解三角形應(yīng)用舉例

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1、 1. 305 A5 B (5 10)C (10 5) D 一 樹(shù) 干 被 風(fēng) 吹 斷 ,折 斷 部 分 與 殘 存 樹(shù) 干 成 的 角 ，樹(shù) 干 底 部 與 樹(shù) 干 頂 部 著 地 處 相 距 米 ， 則 樹(shù) 干 原 來(lái)的 高 度 是 米 米 米 .以 上 都 不 對(duì)C 2. km A30 60 A. km B. 3 kmC. 2 km D. 2 kmA B C aC B CA Ba aa a 兩 燈 塔 、 與 海 洋 觀 察 站 的 距 離 都 等 于 ， 燈 塔在 觀 察 站 北 偏 東 ， 燈 塔 在 觀 察 站 南 偏 東 ， 則、 之 間 相 距 C 23. sin2 cos s

2、in 315 15 5 5A. B C. D3 3 3 3ABC A A A A 若 的 內(nèi) 角 滿(mǎn) 足 ,則 B 215 cos ssin2 2sin cos 0 cos 0cos sin 0 cos sin 1 2sin cos2 51 sin2 in .31 3 3A A A AA A A A A AAA A 因 為 ， 所 以 ，所 以 ， 又所 以 ，解 析 ： 4. 1 3 2sin (2010 ) .a b c ABCA B C a b A C BA 已 知 、 、 分 別 是 的 三 個(gè) 內(nèi) 角、 、 所 對(duì) 的 邊 ， 若 ， ， ，廣 東 卷則 122.3 sin sin3

3、sin 2sin 23 1.A C B A B Ca bB A Ba BA b 由 ， ，得 由 正 弦 定 理 ，析 知所 以解 ： 5. .2 tan .ABC A B C a b ca b c c a B 已 知 的 內(nèi) 角 、 、 的 對(duì) 邊 分 別 為 、 、若 、 、 成 等 比 數(shù) 列 ， 且 ， 則2 2 21 2 2.1 4 2 3cos 27 7sin . 4t n4 4a 3a c ba c bB acB B 解 析 ： 設(shè) ，則 ， 所 ，以則 ，所 以 73 測(cè) 量 距 離 問(wèn) 題 .120 .11: 0 650( 1 ) AOCA CAD DC CCD D D DA

4、 A OA如 圖 ， 某 住 宅 小 區(qū) 的 平 面 圖 呈 扇 形 小 區(qū) 的兩 個(gè) 出 入 口 設(shè) 置 在 點(diǎn) 及 點(diǎn) 處 ， 小 區(qū) 里 有 兩 條 筆 直 的小 路 ， ， 且 拐 彎 處 的 轉(zhuǎn) 角 為 已 知 某 人 從 沿走 到 用 了 分 鐘 ， 從 沿 走 到 用 了 分 鐘 若此 人 步 行 的 速 度 為 每 分 鐘 米 ， 求 該 扇 形 的 半 徑 的長(zhǎng) 精 確 到 米例 2 2 222 2500 300 60 .2 cos601500 4900 4300 2 500 300 245( )11 4451 rCD DA CDOCDO CD OD CD OD OCr rr

5、 O rA 設(shè) 該 扇 形 的 半 徑 為 米 由 題 意 ， 得 米 ， 米 ，在 中解 析 ：解 得 米 答 ： 該 扇 形 的 半 徑 的 長(zhǎng) 約 為， ，即 ，方 法 ： 米 2 2 22 22 . 500300 120 . 2 cos1201500 300 2 500 300 27002 AC OH ACAC H CDAD CDAACD AC CD AD CD AD 連 接 ， 作 ，交 于 由 題 意 ， 得 米 ，米 ，在 中 ,方 法 ：， 2 2 2 11cos .2 14 11Rt 350 cos 14900 445( )cos 11 445 4AC AD CDCAD AC

6、 ADHAO AH HAAHOA HAOOA O 則在 中 ， 米 ，所 以 米 答 ： 扇 形 的 半 徑 的 長(zhǎng) 約 為 ，米 12 三 角 學(xué) 源 于 測(cè) 量 實(shí) 踐 ， 解 三 角 形 是 三 角 實(shí)際 應(yīng) 用 的 一 個(gè) 重 要 方 面 求 距 離 問(wèn) 題 一 般 要 注 意 ：選 定 或 創(chuàng) 建 的 三 角 形 要 確 定 ；利 用 正 弦 定 理 還 是 余 弦 定 理反 思 小 結(jié) ： 要 確 定 1 1 2 2 301052020 12010 :A B A B 如 圖 ， 甲 船 以 每 小 時(shí) 海里 的 速 度 向 正 北 方 向 航 行 ， 乙 船 按 固定 方 向 勻

