2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)（2）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)（2）教案 新人教A版必修1 教學(xué)目標(biāo)　　　　　 1．知識與技能 (1)使學(xué)生理解函數(shù)的最值是在整個定義域上來研究的，它是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用． (2)啟發(fā)學(xué)生學(xué)會分析問題、認(rèn)識問題和創(chuàng)造性地解決問題． 2．過程與方法 (1)通過滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育． (2)探究與活動，明白考慮問題要細(xì)致，說理要明確． 3．情感、態(tài)度與價值觀 理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等現(xiàn)象． 重點難點　　　　　 教學(xué)重點：函數(shù)最大(小)值的定義和求法． 教學(xué)難點：如何求一個具體函數(shù)的最值． 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.某工廠為了擴大生產(chǎn)規(guī)模，計劃重新建造一個面積為10 000 m2的矩形新廠址，新廠址的長為x m，則寬為 m，所建圍墻y m，假如你是這個工廠的廠長，你會選擇一個長和寬各為多少米的矩形土地，使得新廠址的圍墻y 最短？ 學(xué)生先思考或討論，教師指出此題意在求函數(shù)y＝2(x＋)，x>0的最小值．引出本節(jié)課題：在生產(chǎn)和生活中，我們非常關(guān)心花費最少、用料最省、用時最省等最值問題，這些最值對我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的．那么什么是函數(shù)的最值呢？這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題．用函數(shù)知識解決實際問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這就是函數(shù)的思想，用函數(shù)解決問題． 思路2.畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？ ①f(x)＝－x＋3；②f(x)＝－x＋3，x∈[－1,2]； ③f(x)＝x2＋2x＋1；④f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]． 學(xué)生回答后，教師引出課題：函數(shù)的最值． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)如圖4所示是函數(shù)y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)、y＝f(x)的圖象．觀察這三個圖象的共同特征． 圖4 (2)函數(shù)圖象上任意點P(x，y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系？ (3)你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點的？ (4)問題(1)中，在函數(shù)y＝f(x)的圖象上任取一點A(x，y)，如圖5所示，設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0，y0)，誰能用數(shù)學(xué)符號解釋：函數(shù)y＝f(x)的圖象有最高點C? 圖5 (5)在數(shù)學(xué)中，形如問題(1)中函數(shù)y＝f(x)的圖象上最高點C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)y＝f(x)的最大值．誰能給出函數(shù)最大值的定義？ (6)函數(shù)最大值的定義中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，這個不等式反映了函數(shù)y＝f(x)的函數(shù)值具有什么特點？其圖象又具有什么特征？ (7)函數(shù)最大值的幾何意義是什么？ (8)函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值嗎？為什么？ (9)點(－1,3)是不是函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高點？ (10)由問題(9)你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？ 討論結(jié)果：(1)函數(shù)y＝－x2－2x的圖象有最高點A，函數(shù)y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的圖象有最高點B，函數(shù)y＝f(x)的圖象有最高點C.也就是說，這三個函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點． (2)函數(shù)圖象上任意點P的坐標(biāo)(x，y)的意義：橫坐標(biāo)x是自變量的取值，縱坐標(biāo)y是自變量為x時對應(yīng)的函數(shù)值的大?。? (3)圖象上最高點的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值，即函數(shù)的最大值． (4)由于點C是函數(shù)y＝f(x)圖象上的最高點，則點A在點C的下方，即對定義域內(nèi)任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是對函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)任意x，均有f(x)≤f(x0)成立． (5)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足： ①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值． (6)f(x)≤M反映了函數(shù)y＝f(x)的所有函數(shù)值不大于實數(shù)M；這個函數(shù)的特征是圖象有最高點，并且最高點的縱坐標(biāo)是M. (7)函數(shù)圖象上最高點的縱坐標(biāo)． (8)函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)沒有最大值，因為函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的圖象沒有最高點． (9)不是，因為該函數(shù)的定義域中沒有－1. (10)討論函數(shù)的最大值，要堅持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象上有最高點時，這個函數(shù)才存在最大值，最高點必須是函數(shù)圖象上的點． (1)類比函數(shù)的最大值，請你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義. (2)類比上面問題(9)，你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么？ 