2019-2020年高中數學《三角函數的應用》教案2蘇教版必修4.doc

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2019-2020年高中數學《三角函數的應用》教案2蘇教版必修4 【三維目標】： 一、知識與技能 1. 會用三角函數的圖象和性質解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型. 2.掌握三角函數模型應用基本步驟：(1)根據圖象建立解析式；(2)根據解析式作出圖象； (3)將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型. 3.能正確分析收集到的數據，選擇恰當的函數模型刻畫數據所蘊含的規(guī)律，能根據問題的實際意義，利用模型解釋有關實際問題，為決策提供依據。 4.讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數學“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力．培養(yǎng)學生用已有的知識解決實際問題的能力. 培養(yǎng)學生數學應用意識；提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力。 二、過程與方法 1.從實際的應用中體會數學與生活是相關的，不是完全脫離現實的，同時理解三角函數在描述周期性現象時的重要作用。 2.講解例題，總結方法，鞏固練習。 三、情感、態(tài)度與價值觀 1.培養(yǎng)學生應用數學的能力，讓學生體會到數學在實際生活中的應用，意識到只要認真觀察思考，會發(fā)現數學來源于生活。 2.讓學生切身感受數學建模的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神； 3.培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神。 【教學重點與難點】： 重點：用三角函數模型刻畫潮汐等現象的變化規(guī)律，用函數思想解決具有周期變化的實際問題；對問題實際意義的數學解釋，從實際問題中抽象出三角函數模型。 難點：（1）分析、整理、利用信息， 從實際問題中抽取基本的數學關系來建立數學模型， 并調動相關學科的知識來解決問題．（2）由圖象求解析式時的確定。 【學法與教學用具】： 1.學法： 2.教學用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學流程】： 實例背景，資料數據，提出問題 根據散點圖形特征，選擇適當的函數擬合 求解函數模型 利用函數模型解決實際問題 反思解題過程，總結解題方法，提煉數學思想 【教學思路】： 一、創(chuàng)設情景，揭示課題 【復習提問】：1.回顧教材“三角函數的周期性”； 2.求函數的解析式。（1） 函數f (x)的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位所得的曲線是的圖像，試求的解析式.（2） 函數的最小值是-2，其圖象最高點與最低點橫坐標差是3p，且圖象過點(0,1)，求函數解析式. 3.討論：（1）如何由圖觀察得到三角函數的各系數？ 如何確定初相？（特殊點法） （2）在現實生活中，哪些現象具有周期性？（溫度、白晝、振動、情緒、智力、體力等）函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質問題，是三角函數中的重要問題，是高中數學的重點內容，也是高考的熱點.三角函數能夠模擬許多周期現象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應用. 二、研探新知 例1 （學生自學完成教材例1） 點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時. （1）求物體對平衡位置的位移(cm)和時間t(s)之間的函數關系； （2）求該物體在t=5s時的位置. （教師進行適當的評析.并回答下列問題：根據物理常識，應選擇怎樣的函數式模擬物體的運動；怎樣求w和初相位θ；第二問中的“t=5s時的位置”與函數式有何關系？） 例2（學生自學完成教材例2）一半徑為的水輪如圖1-3-22所示，水輪圓心距離水面，已知水輪每分鐘轉動4圈，如果當水輪上點從水中浮現時（圖中點）開始計算時間。 （1）將點距離水面的高度表示為時間的函數； （2）點第一次到達最高點大約要多長時間？ 例3 （教材探究案例）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深. 時間 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的近似數值. （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 【問題】： （1）選擇怎樣的數學模型反映該實際問題？ （2）圖表中的最大值與三角函數的哪個量有關？ （3）函數的周期為多少？ （4）“吃水深度”對應函數中的哪個字母？ 請同學們看下面這個問題： 【問題探究1】：請同學們仔細觀察表格中的數據，你能夠從中得到一些什么信息？ 小組合作發(fā)現，代表發(fā)言?？赡芙Y果： 1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。 2）水的深度開始由5.0米增加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米后，又開始減少。 3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現一種周期性變化規(guī)律。 4）學生活動：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數據的兩種形式） 　　　　　　 5）教師呈現作圖結果，學生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學過哪個函數類型非常的類似？追問為什么類似正弦型函數（排除法，關鍵在于周期性）。 （學生活動，求解解析式） 　 得到的是一個刻畫水深與時間關系的三角函數模型，為了保證所選函數的精確性，通常還需要一個檢驗過程，教師點明：建模過程——選模，求模，驗模，應用。有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學生小組合作討論回答，如周期、單調性、每時每刻的水深。 【問題探究2】：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進入港口？在港口能呆多久？ （師生一起分析）用數學的眼光看，這里研究的是一個怎樣的數學問題？水深米得出，即， （師生齊分析）解三角不等式的方法 令學生活動：操作計算器計算，結合電腦呈現圖象 　　　　　　 　　發(fā)現：在[0，24]范圍內，方程的解一共有4個，從小到大依次記為： 　　那么其他三個值如何求得呢？（學生思考） 　　 　得到了4個交點的橫坐標值后，結合圖象說說貨船應該選擇什么時間進港？什么時間出港呢？ ?。▽W生討論，交流） 可能結果：【生1】貨船可以在0時30分鐘左右進港，早晨5時30分鐘左右出港；或者是中午12時30分鐘左右進港，在傍晚17時30分鐘左右出港。 　【生2】貨船可以在0時30分鐘左右進港，可以選擇早晨5時30分，中午12時30分，或者傍晚17時30分左右出港。 …… （學生討論，最后確定方案1為安全方案，因為當實際水深小于安全深度時，貨船盡管沒有行駛，但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥，即使后來水位上漲，也很可能船身不再上?。? 　　剛才整個過程，貨船在進港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃深深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實際情況往往是貨船載滿貨物進港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，這樣一來當兩者都在改變的時候，我們又該如何選擇進出港時間呢？請看下面問題： 【問題探究3】：在探究2條件中，若該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 　?。▽W生討論）安全即需要：實際水深安全水深，即： 　　　， 　　討論求解方法：用代數的方法？幾何的角度？（電腦作圖并呈現） 　 　 　　通過圖象可以看出，當快要到P時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么P點的坐標如何求得呢？（學生思考，討論，交流）求P點橫坐標即解方程 數形結合，二分法求近似解： 由圖得點P點橫坐標在[6，7]，故我們只需要算出6，6.5，7三個時刻的安全水深與實際水深的數值表就可以回答上面的問題。 時間 實際水深 安全水深 是否安全 6．0 5米 4．3米 安全 6．5 4．2米 4．1米 較安全 7．0 3．8米 4．0米 危險 貨船應該在6時30分左右駛離港口。（可能有的同學有些異議，可以討論） 　從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當，貨船在卸貨的過程中，就會出現貨還沒有卸完，不得已要暫時駛離港口，進入深水區(qū)，等水位上漲后在駛回來。這樣對公司來說就會造成才力、物力上的巨大浪費？那該怎么來做呢？（學生討論） 可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。 【問題探究4】：若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，貨物卸空后吃水深度為2米，為了保證進入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每小時吃水深度至少要以多少速度減少？---探究3的變式（學生課后探究） 三、質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 1.如圖，單擺從某點給一個作用力后開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s厘米和時間t秒的函數關系為. （1）單擺擺動5秒時，離開平衡位置多少厘米？ （2）單擺擺動時，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？ （3）單擺來回擺動10次所需的時間為多少秒？ 2.如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數． （1）求這一天6～14時的最大溫差； （2）寫出這段曲線的函數解析式． 【問題的反思】： ①一般地，所求出的函數模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應當特別注意自變量的變化范圍； ②與學生一起探索的各種求法；（這是本題的關鍵！也是難點?。ㄓ米畲笮≈迭c代入不容易出現錯誤） ③如何根據圖像求解析式中的待定參數 ④探究其他解法：或 等 ⑤借助三角函數模型研究的思想方法研究一些較復雜的三角函數。 四、鞏固深化，反饋矯正 1.某海濱浴場的海浪高度y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數，經過長期觀察，該函數的圖象可以近似地看成. 下表是測得的某日各時的浪高數據： t(時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 依規(guī)定，當浪高不低于1米時浴場才開放，試安排白天內開放浴場的具體時間段. 2.某港口水深y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數，記為y=，下面是某日水深數據： t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 經過長期觀察，y=的曲線可以近似看成y=Asint+b的圖象. （i）根據以上數據求出y=的近似表達式； （ii）船底離海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度為6.5米（船底離水面距離），如果此船在凌晨4點進港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少時間？ 教法：從表中讀到一些什么數據？ → 依次求各系數 → 應用模型解決問題 答案：（0≤t≤24）； 13（小時）. 小結：讀取與分析表中的數據，是一種數學思維能力的訓練. 求得模型后，把第（2）問的情景轉化為一個簡單的三角不等式，再運用整體思想，借助函數的圖象或者單位圓可以求解. 3.某商品一年內出廠價格在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動，已知3月份達到最高價格8元，7月份價格最低為4元. 該商品在商店內的銷售價格在8元基礎上按月份隨正弦曲線波動，5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價最低為6元. （1）試建立出廠價格、銷售價格的模型，并求出函數解析式; （2）假設商店每月購進這種商品m件，且當月銷完，試寫出該商品的月利潤函數. 五、歸納整理，整體認識 從以上問題可以發(fā)現三角函數知識在解決實際問題中有著十分廣泛的應用，而待定系數法是三角函數中確定函數解析式最重要的方法.三角函數知識作為數學工具之一，在以后的學習中將經常有所涉及.學數學是為了用數學，通過學習我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力. 三角函數應用模型的三種模式：一是給定呈周期變化規(guī)律的三角函數模型，根據所給模型，結合三角函數的性質，解決一些實際問題；而是給定呈周期變化的圖象，利用待定系數法求出函數模型，再解決其他問題；三是搜集一個實際問題的調查數據，根據數據作出散點圖，通過擬合函數圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數模型，進一步用函數模型來解決問題. 回顧整個探究過程，經歷了第一階段：收集數據-----畫散點圖 第二階段：根據圖象特征---選模、求模、驗模 第三階段：函數模型應用 在整個探究過程，我們用到數學常見的一些思想方法： （1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數學本質，將實際問題轉化為數學問題；體現了數學中的轉化思想； （2）在對一些數據處理的過程用到了估算的思想； （3）在用代數方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數形結合的思想； （4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設計 八、課后記： gkxx