《抽樣與參數(shù)估計》PPT課件

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1、第 四 章 抽樣與參數(shù)估計,4.1 抽樣與抽樣分布 4.2 參數(shù)估計的基本方法 4.3 總體均值的區(qū)間估計 4.4 總體比例的區(qū)間估計 4.5 樣本容量的確定,學習目標,理解抽樣方法與抽樣分布 估計量與估計值的概念 點估計與區(qū)間估計的區(qū)別 評價估計量優(yōu)良性的標準 總體均值的區(qū)間估計方法 總體比例的區(qū)間估計方法 樣本容量的確定方法,參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位,統(tǒng)計推斷的過程,4.1 抽樣與 抽樣分布,什么是抽樣推斷 概率抽樣方法 抽樣分布,抽樣方法,抽樣方法,概率抽樣(probability sampling),也稱隨機抽樣 特點 按一定的概率以隨機原則抽取樣本 抽取樣本時使每個單位都有一定的機

2、會被抽中 每個單位被抽中的概率是已知的，或是可以計算出來的 當用樣本對總體目標量進行估計時，要考慮到每個樣本單位被抽中的概率,簡單隨機抽樣(simple random sampling),從總體N個單位中隨機地抽取n個單位作為樣本，每個單位入抽樣本的概率是相等的 最基本的抽樣方法，是其它抽樣方法的基礎 特點 簡單、直觀，在抽樣框完整時，可直接從中抽取樣本 用樣本統(tǒng)計量對目標量進行估計比較方便 局限性 當N很大時，不易構造抽樣框 抽出的單位很分散，給實施調查增加了困難 沒有利用其它輔助信息以提高估計的效率,分層抽樣(stratified sampling),將抽樣單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不

3、同的層，然后從不同的層中獨立、隨機地抽取樣本 優(yōu)點 保證樣本的結構與總體的結構比較相近，從而提高估計的精度 組織實施調查方便 既可以對總體參數(shù)進行估計，也可以對各層的目標量進行估計,系統(tǒng)抽樣(systematic sampling),將總體中的所有單位(抽樣單位)按一定順序排列，在規(guī)定的范圍內隨機地抽取一個單位作為初始單位，然后按事先規(guī)定好的規(guī)則確定其它樣本單位 先從數(shù)字1到k之間隨機抽取一個數(shù)字r作為初始單位，以后依次取r+k，r+2k等單位 優(yōu)點：操作簡便，可提高估計的精度 缺點：對估計量方差的估計比較困難,整群抽樣(cluster sampling),將總體中若干個單位合并為組(群),抽

4、樣時直接抽取群，然后對中選群中的所有單位全部實施調查 特點 抽樣時只需群的抽樣框，可簡化工作量 調查的地點相對集中，節(jié)省調查費用，方便調查的實施 缺點是估計的精度較差,抽樣分布,總體中各元素的觀察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服從某種分布,總體分布(population distribution),一個樣本中各觀察值的分布 也稱經驗分布 當樣本容量n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布,樣本分布(sample distribution),樣本統(tǒng)計量的概率分布 是一種理論概率分布 隨機變量是 樣本統(tǒng)計量 樣本均值, 樣本比例，樣本方差等 結果來自容量相同的所有可能樣本 提供了樣本

5、統(tǒng)計量長遠我們穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據(jù),抽樣分布 (sampling distribution),抽樣分布 (sampling distribution),樣本均值的抽樣分布,容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布 一種理論概率分布 進行推斷總體總體均值的理論基礎,樣本均值的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布(例題分析),【例】設一個總體，含有4個元素(個體) ，即總體單位數(shù)N=4。4 個個體分別為x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。總體的均值、方差及分布如下,均值和方差,樣本均值的抽樣分布 (例題分析), 現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單隨機樣本，在重復抽

6、樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結果為,樣本均值的抽樣分布 (例題分析), 計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布,樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析), = 2.5 2 =1.25,總體分布,樣本均值的抽樣分布與中心極限定理,當總體服從正態(tài)分布N(,2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X 的數(shù)學期望為，方差為2/n。即XN(,2/n),中心極限定理(central limit theorem),中心極限定理：設從均值為，方差為 2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布

7、,中心極限定理 (central limit theorem),的分布趨于正態(tài)分布的過程,抽樣分布與總體分布的關系,樣本均值的數(shù)學期望 樣本均值的方差 重復抽樣 不重復抽樣,樣本均值的抽樣分布(數(shù)學期望與方差),樣本均值的抽樣分布(數(shù)學期望與方差),比較及結論：1. 樣本均值的均值(數(shù)學期望) 等于總體均值 2. 樣本均值的方差等于總體方差的1/n,樣本比例的抽樣分布,總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比 不同性別的人與全部人數(shù)之比 合格品(或不合格品) 與全部產品總數(shù)之比 總體比例可表示為 樣本比例可表示為,比例(proportion),容量相同的所有可能樣本的樣本

