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1、數(shù)學(xué) 專(zhuān)題八 函數(shù)的應(yīng)用 四川專(zhuān)用 一次函數(shù)的應(yīng)用 【 例 1】 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 14952214)(2016甘孜州 )某學(xué)校計(jì)劃組織 500人參加社 會(huì)實(shí)踐活動(dòng) ， 與某公交公司接洽后 ， 得知該公司有 A， B型兩種客車(chē) ， 它 們的載客量和租金如表所示： A型客車(chē) B型客車(chē) 載客量 (人 /輛 ) 45 28 租金 (元 /輛 ) 400 250 經(jīng)測(cè)算 ， 租用 A， B型客車(chē)共 13輛較為合理 ， 設(shè)租用 A型客車(chē) x輛 ， 根據(jù) 要求回答下列問(wèn)題： (1)用含 x的代數(shù)式填寫(xiě)下表： 車(chē)輛數(shù) (輛 ) 載客量 (人 ) 租金 (元 ) A型客車(chē) x 45x 400 x B型
2、客車(chē) 13 x _____________ ___________ 28(13 x) 250(13 x) (2)采用怎樣的租車(chē)方案可以使總的租車(chē)費(fèi)用最低 ， 最低為多少？ 分析： (1)根據(jù) “ B型車(chē)的載客量 租的輛數(shù) 滿(mǎn)載人數(shù) ” 以及 “ 租 B 型車(chē)應(yīng)付租金 每輛的租金 租的輛數(shù) ” 即可得出結(jié)論 ； (2)設(shè)租車(chē) 的總費(fèi)用為 W元 ， 根據(jù) “ 總租金 租 A型車(chē)的租金 租 B型車(chē)的租金 ” 即可得出 W關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 ， 再根據(jù)共 500人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng) ， 列出關(guān)于 x的一元一次不等式 ， 解不等式即可得出 x的取值范圍 ， 根 據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值
3、問(wèn)題 解： (1)設(shè)租用 A型客車(chē) x輛 ， 則租用 B型客車(chē) (13 x)輛 ， B型車(chē)的載客量 28(13 x)， 租金為 250(13 x)故答案為： 28(13 x)； 250(13 x) (2) 設(shè)租車(chē)的總費(fèi)用為 W元 ， 則有 W 400 x 250(13 x) 150 x 3 250.由已 知得 45x 28(13 x)500， 解得 x8. 在 W 150 x 3 250中 ， 150 0， 當(dāng) x 8時(shí) ， W取最小值 ， 最小值為 4 450元故租 A型車(chē) 8輛 ， B型車(chē) 5輛 時(shí) ， 總的租車(chē)費(fèi)用最低 ， 最低為 4 450元 【 例 2】 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 149522
4、15)(2016荊州 )為更新果樹(shù)品種 ， 某果園計(jì)劃 新購(gòu)進(jìn) A， B兩個(gè)品種的果樹(shù)苗栽植培育 ， 若計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種果樹(shù)苗共 45棵 ， 其中 A種苗的單價(jià)為 7元 /棵 ， 購(gòu)買(mǎi) B種苗所需費(fèi)用 y(元 )與購(gòu)買(mǎi)數(shù) 量 x(棵 )之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系 (1)求 y與 x的函數(shù)關(guān)系式； (2)若在購(gòu)買(mǎi)計(jì)劃中 ， B種苗的數(shù)量不超過(guò) 35棵 ， 但不少于 A種苗的數(shù)量 ， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案 ， 使總費(fèi)用最低 ， 并求出最低費(fèi)用 分析： (1)根據(jù)函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo) ， 結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)分段利用待定系 數(shù)法求出函數(shù)解析式即可 ； (2)根據(jù) B種苗的數(shù)量不超過(guò) 35棵 ， 但不少于 A種
