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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第32講 不等式解法及應(yīng)用教案 新人教版
一.課標(biāo)要求:
1.不等關(guān)系
通過(guò)具體情境,感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景;
2.一元二次不等式
①.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程;
②通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系;
③會(huì)解一元二次不等式,對(duì)給定的一元二次不等式,嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。
3二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題
①?gòu)膶?shí)際情境中抽象出二元一次不等式組;
②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組;
③從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題,并能加以解決。
二.命題走向
分析近幾年的高考試題,本將主要考察不等式的解法,綜合題多以與其他章節(jié)(如函數(shù)、數(shù)列等)交匯。從題型上來(lái)看,多以比較大小,解簡(jiǎn)單不等式以及線性規(guī)劃等,解答題主要考察含參數(shù)的不等式的求解以及它在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列中的應(yīng)用。
預(yù)測(cè)xx年高考的命題趨勢(shì):
1.結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的考察函數(shù)的性質(zhì),解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn);
2.以當(dāng)前經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍是高考的熱點(diǎn),主要考察考生閱讀以及分析、解決問(wèn)題的能力;
3.在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)命題,特別注意與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合命題這一變化趨勢(shì);
4.對(duì)含參數(shù)的不等式,要加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí),學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因,合理分類,不重不漏。
三.要點(diǎn)精講
1.不等式的解法
解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時(shí)的重要手段,與“等式變形”并列的“不等式的變形”,是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。
高考試題中,對(duì)解不等式有較高的要求,近兩年不等式知識(shí)占相當(dāng)大的比例。
(1)同解不等式((1)與同解;
(2)與同解,與同解;
(3)與同解);
2.一元一次不等式
解一元一次不等式(組)及一元二次不等式(組)是解其他各類不等式的基礎(chǔ),必須熟練掌握,靈活應(yīng)用。
情況分別解之。
3.一元二次不等式
或分及情況分別解之,還要注意的三種情況,即或或,最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。
4.分式不等式
分式不等式的等價(jià)變形:>0f(x)g(x)>0,≥0。
5.簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式
絕對(duì)值不等式適用范圍較廣,向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對(duì)值不等式。高考試題中,對(duì)絕對(duì)值不等式從多方面考查。
解絕對(duì)值不等式的常用方法:
①討論法:討論絕對(duì)值中的式于大于零還是小于零,然后去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為一般不等式;
②等價(jià)變形:
解絕對(duì)值不等式常用以下等價(jià)變形:
|x|
0),
|x|>ax2>a2x>a或x<-a(a>0)。
一般地有:
|f(x)|g(x)f(x)>g (x)或f(x)0的解集為( )
A.{x|x<1} B.{x|x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|10,
∴x<1或x>3.
故原不等式的解集為{x|x<1或x>3}。
點(diǎn)評(píng):簡(jiǎn)單的分式不等式的解法是高中數(shù)學(xué)中常用到的求范圍問(wèn)題工具,分式不等式的解題思路是:分式化整式(注意分母不為零)。
題型2:簡(jiǎn)單的絕對(duì)值、涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)和三角的不等式的求解問(wèn)題
例3.(1)(xx全國(guó),3)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( )
A.{x|0≤x<1 B.{x|x<0且x≠-1
C.{x|-1<x<1 D.{x|x<1且x≠-1
(2)(1997全國(guó),14)不等式組的解集是( )
A.{x|0<x<2 B.{x|0<x<2.5
C.{x|0<x< D.{x|0<x<3
解析:(1)答案:D;
解法一:①x≥0時(shí),原不等式化為:(1+x)(1-x)>0,
∴(x+1)(x-1)<0,
∴0≤x<1。
②x<0時(shí),原不等式化為:(1+x)(1+x)>0(1+x)2>0,
∴x≠-1,
∴x<0且x≠-1。
綜上,不等式的解集為x<1且x≠-1。
解法二:原不等式化為: ①或 ②
①解得-1<x<1,
②解得即x<-1,
∴原不等式的解集為x<1且x≠-1。
