2019年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第四篇 平面向量細(xì)致講解練 理 新人教A版.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第四篇 平面向量細(xì)致講解練 理 新人教A版 第1講　平面向量的概念及其線性運(yùn)算 [最新考綱] 1．了解向量的實(shí)際背景． 2．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義． 3．理解向量的幾何表示． 4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義． 5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． 6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 知 識(shí) 梳 理 1．向量的有關(guān)概念 名稱(chēng) 定義 備注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定　義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量 和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 續(xù)表 減法 求a與b的 相反向量 －b的和的 運(yùn)算叫做 a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與 向量a的積 的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 辨 析 感 悟 1．對(duì)共線向量的理解 (1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同． () (2)若a∥b，b∥c，則a∥c. () (3)(xx鄭州調(diào)研改編)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ＝－. (√) (4)(xx陜西卷改編)設(shè)a，b為向量，則“|ab|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要條件． (√) 2．對(duì)向量線性運(yùn)算的應(yīng)用 (5)＋＋＝. (√) (6)(教材習(xí)題改編)在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)． (√) 學(xué)生用書(shū)第69頁(yè) [感悟提升] 1．一個(gè)區(qū)別　兩個(gè)向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點(diǎn)可以不同，而后者必須在同一直線上．同樣，兩個(gè)平行向 量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上． 2．兩個(gè)防范　一是兩個(gè)向量共線，則它們的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2). 考點(diǎn)一　平面向量的有關(guān)概念 【例1】 給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中真命題的序號(hào)是________． 解析　①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確．∵＝， ∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝. ③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同， ∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③. 答案?、冖? 規(guī)律方法 對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條： (1)向量的兩個(gè)特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標(biāo)表示； (2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量； (3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小． 【訓(xùn)練1】 設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. 答案　D 考點(diǎn)二　平面向量的線性運(yùn)算 例2】 如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)＝a， ＝b，B＝ ， ＝ .試用a，b表示， 及. 解　由題意知，在平行四邊形OADB中， ＝B ＝ ＝( －)＝(a－b)＝a－b， 則＝＋＝b＋a－b＝a＋b. ＝ ＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b， ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 規(guī)律方法 (1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)． (2)向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用． 【訓(xùn)練2】 (1) (xx四川卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ ，則λ＝________. (2)(xx泉州模擬)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且＋＋＝，那么一定有 (　　)． A.＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2 解析　(1)∵＋＝＝2，∴λ＝2. (2)∵＋＋＝＝－， ∴＝－2＝2. 答案　(1)2　(2)D 考點(diǎn)三　向量共線定理及其應(yīng)用 【例3】 (xx鄭州一中月考)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． 審題路線　(1)由向量的加法，得＝＋?用a，b表示?得到與的關(guān)系式?由向量共線定理，得與共線?再看是否有公共點(diǎn)?得到證明的結(jié)論． (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k?利用向量共線定理?列出方程?根據(jù)a，b是兩個(gè)不共線的向量?得出方程組?解得k值． (1)證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)． ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)解　假設(shè)ka＋b與a＋kb共線， 則存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是兩不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝1. 規(guī)律方法 (1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． (2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，b不共線. 學(xué)生用書(shū)第70頁(yè) 【訓(xùn)練3】 (xx西安模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)____． 解析　由于c與d同向，所以c＝kd(k＞0)， 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]， 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共線，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－. 又因?yàn)閗＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案　1 1．向量的加、減法運(yùn)算，要在所表達(dá)的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論． 2．對(duì)于向量共線定理及其等價(jià)定理，關(guān)鍵要理解為位置(共線或不共線)與向量等式之間所建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系．要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b＝λa，再結(jié)合條件或圖形有無(wú)公共點(diǎn)證明幾何位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 方法優(yōu)化3——準(zhǔn)確把握平面向量的概念和運(yùn)算 【典例】 (xx浙江卷)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量．(　　)． A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| [一般解法] (排除法)選項(xiàng)A，若b＝－a，則等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，顯然a⊥b不成立； 選項(xiàng)B，若a⊥b且|a|＝|b|，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立； 選項(xiàng)D，若b＝a，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立． 綜上，A，B，D都不正確，故選C. [優(yōu)美解法] (數(shù)量積法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|兩邊平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2， 即2ab＝－2|a||b|，而ab＝|a||b|cos， 所以cos＝－1.