信號第5章小波變換分析

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,主要內容,連續(xù)小波變換的根本概念,小波變換的性質,小波分類和常見的小波,離散小波變換,第,7,章 小波分析,1,連續(xù)小波變換的時域定義,核函數(shù),，是窗函數(shù),的時間平移,b,和尺度伸縮,的結果,where,窗函數(shù),稱為,母小波,.,2,2.,小波變換的頻域定義,作業(yè),7-1,(1),證明的因子 的作用是保證不同的尺度下，函數(shù) 與母小波的能量相同,(2),證明下面公式,3,解釋,小波變換可以理解為用一組分析寬度不斷變化的基函數(shù)對信號s(t)進展分析，這一變化正好適應了對信號分析時在不同的頻率范圍需要不同的區(qū)分率

2、這一根本要求,其中的因子 的作用是保證不同的尺度下，函數(shù),與母小波的能量相同,參數(shù),b,的作用是確定對分析信號,s(t,),的時間位置，即時間中心。,參數(shù)a 的作用是把根本小波進展伸縮。,4,3,尺度因子,1)a,對小波函數(shù)的時域影響,5,2)a,對分析小波的頻域影響,6,尺度因子在小波變換中物理解釋,(1)當用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對信號作細致觀看；,(2)當用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀看；,7,說明：,在時域是,有限支撐,的，則和,s(t),作內積后，將保證小波變換 在時域也是,有限支撐,的，從而實現(xiàn)所希望的時域定位功能。所反映的，

3、是在,b,附近的性質,若 具有,帶通,特性，即在頻域，圍繞著中心頻率是有限支撐的，則,和,的內積，也將反映,在窗口中心頻率處的局部性質，從而實現(xiàn)所,期望的頻率定位功能。,信號,s(t),的小波變換,是,a,和,b,的函數(shù),。,母小波可以是實函數(shù)，也可以是復函數(shù)。,8,4.小波(根本小波、母小波),則稱為,為連續(xù)小波，或母小波。,約束條件的物理意義：,是必要條件而不是充分條件。,約束條件再加上有,限時寬特性,(,時域,緊支撐,特性,),，從而嚴格地將的波形約束為“一小段波”。,9,容許條件：,母小波的特點：,容許條件的含義：與上面的約束條件等價,(1),小波具有波動性，表明是波動的,(2),小波

4、具有時、頻域緊支撐，包絡衰減快,;,(3),小波具有帶通濾波器特性,可理解為一個帶通濾波器的沖激響應,又是緊支撐的,(4),小波 和一般的窗函數(shù)一樣，滿足,10,1),定義,經(jīng)伸縮、平移構成小波基函數(shù)。即：,5.,小波基,2),窗口中心,時窗中心,頻窗中心,為 之時窗中心,為 之頻窗中心,11,3),窗口寬度,頻窗寬度,時窗寬度,為 之頻窗寬度,4),窗口面積,為 之頻窗寬度,窗口面積與 a，b無關，只由小波母函數(shù)打算,12,時窗中心,頻窗寬度,時窗寬度,頻窗中心,13,(5).,窗口特性,ii),時窗寬度和頻窗寬度分別隨,a,和,1/a,發(fā)生變化；,),窗口面積不變；,iv),是具有恒品質因

5、數(shù)帶通濾波器頻域傳遞函數(shù)；,是具有恒品質因數(shù)帶通濾波器的沖激響應,v),時、頻窗口具有自適應變化特性。,i),時窗和頻窗中心分別隨,a,和,1/a,成正比例變化；,14,(a),小波變換的基函數(shù)和時頻網(wǎng)格,6.小波變換與短時Fourier變換的比較,f,(b),t,f,(b),t,(a),短時,Fourier,變換的基函數(shù)和時頻網(wǎng)格,15,(a),短時,Fourier,變換等效濾波器帶寬,(b),小波變換等效濾波器帶寬,頻域等區(qū)分是短時Fourier變換所固有的特性,多區(qū)分是小波變換的一種固有特性,16,7.,小波變換的物理意義,與小波函數(shù),小波變換就是通過信號,的不同尺度變換和時移作內積或比

6、較，得到相應的頻率分量，來對信號進行分解。,內積,反映了信號,與,的相似程度,17,主要內容,連續(xù)小波變換的根本概念,小波變換的性質,小波分類和常見的小波,離散小波變換,18,1,線性疊加性,where,2,時移不變性,19,3,尺度伸縮性,當信號在時間軸上按,a,和,b,兩個軸上同時作相同比例的伸縮，但是小波變換的波形不變，這是小波變換的優(yōu)點之一。,作伸縮時，其小波變換在,20,4 Parseval,定理,where,該性質說明白信號時域內積與小波域內積滿足關系,21,5,信號域與小波域的能量對應性,令,g(t)=s(t),再利用上述性質即可得證,小波變換的幅度平方在尺度位移平面上的加權積分