5、苗的數(shù)量可得出關(guān)于 x的一元一次不等式組 ， 解不等式組求出 x的取 值范圍 ， 再根據(jù) “ 所需費(fèi)用為 W A種樹(shù)苗的費(fèi)用 B種樹(shù)苗的費(fèi)用 ” 可得出 W關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 ， 根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題 解： ( 1 ) 設(shè) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y kx b ， 當(dāng) 0 x 20 時(shí) ， 把 ( 0 ， 0 ) ， ( 20 ， 1 6 0 ) 代入 y kx b 中 ， 得 0 b ， 160 20k b ， 解得 k 8 ， b 0 ， 此時(shí) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y 8x ；當(dāng) x 20 時(shí) ， 把 ( 20 ，
6、 160 ) ， ( 40 ， 288 ) 代入 y kx b 中 ， 得 20k b 160 ， 40k b 288 ， 解得 k 6 .4 ， b 32 ， 此時(shí) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y 6 .4 x 3 2 . 綜上可知： y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y 8x （ 0 x 20 ） 6 .4 x 32 （ x 20 ） ( 2 ) B 種苗的數(shù)量不超過(guò) 35 棵 ， 但不少于 A 種苗的數(shù)量 ， x 35 ， x 45 x ， 2 2 .5 x 35 ， 設(shè)總費(fèi)用為 W 元 ， 則 W 6 .4 x
7、 32 7 ( 45 x ) 0 .6 x 347 ， k 0 .6 ， y 隨 x 的增大而減小 ， 當(dāng) x 35 時(shí) ， W 總費(fèi)用 最低 ， W 最低 0 .6 35 3 4 7 326 ( 元 ) 【 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 】 1 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 14952216)(2016湘西州 )某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品 ， 甲 的進(jìn)貨單價(jià)比乙的進(jìn)貨單價(jià)高 20元 ， 已知 20件甲商品的進(jìn)貨總價(jià)與 25件 乙商品的進(jìn)貨總價(jià)相同 (1)求甲、乙每個(gè)商品的進(jìn)貨單價(jià)； (2)若甲、乙兩種商品共進(jìn)貨 100件 ， 要求兩種商品的進(jìn)貨總價(jià)不高于 9000元 ， 同時(shí)甲商品按進(jìn)價(jià)提高 10%
8、后的價(jià)格銷(xiāo)售 ， 乙商品按進(jìn)價(jià)提高 25%后的價(jià)格銷(xiāo)售 ， 兩種商品全部售完后的銷(xiāo)售總額不低于 10480元 ， 問(wèn)有哪幾種進(jìn)貨方案？ (3)在條件 (2)下 ， 并且不再考慮其他因素 ， 若甲乙兩種商品全部售完 ， 哪種方案利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 解： ( 1 ) 設(shè)甲商品的進(jìn)貨單價(jià)是 x 元 ， 乙商品的進(jìn)貨單價(jià)是 y 元 根據(jù)題意 得 x y 20 ， 20 x 25y ， 解得 x 100 ， y 80 ， 答：甲商品的進(jìn)貨單價(jià)是每件 100 元 ， 乙商 品的進(jìn)貨單價(jià)是每件 80 元 ( 2 ) 設(shè)甲進(jìn)貨 m 件 ， 乙進(jìn)貨 ( 100 m )
9、 件 根據(jù)題意得 100m 80 （ 100 m ） 9 000 ， 100m （ 1 10 % ） 80 （ 100 m ）（ 1 2 5 % ） 10 480 ， 解得 48 x 50. 又 m 是正整數(shù) ， 則 m 的正整數(shù)值是 48 或 49 或 50 ， 則有 3 種進(jìn)貨方案 ， 方案一：甲商品進(jìn)貨 48 件 ， 乙商品進(jìn)貨 52 件；方案二：甲商品進(jìn)貨 49 件 ， 乙商品進(jìn)貨 51 件；方案三：甲商品進(jìn)貨 50 件 ， 乙商品進(jìn)貨 50 件 ( 3 ) 銷(xiāo)售 的利潤(rùn) w 100 10 %m 80 ( 100 m ) 25 % ， 即 w