又因?yàn)?a，b>∈[0，π]， 所以＝π，即a，b為方向相反的共線向量．故C正確． [反思感悟] 部分學(xué)生做錯(cuò)的主要原因是：題中的條件“|a＋b|＝|a|－|b|”在處理過(guò)程中誤認(rèn)為“|a＋b|＝|a－b|”，從而得到“a⊥b”這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論． 【自主體驗(yàn)】 在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB邊上的高，若＝λ，則實(shí)數(shù)λ＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　由＝λ，∴||＝λ||. 又∵||＝|a|cos A＝|a|＝， ||＝|b－a|，∴λ＝＝.故選C. 答案　C 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是(　　)． A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析　由圖可知＝－. 答案　B 2. (xx汕頭二模)如圖，在正六邊形ABCDEF中，＋＋等于(　　)． A．0 B. C. D. 解析　因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，故＋＋＝＋＋＝＋＝. 答案　D 3．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 答案　A 4．(xx開(kāi)封模擬)下列命題中，正確的是(　　)． A．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b B．若ab＝0，則a＝0或b＝0 C．若ka＝0，則k＝0或a＝0 D．若a，b都是非零向量，則|a＋b|＞|a－b| 解析　對(duì)于A，顯然不能得知a＝b或a＝－b，因此選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，易知不正確；對(duì)于C，易知正確；對(duì)于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，顯然ab與零的大小關(guān)系不確定，因此選項(xiàng)D不正確．綜上所述，選C. 答案　C 5．(xx蘭州質(zhì)檢)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為(　　)． A. B. C. D. 解析　 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且＝ ，也就是△ABM與△ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為，選C. 答案　C 二、填空題 6．(xx湖州月考)給出下列命題： ①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等； ②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同； ④兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上． 其中不正確命題的序號(hào)是________． 解析　①中，∵向量與為相反向量， ∴它們的長(zhǎng)度相等，此命題正確． ②中若a或b為零向量，則滿足a與b平行，但a與b的方向不一定相同或相反，∴此命題錯(cuò)誤． ③由相等向量的定義知，若兩向量為相等向量，且起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)也必定相同，∴該命題正確． ④由共線向量知，若兩個(gè)向量?jī)H有相同的終點(diǎn)，則不一定共線，∴該命題錯(cuò)誤． ⑤∵共線向量是方向相同或相反的向量，∴若與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上，∴該命題錯(cuò)誤． 答案?、冖堍? 7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝________(用a，b表示)． 解析　由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案?。璦＋b 8．(xx泰安模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)_______． 解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三點(diǎn)共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.即∴p＝－1. 答案?。? 三、解答題 9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 解　＝(＋)＝a＋b； ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 10．若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？ 解　設(shè)＝a，＝tb，＝(a＋b)， ∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a. 要使A，B，C三點(diǎn)共線，只需＝λ. 即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa. 又∵a與b為不共線的非零向量， ∴有? ∴當(dāng)t＝時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(xx濟(jì)南一模)已知A，B，C 是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝， 則點(diǎn)P一定為三角形ABC的(　　)． A．AB邊中線的中點(diǎn) B．AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心) C．重心 D．AB邊的中點(diǎn) 解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三點(diǎn)共線，且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)． 答案　B 2．在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC的延長(zhǎng)線上，且與點(diǎn)C不重合，若＝x ＋(1－x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)． A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(0,1) 解析　設(shè)＝λ (λ＞1)，則＝＋＝＋λ ＝(1－λ)＋λ ，又＝x ＋(1－x)，所以x ＋(1－x)＝(1－λ)＋λ .所以λ＝1－x＞ 1，得x＜0. 答案　A 二、填空題 3．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為_(kāi)_______． 解析?。?＝－＋－＝＋， －＝＝－，∴|＋|＝|－|. 故A，B，C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形． 答案　直角三角形 三、解答題 4. 在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示. 解?。剑剑? ＝＋(＋)＝＋(－) ＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b. 又＝＋＝＋m ＝＋(＋) ＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b， ∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b. 學(xué)生用書(shū)第70頁(yè) 第2講　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [最新考綱] 1．了解平面向量的基本定理及其意義． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． 4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件. 知 識(shí) 梳 理 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 辨 析 感 悟 1．對(duì)平面向量基本定理的理解 (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底． () (2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√) (3)(xx廣東卷改編)已知a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有下列四個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們的正誤： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c. (√) ②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；(√) ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc； (√) ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc. () 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (4)(教材習(xí)題改編)已知點(diǎn)A(2,1)，B(－1,3)，則＝(－3,2)． (√) (5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝. () (6)(xx湘潭調(diào)研改編)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，則x的值為－4. (√) [感悟提升] 1．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別　在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化． 