7、速 直 線(xiàn) 航 行 當(dāng) 甲 船 位 于處 時(shí) ， 乙 船 位 于 甲 船 的 北 偏 西方 向 的 處 ，拓 此 時(shí) 兩 船 相 距 海 里展 練 習(xí) 1 .當(dāng) 甲 船 航 行 分 鐘 到 達(dá) 處 時(shí) ,乙 船航 行 到 甲 船 的 北 偏 西 方 向 的 處 ， 此 時(shí) 兩 船 相 距海 里 .問(wèn) 乙 船 每 小 時(shí) 航 行 多 少 海 里 ？ 1 21 1 2 21 2 2 2 1 1 2 21 1 2 1 2 1 .20 10 220 30 2 10 2.60 60105 60 45 .A BA B A BA A B A A A A BB A BA B B 連 接依 題 意 知 ， ，易

8、 知 ， 所 以 是 等 邊 三 角 形 ，則在 中 ， 由 余解 析 ： 弦 定 理 得 1 2 12 2 21 2 1 1 1 2 1 1 1 22 21 2B B B 2 cos45220 (10 2) 2 20 10 2 200210. 30 210 2 60 30 2( / )20A B BB A A A B A BB B 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， ，所 以 因 此 ， 乙 船答 ： 乙 船 每 小 時(shí) 的 速 度 的 大 小 為海 里 小 時(shí)航 行 海 里 測(cè) 量 高 度 問(wèn) 題 10000 m 180 km/h.15 420 s45 . ( 2 1.4 3 1.7)

9、2 航 空 測(cè) 量 組 的 飛 機(jī) 航 線(xiàn) 和 山 頂 在 同 一 鉛 直 平 面內(nèi) 已 知 飛 機(jī) 的 高 度 為 海 拔 ， 速 度 為飛 機(jī) 先 看 到 山 頂 的 俯 角 為 ， 經(jīng) 過(guò) 后 又 看 到 山 頂?shù)?俯 角 為 求 山 頂 的 海 拔 高 度 取 ，例 ： .15 4530 .7 7420 h 180 km/h h 21 km 21000 m.60 60 .sin sin21000 sin1512 10500( 6 2) C CD AB DBAC DBCACBs AB BC ABABC BAC ACBBC 如 圖 ， 過(guò) 作 ， 垂 足 為因 為 ， ，所 以而 ， 所

10、以所 以 ， 在 中 ， 由得解 析 ： sin sin45210500( 6 2) 210500( 3 10000 7350 26501)10500 1.7 17350 m mCD ADCD BC CBD BC 所 以 山 頂 的 海 拔 高 度 為因 為 ，所 以 12 在 測(cè) 量 高 度 時(shí) ， 要 理 解 仰 角 、 俯 角 的 概 念 解 三 角 形 應(yīng) 用 題 的 注 意 事 項(xiàng) ：方 程 思 想 的 運(yùn) 用 ；綜 合 運(yùn) 用 立 體 幾 何 知 識(shí) 與 平 面 幾反 思 小 結(jié) ： 何 知 識(shí) .B C DBCD BDC CD s CA AB 如 圖 ， 測(cè) 量 河 對(duì) 岸 的

11、塔 高 時(shí) ， 可 以 選與 塔 底 在 同 一 水 平 面 內(nèi) 的 兩 個(gè) 測(cè) 點(diǎn) 與 現(xiàn)拓 展 練 習(xí) 2： 測(cè) 得， ， ， 并 在 點(diǎn) 測(cè) 得塔 頂 的 仰 角 為 ， 求 塔 高 .sin sinsin sin .sin sin( )tan tan sin .sin( )BCD CBDBC CDBDC CBDCD BDC sBC CBDRt ABC AB BC CB sA 在 中 ，由 正 弦 定 理 得 ，所 以在 中 ，解 析 ： 測(cè) 量 高 度 的 問(wèn) 題 45 12 n mile10 n mile/h15 14 n mile/h. 43 5 一 緝 私 艇 發(fā) 現(xiàn) 在 北 偏

