。,,,旋度可用符號表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,,旋度公式：,為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:,3. 斯托克斯定理：,物理含義： 一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。,七、重要的場論公式,1. 兩個零恒等式,任何標(biāo)量場梯度的旋度恒為零。,任何矢量場的旋度的散度恒為零。,在圓柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中：,作業(yè)： 1-1,；1-4；1-12；1-15；1-18 下一次課交,