2．兩個(gè)防范　一是注意能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的，如(1)．二是注意運(yùn)用兩個(gè)向量a，b共線坐標(biāo)表示的充要條件應(yīng)為x1y2－x2y1＝0，如(5). 考點(diǎn)一　平面向量基本定理的應(yīng)用 【例1】 如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝c，＝d，試用c，d表示，. 解　法一　設(shè)＝a，＝b， 則a＝＋＝d＋，① b＝＋＝c＋.② 將②代入①，得a＝d＋， ∴a＝d－c＝(2d－c)，③ 將③代入②，得b＝c＋(2d－c)＝(2c－d)． ∴＝(2d－c)，＝(2c－d)． 法二　設(shè)＝a，＝b. 因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)， 所以＝b，＝a， 因而? 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 規(guī)律方法 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決． 【訓(xùn)練1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若A＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　)． 　A. B. C. D. 解析　因?yàn)椋剑剑剑?＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝. 答案　D 考點(diǎn)二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例2】 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M的坐標(biāo)為(0,20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N的坐標(biāo)為(9,2)， ∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 規(guī)律方法 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用． 【訓(xùn)練2】 (1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 學(xué)生用書(shū)第72頁(yè) (2)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝ (　　)． A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 解析　(1)a＝，b＝， 故a－b＝(－1,2)． (2)由題意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案　(1)D　(2)B 考點(diǎn)三　平面向量共線的坐標(biāo)表示 【例3】 平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k； (2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標(biāo)． 審題路線　(1)分別求出(a＋kc)與(2b－a)的坐標(biāo)?利用向量平行的充要條件列方程?解關(guān)于k的方程；(2)設(shè)d的坐標(biāo)?根據(jù)已知條件列出方程組?解方程組，得到d的坐標(biāo)． 解　(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)． 規(guī)律方法 a∥b的充要條件有兩種表達(dá)方式： (1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)； (2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 兩種充要條件的表達(dá)形式不同．第(1)種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件b≠0，而第(2)種無(wú)b≠0限制． 【訓(xùn)練3】 (1)(xx衡水中學(xué)一檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝ (　　)． A. B. C．1 D．2 (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析　(1)由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c?4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝，故選A. (2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2 . 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則 ＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)． 答案　(1)A　(2)(2,4) 1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解． 2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問(wèn)題． 3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思想方法3——方程思想在平面向量線性運(yùn)算中的應(yīng)用 【典例】 (xx北京卷)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 解析　以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，令每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得解得 所以＝4. 答案　4 [反思感悟] (1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去． (2)利用向量共線建立方程組，用方程的思想求解． 【自主體驗(yàn)】 1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基底a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析　由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb. 又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋ n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 又e1，e2是平面內(nèi)一組基向量， 所以則 答案　　－ 2．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝________. 解析　a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由題意得(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)， 整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4. 答案　4 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx華東師大附中模擬)如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，下列向量組：①與；②與；③與；④與，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是(　　)． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 解析?、僦信c不共線，可作為基底；②中與為共線向量，不可作為基底；③中與是兩個(gè)不共線的向量，可作為基底；④中與在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底．綜上，只有①③中的向量可以作為基底，故選C. 答案　C 2．(xx揭陽(yáng)二模)已知點(diǎn)A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)． A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 解析　設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)． 由＝3a，得解得 答案　D 3. 如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x ＋y ，且＝2 ，則(　　)． A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析　由題意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 答案　A 4．(xx惠州模擬)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，則m＝(　　)． A．2 B．－2 C．－3 D．3 解析　a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)(m＋1)－21＝0，解得m＝－3. 答案　C 5．(xx許昌模擬)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2P，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　)． A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析?。? ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案　B 二、填空題 6．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為_(kāi)_______． 解析?。?a－2，－2)，＝(－2，b－2)， 依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案　 7．