7、，等于信號在時域的總能量。,小波變換的幅度平方，可以看成是信號能量時頻分布的一種表示形式。,Fourier變換中的Parseval定理說明，信號時域中的能量等于頻域中的能量,小波變換中的Parseval定理要簡單一些，它不但要有常數(shù)加權，還必需滿足容許條件。,22,6,微分特性,7,兩個信號卷積的小波變換,表示對變量,b,作卷積,23,8,逆小波變換,where,是容許條件。,9,重構方程,目的：(a,b)平面上不是全部的二維函數(shù)W(a,b)對應于函,數(shù)s(t)的小波變換的充分必要條件是滿足下述的重構方程,where,重構核,24,主要內容,連續(xù)小波變換的根本概念,小波變換的性質,小波分類和常

8、見的小波,離散小波變換,25,1,小波的分類,經(jīng)典小波,正交和雙正交小波,26,1)Haar,小波,2.,常見的經(jīng)典小波,1,1,-1,(a),1,1,-1,2,(b),1,1,-1,2,(c),優(yōu)點：,Haar小波在時域是緊支撐的，(0,1)非零，且小波僅取1和-1。Haar小波變換的計算簡單度較低；,Haar,小波是正交小波；,Haar小波是對稱的，可去除相位失真特別有效,缺點：,Haar,小波是不連續(xù)小波,27,2)Morlet,小波,a),時域波形,b,）頻譜,28,是為了確保允許條件 成立,應用：復信號分解，提取相位信息等。,特點：,包絡都是高斯函數(shù),不是正交小波，也不是雙正交小波,

9、.,是對稱小波,實信號分解,29,3)Maar小波墨西哥草帽小波,特點：,時、頻域局域性好,具有二階零點,視覺信息加工，邊緣檢測。,應用,:,不是正交小波，也不是雙正交小波,.,30,4)DOG 小波高斯差分小波,特點：在,=0,處有二階零點，頻域局域性好。,31,3.,正交小波,1)Daubechies,小波,的,Fourier,變換,，在,法國學者,Daubechies,Ingrid,構造的，簡稱為,db,小波,在,Matlab7.0,中，,dbN,表示,N,階,db,小波，其取值通常為,2,至,45,。,N=1,的,db1,即,Haar,小波,處具有,N,階零點,具有緊支撐特性。,dbN

10、,小波函數(shù)的 在,db,小波是非對稱的，相應的濾波器組屬于共軛鏡像濾波器組。,32,在,Matlab,中，,coifN,表示,N,階,Coiflets,小波，是緊支撐正交、雙正交小波，也是接近對稱的小波。,具有,db,小波的全部特點,2).,對稱小波,對稱小波是對db小波作改進后得到的，簡稱symN，N=2,45，,對應的濾波器接近于具有線性相位。,小波函數(shù),接近對稱，,3)Coiflets,小波,具有,db,小波的全部特點,其尺度函數(shù),在,處具有,2N-1,階零點，,在,處具有,2N,階零點,33,主要內容,連續(xù)小波變換的根本概念,小波變換的性質,小波分類和常見的小波,離散小波變換,34,但

11、查找具有光滑性、對稱性、局域性的離散正交基困難 ，于是進展出非正交的 DWT 理論框架理論。,CWT,的冗余性不適合圖像壓縮、數(shù)值計算。,1.,引言,從不行列的具有相關性的函數(shù)空間中抽取可列個函數(shù)來構造函數(shù)空間中的一個基，抱負的狀況下構成一個正交基。,爭論將參數(shù)a，b按肯定的方法離散，但要保證用離散后的小涉及函數(shù)對信號開放后，信息不喪失。,35,2.,尺度和位移離散化的方法,方法1：滿足Nyquist采樣定理的離散方法,Where,T,s,為采樣間隔,特例：,a,0,=2 T,s,=1,方法,2,：,方法,1,中的,T,s,=0,，即僅僅對尺度,a,離散，對平移因子不離散,36,3.,離散小波

12、變換之正變換,1),后，連續(xù)相空間非均勻分布的離散相空間。,2),當 時，,37,5.,小波框架,，,時，稱為小波框架；當,等價地，小波框架在頻域中是指，滿足,的函數(shù)族。,是小波函數(shù)，函數(shù)族,滿足,時，該框架又稱為緊小波框架。,1),定義,38,2),性質,滿足容許性條件。,的對偶函數(shù),小波框架,也構成一個框架。,5.,信號重構和逆變換,，則離散小波變換的逆變換為：,1),where,特例：,A=B=1,是正交基,39,若,則,2),3),40,where,信號的離散小波開放,信號的,Fourier,級數(shù)展開,where,41,6.,重構核方程,彼此相關，可由,求出。,是框架，不正交，有冗余度

13、。,where,稱為重建核,42,小波框架的應用，使CWT的冗余度降低，信號WT的計算量、存儲量降低。,小波框架仍有冗余度，插值可使CWT的冗余性與DWT的經(jīng)濟性之間進展折中。,小波框架可滿足工程上對小波基函數(shù)光滑性、對稱性、局域性的要求。,小結,43,7.,二進小波變換,DWT,無時移共變性，限制了它在信號奇異性檢 測、圖像信號處理等方面的應用。,1),二進小波定義,連續(xù)變化的小波為二進小波。,爭論方法：框架理論,2),二進小波變換,則,s(t),之二進,WT,為,44,3),二進逆變換,之對偶框架，其上、下界為,where,45,(5),具有冗余性；,4),二進制小波變換的性質,(1),線性變換；,(2),構成一個框架；,(3),也是容許性小波；,(4),具有平移不變性：,46,