點(diǎn)評(píng):該題體現(xiàn)了對(duì)討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對(duì)值的基本方法的要求。
(2)答案:C
解法一:當(dāng)x≥2時(shí),原不等式化為,
去分母得(x+2)(3-x)>(x+3)(x-2),
即-x2+x+6>x2+x-6,2x2-12<0,。
注意x≥2,得2≤x<;
當(dāng)0<x<2時(shí),原不等式化為,去分母得-x2+x+6>-x2-x+6。
即2x>0 注意0<x<2,得0<x<2。
綜上得0<x<,所以選C。
解法二:特殊值法.取x=2,適合不等式,排除A;取x=2.5,不適合不等式,排除D;再取x=,不適合不等式,所以排除B;選C。
點(diǎn)評(píng):此題考查不等式的解法、直覺(jué)思維能力、估算能力。
例4.(1)(1995全國(guó)理,16)不等式()>3-2x的解集是_____。
(2)(xx全國(guó)文5,理4)在(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x取值范圍為( )
A.(,)∪(π,) B.(,π)
C.(,) D.(,π)∪(,)
(3)(06山東理,3)設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為( )
(A)(1,2)(3,+∞) (B)(,+∞)
(C)(1,2) ( ,+∞) (D)(1,2)
解析:(1)答案:{x|-2<x<4}
將不等式變形得
則-x2+8>-2x,從而x2-2x-8<0,(x+2)(x-4)<0,-2<x<4,所以不等式的解集是{x|-2<x<4}.
評(píng)述:此題考查指數(shù)不等式的解法;
(2)答案:C
解法一:作出在(0,2π)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象,解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,由圖4—6可得C答案。
圖4—6 圖4—7
解法二:在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線,由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.(如圖4—7)。
(3)C;
點(diǎn)評(píng):特殊不等式的求解,轉(zhuǎn)化是一方面,借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問(wèn)題的有效手段。
題型3:含參數(shù)的不等式的求解問(wèn)題
例5.(1)設(shè)不等式x2-2ax+a+2≤0的解集為M,如果M[1,4],求實(shí)數(shù)a的取值范圍?
(2)解關(guān)于x的不等式>1(a≠1)。
分析:該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問(wèn)題,充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在;數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。
解析:(1)M[1,4]有兩種情況:其一是M=,此時(shí)Δ<0;其二是M≠,此時(shí)Δ=0或Δ>0,分三種情況計(jì)算a的取值范圍。
設(shè)f(x)=x2 -2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2)
當(dāng)Δ<0時(shí),-1<a<2,M=[1,4];
當(dāng)Δ=0時(shí),a=-1或2;
當(dāng)a=-1時(shí)M={-1}[1,4];當(dāng)a=2時(shí),m={2}[1,4]。
當(dāng)Δ>0時(shí),a<-1或a>2。
設(shè)方程f(x)=0的兩根x1,x2,且x1<x2,
那么M=[x1,x2],M[1,4]1≤x1<x2≤4,
即,解得2<a<,
∴M[1,4]時(shí),a的取值范圍是(-1,)。
(2)原不等式可化為:>0,
①當(dāng)a>1時(shí),原不等式與(x-)(x-2)>0同解。
由于,
∴原不等式的解為(-∞,)∪(2,+∞)。
②當(dāng)a<1時(shí),原不等式與(x-)(x-2) <0同解。
由于,
若a<0,,解集為(,2);
若a=0時(shí),,解集為;
若0<a<1,,解集為(2,)。
綜上所述:當(dāng)a>1時(shí)解集為(-∞,)∪(2,+∞);當(dāng)0<a<1時(shí),解集為(2,);當(dāng)a=0時(shí),解集為;當(dāng)a<0時(shí),解集為(,2)。
點(diǎn)評(píng):考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系,以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一,出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面,易遺漏;構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理,易出錯(cuò)。
例6.(1)(06重慶理,15)設(shè)a>0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) >0的解集為_(kāi)_____ _;
(2)(06重慶文,15)設(shè),函數(shù)有最小值,則不等式的解集為 。
解析:(1)由于函數(shù)有最大值,則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為,又因?yàn)楹愠闪?,由解得?
(2)由于函數(shù)有最小值,故。原不等式化為,即。
點(diǎn)評(píng):含參數(shù)指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式,兼顧到底數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)為兩種情況,這也是分類的標(biāo)準(zhǔn)。
題型4:線性規(guī)劃問(wèn)題
例7.(1)(06安徽,10)如果實(shí)數(shù)滿足條件, 那么的最大值為( )
A. B. C. D.
(2)(06天津理,3)設(shè)變量、滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D.