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________． 解析　由題意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則－3(1－m)≠1(2－m)，解得m≠. 答案　m≠ 8．(xx江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______． 解析?。剑剑剑?＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝， 即λ1＋λ2＝. 答案　 三、解答題 9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 法一　當(dāng)ka＋b與a－3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得， 解得k＝λ＝－， ∴當(dāng)k＝－時(shí)，ka＋b與a－3b平行， 這時(shí)ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)． ∵λ＝－<0，∴ka＋b與a－3b反向． 法二　∵ka＋b與a－3b平行， ∴(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－， 此時(shí)ka＋b＝＝－(a－3b)． ∴當(dāng)k＝－時(shí)，ka＋b與a－3b平行，并且反向． 10．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 . (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線． (1)解?。絫1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0， (2)證明　當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ， ∴與共線，又它們有公共點(diǎn)A， ∴A，B，M三點(diǎn)共線． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(xx保定模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為(　　)． A．30 B．60 C．90 D．120 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 整理得b2＋a2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 又00，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析?。剑?a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴∥. ∴2(a－1)－(－b－1)＝0， ∴2a＋b＝1. ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2 ＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝，a＝時(shí)取等號(hào)． ∴＋的最小值是8. 答案　8 三、解答題 4. 如圖，已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 解　以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形可以有三種情況： ①?ABCD；②?ADBC；③?ABDC. 設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)， ①若是?ABCD，則由＝，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)， ∴∴x＝0，y＝－4. ∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－4)(如題圖中所示的D1)． ②若是?ADBC，由＝，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)， 即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4. ∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)(如題圖中所示的D2)． ③若是?ABDC，則由＝，得 (0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0. ∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,0)(如題圖中所示的D3)， ∴以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－4)或(2,4)或(－2,0). 學(xué)生用書(shū)第73頁(yè) 第3講　平面向量的數(shù)量積 [最新考綱] 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 知 識(shí) 梳 理 1．平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a＝0. (2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． (1)數(shù)量積：ab＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夾角：cos θ＝＝. (4)兩非零向量a⊥b的充要條件：ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|ab|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤ . 3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba(交換律)． (2)λab＝λ(ab)＝a(λb)(結(jié)合律)． (3)(a＋b)c＝ac＋bc(分配律)． 辨 析 感 悟 1．對(duì)平面向量的數(shù)量積的認(rèn)識(shí) (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量．() (2)(xx湖北卷改編)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為－.() (3)若ab＞0，則a和b的夾角為銳角；若ab＜0，則a和b的夾角為鈍角．() 2．對(duì)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的理解 (4)ab＝0，則a＝0或b＝0.() (5)(ab)c＝a(bc)．() (6)ab＝ac(a≠0)，則b＝c.() [感悟提升] 三個(gè)防范　一是兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，如(1)； 二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量．設(shè)向量a，b的夾角為θ，當(dāng)θ為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時(shí)，投影為0；當(dāng)θ＝0時(shí)，b在a的方向上投影為|b|，當(dāng)θ＝180時(shí)，b在a方向上投影為－|b|，如(2)；當(dāng)θ＝0時(shí)，ab＞0，θ＝180，ab＜0，即ab＞0是兩個(gè)向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件，如(3)； 三是ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍b＝0時(shí)，有可能a⊥b，如(4)． 考點(diǎn)一　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【例1】 (1)(xx威海期末考試)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，則ab＝(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 (2)(xx江西卷)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的射影為_(kāi)_______． 解析　(1)∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1) ∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)． ∴ab＝(1,2)(－1,3)＝－1＋23＝5. (2)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1， 所以|b|＝2，ab＝(e1＋3e2)2e1＝2e＋6e1e2 ＝2＋6＝5， 所以a在b方向上的射影為|a|cos＝＝. 答案　(1)D　(2) 學(xué)生用書(shū)第74頁(yè) 規(guī)律方法 求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 【訓(xùn)練1】 (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝(　　)． A．6 B．5 C．4 D．3 (2)(xx山東卷)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_____． 解析　(1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)， 所以(8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝30， 即18＋3x＝30，解得x＝4.故選C. (2)∵⊥，∴＝0， ∴(λ＋)＝0，即(λ＋)(－)＝(λ－1)－λ2＋2＝0. ∵向量與的夾角為120，||＝3，||＝2， ∴(λ－1)||||cos 120－9λ＋4＝0，解得λ＝. 答案　(1)C　(2) 考點(diǎn)二　向量的夾角與向量的模 【例2】 (1)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為_(kāi)_______． (2)已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝________. 