12、 東 方 向 ， 距 離的 海 面 上 有 一 走 私 船 正 以 的 速 度 沿 東 偏 南方 向 逃 竄 緝 私 艇 的 速 度 為 若 要例 在 最 短的 時(shí) 間 內(nèi) 追 上 該 走 私 船 ， 緝 私 艇 應(yīng) 沿 北 偏 東 的 方向 去 追 求 追 及 所 需 的 時(shí) 間 和 角 的： 正 弦 值 2 2214 10 120 .14 12 10 240 cos120 220sin120 5 328 20 sin .28 145 32 sin .14A Cx BAB x BC x ACBx x x xAB BC 如 圖 ， 設(shè) 、 分 別 表 示 緝 私 艇 、 走 私 船 的 位解

13、析 ：所 以 追 及 所 需 的 時(shí) 間 為 置 ，設(shè) 經(jīng) 過(guò) 小 時(shí) 后 在 處 追 上 則 有 ， ，所 以 ， 所 以 ，則 ， ， 小 時(shí) ， 測(cè) 量 角 度 問(wèn) 題 中 ， 首 先 應(yīng) 明 確 有 關(guān) 角 的 含 義 在 解 應(yīng) 用 題 時(shí) ， 分 析 題 意 ， 分 清 已 知 與 所 求 ， 再 根 據(jù)題 意 正 確 畫(huà) 出 示 意 圖 ， 這 是 最 關(guān) 鍵 、 最 重 要 的 一 步 通 過(guò) 這 一 步 可 將 實(shí) 際 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 成 可 用 數(shù) 學(xué) 方 法 解 決反 思 小 結(jié) ： 的問(wèn) 題 38 3030 45 .(sin15 0.26 cos15 0.97 1.41

14、4)AB AC A 如 圖 ， 海 中 小 島 周 圍 海 里 內(nèi) 有 暗 礁 一 船 正 在 向 南 航 行 ， 在 處 測(cè) 得 小 島 在 船 的 南 偏 東 ，航 行 海 里 后 ， 在 處 測(cè) 得 小 島 在 船 的 南 偏 東 如 果此 船 不 改 變 航 向 ， 繼 續(xù) 向 南 航 行 ， 有 無(wú) 觸 礁拓 展 練 習(xí) 3： 的 危 險(xiǎn) ？， ， 30sin sin sin15 sin3030sin30 .sin1530sin30sin45 sin45 40.8.sin1540.8 38 BC AC ACA BAC A BCd AC 由 正 弦 定 理 得 ， 即 ，所 以 則 點(diǎn)

15、 到 直 線(xiàn) 的 距 離由 于 ， 故 此 船 不 改 變 航 向 也 無(wú) 觸解 析 ： 礁 的 危 險(xiǎn) 1.( )( ) ABCA B C a b c解 三 角 形 常 見(jiàn) 類(lèi) 型 及 解 法 在 的 六 個(gè) 元 素三 個(gè) 角 、 、 及 其 對(duì) 邊 、 、 中 要 知 三 個(gè)除 三 個(gè) 角 外 才 能 求 解 常 見(jiàn) 類(lèi) 型 及 其 解 法 見(jiàn) 下 表 已 知 條 件 應(yīng) 用 定 理 一 般 解 法一 邊 和 兩 角(如 ： a， B， C) 正 弦 定 理 由 A+B+C=， 求 角 A； 由 正 弦 定 理 求 出 b與 c.在 有 解 時(shí) 只 有 一 解兩 邊 和 夾 角(如 ： a

16、， b， C) 正 弦 定 理余 弦 定 理 由 余 弦 定 理 求 第 三 邊 c；由 正 弦 定 理 求 出 小 邊 所 對(duì) 的 角 ； 再 由A+B+C=求 另 一 角 在 有 解 時(shí) 只 有 一 解三 邊(如 ： a， b， c) 余 弦 定 理 由 余 弦 定 理 求 出 角 A、 B； 再 利 用A+B+C=求 出 角 C； 在 有 解 時(shí) 只 有 一 解兩 邊 和 其 中一 邊 的 對(duì) 角(如 ： a， b， A) 正 弦 定 理余 弦 定 理 由 正 弦 定 理 求 出 角 B； 由 A+B+C=， 求 出角 C； 再 利 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 求 c.可有