解析:(1)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(0,-1)時(shí),最大,故選B;
(2)B.
點(diǎn)評(píng):近年來(lái)線性規(guī)劃的一些基本運(yùn)算問(wèn)題成為出題的熱點(diǎn),該部分知識(shí)大多都屬于基礎(chǔ)題目,屬于中低檔題目。
例8.(1)(06四川理,8)某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為,生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克,甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為元,月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克,要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大;在這個(gè)問(wèn)題中,設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克,千克,月利潤(rùn)總額為元,那么,用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中,約束條件為( )
(A) (B)
(C) (D)
(2)(06浙江理,3)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( )
(A) (B) (C) (D)
(3)(06北京理,13)已知點(diǎn) P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么|PO |的最小值等于,最大值等于。
解析:(1)約束條件為,選C;
(2)A;
(3)、。
點(diǎn)評(píng):線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點(diǎn),諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)。
題型5:不等式的應(yīng)用
例9.(06湖南理,20)對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為,要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某固定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。
解析:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19。
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。
因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少。
(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得,(*),
于是+,
當(dāng)為定值時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
此時(shí)
將代入(*)式得
故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為:
, 最少總用水量是.
當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說(shuō)明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。
點(diǎn)評(píng):通過(guò)實(shí)際情景建立函數(shù)關(guān)系式求解不等式問(wèn)題成為高考的亮點(diǎn),解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型,通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果。
例10.(xx全國(guó)文24、理22)如圖6—1,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米,高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì))?
解法一:設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),則y=,其中k>0為比例系數(shù),依題意,即所求的a、b值使y值最小。
根據(jù)題設(shè),有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
得b=(0<a<30 ①,
于是
。
當(dāng)a+2=時(shí)取等號(hào),y達(dá)到最小值。
這時(shí)a=6,a=-10(舍去) 將a=6代入①式得b=3,
故當(dāng)a為6米,b為3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
解法二:依題意,即所求的a、b值使ab最大。
由題設(shè)知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
即a+2b+ab=30(a>0,b>0)。
∵a+2b≥2 ∴2+ab≤30,
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí),上式取等號(hào).
由a>0,b>0,解得0<ab≤18
即當(dāng)a=2b時(shí),ab取得最大值,其最大值為18。
∴2b2=18.解得b=3,a=6。
故當(dāng)a為6米,b為3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
點(diǎn)評(píng):本題考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí),考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。
五.思維總結(jié)
1.在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí),加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí)
解不等式的過(guò)程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程,通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式(組),以快速、準(zhǔn)確求解。
加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí).在解不等式或證不等式的過(guò)程中,如含參數(shù)等問(wèn)題,一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.復(fù)習(xí)時(shí),學(xué)生要學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因,合理的分類,做到不重不漏。
加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分,相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,函數(shù)與方程思想是解決這類問(wèn)題的重要方法.在不等式的證明中,加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí),證不等式的過(guò)程是一個(gè)把已知條件向要證結(jié)論的一個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程,既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),又可考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,正因?yàn)樽C不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起我們的足夠重視。
2.強(qiáng)化不等式的應(yīng)用
突出不等式的知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值,借助不等式來(lái)考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
高考中除單獨(dú)考查不等式的試題外,常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的試題中涉及不等式的知識(shí),加強(qiáng)不等式應(yīng)用能力,是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面訓(xùn)練,提高應(yīng)用意識(shí),總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律,才能提高解決問(wèn)題的能力。
如在實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用中,主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法,求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件,避免不必要的錯(cuò)誤。
3.突出重點(diǎn)
綜合考查在知識(shí)與方法的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題,在不等式問(wèn)題中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想,不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具,不等式與函數(shù)既是知識(shí)的結(jié)合點(diǎn),又是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的交匯點(diǎn),因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),將不等式的重點(diǎn)知識(shí)以及其他知識(shí)有機(jī)結(jié)合,進(jìn)行綜合考查,強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度,是高考對(duì)不等式考查的又一新特點(diǎn)。
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