解析　(1)等式平方得|a|2＝9|b|2 ＝|a|2＋4|b|2＋4ab， 則|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos θ， 即0＝4|b|2＋43|b|2cos θ， 得cos θ＝－. (2)因?yàn)閨2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4ab＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝2. 答案　(1)－　(2)2 規(guī)律方法 (1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式． (2)|a|＝常用來(lái)求向量的模． 【訓(xùn)練2】 (1)(xx長(zhǎng)沙模擬)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. (2)若平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角θ的取值范圍是________． 解析　(1)由|2a－b|＝平方得， 4a2－4ab＋b2＝10， 即|b|2－4|b|cos 45＋4＝10， 亦即|b|2－2|b|－6＝0， 解得|b|＝3或|b|＝－(舍去)． (2)依題意有|a||b|sin θ＝， 即sin θ＝，由|b|≤1，得 ≤sin θ≤1，又0≤θ≤π， 故有≤θ≤. 答案　(1)3　(2) 考點(diǎn)三　平面向量的垂直問(wèn)題 【例3】 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求證：a＋b與a－b互相垂直； (2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α(其中k為非零實(shí)數(shù))． 審題路線　證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題，數(shù)量積為零即得證?由模相等，列等式、化簡(jiǎn)求β－α. (1)證明　∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b與a－b互相垂直． (2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝， |a－kb|＝. ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)． 又k≠0，∴cos(β－α)＝0. ∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝. 規(guī)律方法 (1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明a⊥b，則只需證明ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來(lái)表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明ab＝0. (3)數(shù)量積的運(yùn)算ab＝0?a⊥b中，是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有ab＝0，但不能說(shuō)a⊥b. 【訓(xùn)練3】 已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)． (1)證明　∵ab＝－1＝0，∴a⊥b. (2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴cd＝[a＋(t2－3)b](－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]ab＝0. 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，ab＝0， ∴cd＝－4k＋t3－3t＝0， ∴k＝f(t)＝(t≠0)． 1．計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的　　　　　　　　　　　　　　　　　　 運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算． 3．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧. 學(xué)生用書(shū)第75頁(yè) 教你審題5——數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題 【典例】 (xx上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB，AD的長(zhǎng)分別為2,1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足＝，則的取值范圍是________． [審題]　一審：抓住題眼“矩形ABCD”； 二審：合理建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決． 解析　 如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)， 設(shè)＝＝k(0≤k≤1)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，k)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2－2k,1)， 則＝(2，k)，＝(2－2k,1)，＝2(2－2k)＋k＝4－3k，而0≤k≤1，故1≤4－3k≤4. 答案　[1,4] [反思感悟] 在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何中的問(wèn)題時(shí)，首先要想到是否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會(huì)容易的多． 【自主體驗(yàn)】 (xx江蘇卷)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是________． 解析　法一　以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)，∴＝(x,2)，＝(，0)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)，∴＝. 法二　＝||||cos∠BAF＝， ∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，∴||＝－1，＝(＋)(＋)＝＋＋＋＝＋＝(－1)(－1)＋121＝. 答案　 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，則ab＝(　　)． A．2 B．(0,4) C．4 D．(1,4) 解析　ab＝(1,2)(0,2)＝10＋22＝4. 答案　C 2．(xx紹興質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝120，則在方向上的投影為(　　)． A. B. C．1 D．2 解析　如圖所示，在方向上的投影為||cos 60＝2＝1. 答案　C 3．(xx山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b與c垂直，則k＝(　　)． A．－3 B．－2 C．－1 D．1 解析　由題意知(a＋2b)c＝0，即ac＋2bc＝0. 所以k＋＋2＝0，解得k＝－3. 答案　A 4．(xx浙江五校聯(lián)盟)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(2a＋b)b＝0，則向量a，b的夾角為(　　)． A. B. C. D. 解析　由(2a＋b)b＝0，得2ab＋|b|2＝0. ∴2|b|2cos＋|b|2＝0，∴cos＝－， 又∈[0，π]，∴＝. 答案　A 5．(xx福建卷)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　)． A. B．2 C．5 D．10 解析　∵＝1(－4)＋22＝0， ∴⊥，∴S四邊形＝＝＝5. 答案　C 二、填空題 6．(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b.若bc＝0，則t＝________. 解析　bc＝b[ta＋(1－t)b]＝tab＋(1－t)b2 ＝t|a||b|cos 60＋(1－t)|b|2 ＝＋1－t＝1－. 由bc＝0，得1－＝0，所以t＝2. 答案　2 7．(xx南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)．若＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______． 解析　設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，又＝－＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以＝－3x＋3y＝0，解得x＝y(tǒng).又＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得結(jié)合x(chóng)＝y(tǒng)，解得λ＝2. 答案　2 8.(xx濰坊二模)如圖，在△ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，<，>＝60，則||＝________. 解析　因?yàn)?，>＝60，所以＝||||cos 60＝13＝，又＝，所以2＝(＋)2＝(2＋2＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝. 答案　 三、解答題 9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解　(1)若a⊥b， 則ab＝1(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，則有1(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)， ∴|a－b|＝＝2. 當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)