10、2 000 10m ， 則當(dāng) m 取得最小值 48 時(shí) ， w 取得最大值 ， 是 2 000 10 48 1 520 ( 元 ) 此時(shí) ， 乙進(jìn)的件數(shù)是 100 48 52 ( 件 ) 答：當(dāng)甲商品進(jìn)貨 48 件 ， 乙商品進(jìn)貨 52 件時(shí) ， 有最大利潤(rùn)是 1 520 元 二次函數(shù)的應(yīng)用 【 例 3】 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 14952217)(2016內(nèi)江 )某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍 建一個(gè)矩形苗圃園 ， 其中一邊靠墻 ， 另外三邊用長(zhǎng)為 30米的籬笆圍成 ， 已知墻長(zhǎng)為 18米 (如圖所示 )， 設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為 x米 (1)若苗圃園的面積為 72平方米 ，
11、 求 x； (2)若平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于 8米 ， 這個(gè)苗圃園的面積有最大值和最小值 嗎？如果有 ， 求出最大值和最小值；如果沒(méi)有 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于 100平方米時(shí) ， 直接寫(xiě)出 x的取值范圍 分析： (1)根據(jù)題意列方程求解即可 ； (2)設(shè)苗圃園的面積為 y， 根據(jù)題 意得到二次函數(shù)解析式 y x(30 2x) 2x2 30 x， 根據(jù)二次函數(shù)的 性質(zhì)求解即可 ； (3)由題意列不等式 ， 即可得到結(jié)論 解： ( 1 ) 根據(jù)題意得 ( 30 2x ) x 72 ， 解得 x 1 3 ， x 2 12 ， 30 2x 18 ， 即 x
12、 6 ， x 12 ( 2 ) 設(shè)苗圃園的面積為 y 平方米 ， y x ( 30 2x ) 2x 2 30 x ， a 2 0 ， 且 8 30 2x 18 ， 即 6 x 11 ， 二次 函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為 b 2a 15 2 ， 苗圃園的面積 y 有最大值 ， 當(dāng) x 15 2 時(shí) ， 即平行于墻的一邊長(zhǎng)為 15 米 ， y 最大 1 1 2 .5 ； 6 x 11 ， 當(dāng) x 11 時(shí) ， y 最小 88 ( 3 ) 由題意得 2x 2 30 x 10 0 ， 且 30 2x 18 ， 解得 6 x 10 【 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練
13、】 2 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 14952218)(2016天門(mén) )某賓館有客房 50間 ， 當(dāng)每間客房每 天的定價(jià)為 220元時(shí) ， 客房會(huì)全部住滿(mǎn)；當(dāng)每間客房每天的定價(jià)每增加 10元時(shí) ， 就會(huì)有一間客房空閑 ， 設(shè)每間客房每天的定價(jià)增加 x元時(shí) ， 客 房入住數(shù)為 y間 (1)求 y與 x的函數(shù)關(guān)系式 (不要求寫(xiě)出 x的取值范圍 )； (2)如果每間客房入住后每天的各種支出為 40元 ， 不考慮其他因素 ， 則 該賓館每間客房每天的定價(jià)為多少時(shí)利潤(rùn)最大？ 解： ( 1 ) 由題意可得 ， y 50 x 10 x 10 50 ， 即 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式是 y 1 10 x 50 ( 2 ) 當(dāng)每間客房每天的定價(jià)增加 x 元時(shí) ， 設(shè)賓館的利潤(rùn)為 w 元 ， 則 w ( 1 10 x 5 0 ) ( 2 2 0 x 40) 1 10 x 2 32x 9 0 0 0 ， 當(dāng) x 32 2 （ 1 10 ） 160 時(shí) ， w 有最大值 ， 故每天賓館每間客房的定價(jià)為 220 160 3 8 0 ( 元 ) ， 即當(dāng)賓館每間客房的定價(jià)為 380 元時(shí) ， 賓館利潤(rùn)最大
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