17、兩 解 、 一 解 或 無(wú) 解 2.1234應(yīng) 用 正 、 余 弦 定 理 解 三 角 形 應(yīng) 用 題 的 一 般 步 驟 ：理 解 題 意 ， 分 清 已 知 與 未 知 ， 畫(huà) 出 示 意 圖 ；依 據(jù) 已 知 條 件 和 求 解 目 標(biāo) ， 把 已 知 量 與 求 解 量盡 量 集 中 在 有 關(guān) 的 三 角 形 中 ， 建 立 一 個(gè) 解 三 角 形 的數(shù) 學(xué) 模 型 ；根 據(jù) 三 角 形 已 知 的 邊 角 條 件 合 理 選 擇 正 、 余 弦定 理 解 三 角 形 ， 從 而 得 到 數(shù) 學(xué) 模 型 的 解 ；檢 驗(yàn) 上 述 所 求 的 解 是 否 具 有 實(shí) 際 意 義 ， 從

18、 而 最 終得 出 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 解 312( ) 解 三 角 形 應(yīng) 用 題 常 見(jiàn) 的 幾 種 情 況 ：實(shí) 際 問(wèn) 題 經(jīng) 抽 象 概 括 后 ， 已 知 量 與 未 知 量 全 部 集 中在 一 個(gè) 三 角 形 中 ， 可 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 求 解 實(shí) 際 問(wèn) 題 經(jīng) 抽 象 概 括 后 ， 已 知 量 與 未 知 量 涉 及 到 兩個(gè) 或 兩 個(gè) 以 上 三 角 形 ， 這 時(shí) 需 作 出 這 些 三 角 形 ， 先 解夠 條 件 的 三 角 形 ， 再 逐 步 求 出 其 他 三 角 形 中 的 解 有 時(shí)需 設(shè) 出 未 知 量 ， 從 幾 個(gè) 三 角

19、形 中 列 出 方 程 ， 解 方 程 得 出所 要 求 的 解 1. 2 2 sin cos 2_ _01 )_(2 0 a b c ABCa b B B A 已 知 ， ， 分 別 為 的 三 個(gè) 內(nèi) 角 所對(duì) 的 邊 ,若 , , ,則 角 大 小為 山 東 卷 的sin cos 2 1 2sin cos 2 sin2 1.0 .4 sin sin2 2 1sin .sin 2sin 4 . 4 6 6B B B B Ba bB B A BAAa b A B A 由 ,得 ,即因 為 ， 所 以 由 正 弦 定 理 ,得 ， 解 得由 知解 析 ： 答則 案 ：， ， 2. tan ta

20、n6cos _.tan tan(2010 ) ABC A B Cb a C Ca b c Ca b A B 在 銳 角 三 角 形 中 ， 、 、 的 對(duì) 邊分 別 為 、 ， ， 則江 蘇 卷、 21 1 cos 1 2cos tan tan3 2 1 cos 2 2 21tan 2 2 tan tan 2tan tan 4.ta tann ta 2n 1 A Ba b A B a bC C CC CC A BC CCA B 考 慮 已 知 條 件 和 所 求 結(jié) 論 對(duì) 于 角 、方 法 和邊 、 具 有 對(duì) 稱(chēng) 性 當(dāng) 或 時(shí) 滿(mǎn) 足 題 意 ， 此解 析 ：所 以 時(shí)有 ， ， ， ,

21、： 2 22 2 2 22 2 2 2 22 22 2 2 26cos 6 cos 36 .2 2tan tan sin cos sin sin costan tan cos sin sinsin sin( ) 1 sincos sin sin cos sin sin2 2 . 4422 1 b a C ab C a ba ba b c cab a b a babC C C B A B AA B C A BC A B CC A B C A Bab c ca b c ab c ，即 ，法 即方 答 案 ： 本 節(jié) 內(nèi) 容 在 高 考 試 題 中 一 般 以 選 擇 、填 空 題 出 現(xiàn) 盡 管 立 意 背 景 變 化 不 大 ， 但 所 涉 及的 正 、 余 弦 定 理 ， 靈 活 度 較 大 ， 要 認(rèn) 真 、 合 理 選擇 相 應(yīng)選 題 感 悟 ：的 公 式