活動：讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義，利用定義來類比定義．最高點類比最低點，不等號“≤”類比不等號“≥”．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值． 討論結(jié)果：(1)函數(shù)最小值的定義是： 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足： ①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值． 函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點的縱坐標(biāo)． (2)討論函數(shù)的最小值，也要堅持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象上有最低點時，這個函數(shù)才存在最小值，最低點必須是函數(shù)圖象上的點． 例1 求函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值． 活動：先思考或討論，再到黑板上書寫．當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時，才提示：圖象最高點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值，圖象最低點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值．根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值．利用變換法畫出函數(shù)y＝的圖象，只取在區(qū)間[2,6]上的部分．觀察可得函數(shù)的圖象是上升的． 解：設(shè)2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0. ∴f(x1)>f(x2)，即函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù)． ∴當(dāng)x＝2時，函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上取得最大值f(2)＝2； 當(dāng)x＝6時，函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上取得最小值f(6)＝. 變式訓(xùn)練 1．求函數(shù)y＝x2－2x(x∈[－3,2])的最大值和最小值． 解：最大值是f(－3)＝15，最小值是f(1)＝－1. 2．函數(shù)f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________． 解析：(換元法)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值． 設(shè)x2＝t，y＝t2＋2t－1(t≥0)， 又當(dāng)t≥0時，函數(shù)y＝t2＋2t－1是增函數(shù)， 則當(dāng)t＝0時，函數(shù)y＝t2＋2t－1(t≥0)取最小值－1. 所以函數(shù)f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是－1. 答案：－1 3．畫出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值． 分析：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，先畫出y軸右側(cè)的圖象，再對稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間． 解：函數(shù)圖象如圖6所示． 圖6 由圖象得，函數(shù)的圖象在區(qū)間(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高點是(1,4)， 故函數(shù)在(－∞，－1)，[0,1]上是增函數(shù)；函數(shù)在[－1,0]，(1，＋∞)上是減函數(shù)，最大值是4. 點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及最值的求法．求函數(shù)的最值時，先畫函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，最后借助單調(diào)性寫出最值，這種方法適用于做解答題． 單調(diào)法求函數(shù)最值：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：①如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)；②如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b). 例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達(dá)到最高點時爆裂．如果煙花距地面的高度h m與時間t s之間的關(guān)系為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？(精確到1 m) 活動：可以指定一位學(xué)生到黑板上書寫，教師在下面巡視，并及時幫助做錯的學(xué)生改錯．并對學(xué)生的板書及時評價．將實際問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象求出最大值．“煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻”就是當(dāng)t取什么值時函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“這時距地面的高度是多少(精確到1 m)”就是函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值及此時自變量t的值． 解：作出函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的圖象，如圖7所示， 圖7 顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度． 由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我們有： 當(dāng)t＝－＝1.5時，函數(shù)有最大值h＝≈29. 即煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約是29 m. 點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題的能力．解應(yīng)用題的步驟是：①審清題意讀懂題；②將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；③歸納結(jié)論． 注意：要堅持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合． 變式訓(xùn)練 1．把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是(　　) A. cm2　　　　B．