8、比例的概率分布 當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似 一種理論概率分布 推斷總體總體比例的理論基礎,樣本比例的抽樣分布,樣本比例的數(shù)學期望 樣本比例的方差 重復抽樣 不重復抽樣,樣本比例的抽樣分布(數(shù)學期望與方差),4.2 參數(shù)估計的基本方法,估計量與估計值 點估計與區(qū)間估計 評價估計量的標準,估計量與估計值,估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量 如樣本均值，樣本比例、樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量 參數(shù)用 表示，估計量用 表示 估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值 如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值,估計量與估計值 (estimator

9、& estimated value),點估計與區(qū)間估計,參數(shù)估計的方法,,,估 計 方 法,點 估 計,區(qū)間估計,,,一個總體參數(shù)的估計,點估計 (point estimate),用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計 例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計 2.沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息 點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等,區(qū)間估計 (interval estimate),在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的 根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠對樣本統(tǒng)計量與

10、總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量 比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95%,評價估計量的標準,無偏性(unbiasedness),無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被 估計的總體參數(shù),有效性(efficiency),有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量 ，有更小標準差的估計量更有效,一致性(consistency),一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù),4.3 總體均值的區(qū)間估計,區(qū)間估計的基本原理 正態(tài)總體或大樣本的估計 正態(tài)總體小樣本的估計,區(qū)間估計的基本原理,區(qū)間估計的圖示,,,,,將構造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信

11、區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應的 為0.01，0.05，0.10,置信水平,由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間,置信區(qū)間 (confidence interval),置信區(qū)間與置信水平,均值的抽樣分布,(1 - ) % 區(qū)間包含了 % 的區(qū)間未包含,用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總

12、體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本),總體均值的區(qū)間估計,假定條件 總體服從正態(tài)分布,方差() 已知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30) 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,重復抽樣,不重復抽樣,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),,【例】某種零件的長度服從正態(tài)分布，從某天生產一批零件中按重復抽樣方法隨機抽取9個，測得其平均長度為21.4cm。已知總體標準差為=0.15cm。試估計該批零件平均長度的置信區(qū)間，置信水平為95%。,解：已知N(，0.152)，n=9, 1- = 95

13、%，z/2=1.96 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該批零件平均長度的置信區(qū)間在21.302cm21.498cm之間,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】在某天生產的500袋食品中，按不重復抽樣方法隨機抽取25袋進行檢查，測得平均每袋的重量為996g。已知該種袋裝食品的重量服從正態(tài)分布，且標準差為20g。試估計該種食品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。,解：已知N(，202)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該種食品平均重量的置信區(qū)間為988.35g1003.65g之間,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、未知、小樣本),總體

14、均值的區(qū)間估計 (小樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本 (n < 30) 使用 t 分布統(tǒng)計量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,t 分布,分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),,【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。根據(jù)

15、樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,,該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時1503.2小時,4.4 總體比例的區(qū)間估計,大樣本重復抽樣時的估計方法 大樣本不重復抽樣時的估計方法,總體比例的區(qū)間估計(重復抽樣),1.假定條件 總體服從二項分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體比例的區(qū)間估計(不重復抽樣),1.假定條件 總體服從二項分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體比例的區(qū)間估計(例題分析),,【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比

16、例，隨機抽取了100個下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% ， z/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,總體比例的區(qū)間估計(例題分析),,【例】某企業(yè)共有職工1000人。企業(yè)準備實行一項改革，在職工中征求意見，采取不重復抽樣方法隨機抽取200人作為樣本，調查結果顯示，有150人表示贊成該項改革，50人表示反對。試以95%的概率確定贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p75% ，z/2=1.96,該企業(yè)職工中贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間為69.63%80.

17、37%之間,4.5 樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量的確定 估計總體比例時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量n為 重復抽樣 不重復抽樣 樣本容量n與總體方差成正比，與邊際誤差成反比，與可靠性系數(shù)成正比,估計總體均值時樣本容量的確定,其中：,估計總體均值時樣本容量的確定 (例題分析),【例】擁有工商管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應抽取多大的樣本容量？,估計總體均值時樣本容量的確定 (例題分析),解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96

18、12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,即應抽取97人作為樣本,估計總體比例時樣本容量的確定,根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為 重復抽樣 不重復抽樣,估計總體比例時樣本容量的確定,E的取值一般小于0.1 未知時，可取最大值0.5,其中：,估計總體比例時樣本容量的確定 (例題分析),【例】根據(jù)以往的生產統(tǒng)計，某種產品的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時，應抽取多少個產品作為樣本？,解:已知=90%，1-=95%， Z/2=1.96，E=5%,應抽取的樣本容量為,應抽取139個產品作為樣本,本章小結,抽樣與抽樣分布 參數(shù)估計的基本方法 總體均值的區(qū)間估計 總體比例的區(qū)間估計 樣本容量的確定,結 束,THANKS,