4 cm2　　　　C．3 cm2　　　　D．2 cm2 解析：設(shè)一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為(4－x) cm，兩個三角形的面積和為S，則S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2.當(dāng)x＝2時，S取最小值2 cm2.故選D. 答案：D 2．某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，若將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一件的價格出售時，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高銷售價格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少時才能賺取最大利潤，并求出最大利潤． 分析：設(shè)未知數(shù)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實際意義作出回答．利潤＝(售價－進(jìn)價)銷售量． 解：設(shè)商品售價定為x元時，利潤為y元，則y＝(x－8)[60－(x－10)10] ＝－10[(x－12)2－16]＝－10(x－12)2＋160(10＜x＜16)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時，y有最大值160元， 即售價定為12元時可獲最大利潤160元. 課本本節(jié)練習(xí)5. [補充練習(xí)] 某廠xx年擬舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與去年促銷費m(萬元)(m≥0)滿足x＝3－.已知xx年生產(chǎn)的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將xx年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費m(萬元)的函數(shù)； (2)求xx年該產(chǎn)品利潤的最大值，此時促銷費為多少萬元？ 分析：(1)年利潤＝銷售價格年銷售量－固定投入－促銷費－再投入，銷售價格＝1.5每件產(chǎn)品平均成本；(2)利用單調(diào)法求函數(shù)的最大值． 解：(1)每件產(chǎn)品的成本為元，故xx年的利潤為 y＝1.5x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8(3－)－m＝28－－m(萬元)(m≥0)． (2)可以證明當(dāng)0≤m≤3時，函數(shù)y＝28－－m是增函數(shù)，當(dāng)m>3時，函數(shù)y＝28－－m是減函數(shù)，所以當(dāng)m＝3時，函數(shù)y＝28－－m取最大值21萬元． 問題：求函數(shù)y＝的最大值． 解：(方法一)利用計算機軟件畫出函數(shù)的圖象，如圖8所示， 故圖象最高點是(－，)． 圖8 則函數(shù)y＝的最大值是. (方法二)函數(shù)的定義域是R， 可以證明當(dāng)x<－時，函數(shù)y＝是增函數(shù)； 當(dāng)x≥－時，函數(shù)y＝是減函數(shù)． 則當(dāng)x＝－時，函數(shù)y＝取最大值， 即函數(shù)y＝的最大值是. (方法三)函數(shù)的定義域是R， 由y＝，得yx2＋yx＋y－1＝0. ∵x∈R，∴關(guān)于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有實數(shù)根． 當(dāng)y＝0時，關(guān)于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0無實數(shù)根，即y＝0不屬于函數(shù)的值域． 當(dāng)y≠0時，則關(guān)于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程， 則有Δ＝(－y)2－4y(y－1)≥0.∴00時，函數(shù)y＝kx的最大值為f(b)＝kb，最小值為f(a)＝ka；當(dāng)k<0時，函數(shù)y＝kx的最大值為f(a)＝ka，最小值為f(b)＝kb. 2．反比例函數(shù)：y＝(k≠0)在定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在閉區(qū)間[a，b](ab>0)上存在最值，當(dāng)k>0時，函數(shù)y＝的最大值為f(a)＝，最小值為f(b)＝；當(dāng)k<0時，函數(shù)y＝的最大值為f(b)＝，最小值為f(a)＝. 3．一次函數(shù)：y＝kx＋b(k≠0)在定義域R上不存在最值．在閉區(qū)間[m，n]上存在最值，當(dāng)k>0時，函數(shù)y＝kx＋b的最大值為f(n)＝kn＋b，最小值為f(m)＝km＋b；當(dāng)k<0時，函數(shù)y＝kx＋b的最大值為f(m)＝km＋b，最小值為f(n)＝kn＋b. 4．二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： 當(dāng)a>0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在定義域R上有最小值f(－)＝，無最大值； 當(dāng)a<0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在定義域R上有最大值f(－)＝，無最小值． 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考考查的重點和熱點內(nèi)容之一．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在閉區(qū)間[p，q]上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況： (1)若－＜p，則f(x)在區(qū)間[p，q]上是增函數(shù)，則f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)． (2)若p≤－≤q，則f(x)min＝f(－)，此時f(x)的最大值視對稱軸與區(qū)間端點的遠(yuǎn)近而定： ①當(dāng)p≤－＜時，則f(x)max＝f(q)； ②當(dāng)＝－時，則f(x)max＝f(p)＝f(q)； ③當(dāng)＜－＜q時，則f(x)max＝f(p)． (3)若－≥q，則f(x)在區(qū)間[p，q]上是減函數(shù)，則f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)． 由此可見，當(dāng)－∈[p，q]時，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在閉區(qū)間[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f(－)；當(dāng)－?[p，q]時，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在閉區(qū)間[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f(p)和f(q)中的最小值．