2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后提升訓(xùn)練（含解析）新人教A版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后提升訓(xùn)練（含解析）新人教A版選修1-1 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.拋物線y2=4px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為a,則M到y(tǒng)軸的距離為　(　　) A.a-p　　　　　 B.a+p C.a- D.a+2p 【解析】選A.可先求M到準(zhǔn)線的距離為a,又準(zhǔn)線方程為x=-p,所以M到y(tǒng)軸距離為a-p. 2.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是F(0,3)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是　(　　) A.y2=21x B.x2=12y C.y2=x D.x2=y 【解析】選B.由=3得p=6,且焦點(diǎn)在y軸正半軸上,故x2=12y. 3.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P,則過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是　(　　) A.y2=-x或x2=y B.y2=x或x2=y C.y2=x或x2=-y D.y2=-x或x2=-y 【解析】選A.方程可化為a(x+2)-(x+y-1)=0,可知直線恒過點(diǎn)(-2,3),設(shè)拋物線方程y2=ax(a≠0),或x2=by(b≠0),將(-2,3)代入,可得a=-,b=. 4.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=-1,則實(shí)數(shù)a的值是　(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 【解析】選A.由條件知a≠0,則y=ax2可以變形為x2=y,由于準(zhǔn)線是y=-1,可知a>0,拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2=2py(p>0),2p=,則p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是　(　　) A.　　　B.　　　C.|a|　　　D.- 【解析】選B.因?yàn)閥2=ax,所以p=,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 5.(xx大連高二檢測(cè))已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸,焦點(diǎn)在雙曲線-=1上,則拋物線方程為　(　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=8x 【解析】選D.由題意知拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線-=1的頂點(diǎn),即為(-2,0)或(2,0),所以拋物線的方程為y2=8x或y2=-8x. 6.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則有　(　　) A.|P1F|+|P2F|=|P3F| B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 C.2|P2F|=|P1F|+|P3F| D.|P2F|2=|P1F||P3F| 【解析】選C.因?yàn)镻1,P2,P3在拋物線上,且2x2=x1+x3,兩邊同時(shí)加上p, 得2=x1++x3+. 即2|P2F|=|P1F|+|P3F|. 7.已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則|FM|∶|MN|=　(　　) A.2∶ 　　 B.1∶2 C.1∶ 　 　 D.1∶3 【解題指南】利用射線FA的斜率和拋物線的定義求解. 【解析】選C.射線FA的方程為x+2y-2=0(x≥0). 由條件知tanα=,所以sinα=, 由拋物線的定義知|MF|=|MG|, 所以==sinα==. 8.(xx重慶高二檢測(cè))O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為　(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 【解題指南】由|PF|=4及拋物線的定義求出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而求出面積. 【解析】選C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-,焦點(diǎn)F(,0),由|PF|=4及拋物線的定義知,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP=3,從而yP=2, 所以=|OF||yP|=2=2. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.動(dòng)點(diǎn)P到直線x+4=0的距離比它到點(diǎn)M(2,0)的距離大2,則點(diǎn)P的軌跡方程是________. 【解析】由題可知,動(dòng)點(diǎn)P到直線x+2=0的距離與它到點(diǎn)M(2,0)的距離相等,利用定義可求出拋物線方程為y2=8x. 答案:y2=8x 10.若拋物線y2=-2px(p>0)上有一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________. 【解析】由拋物線方程y2=-2px(p>0),得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,準(zhǔn)線方程為x=,設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d,則d=|MF|=10,即-(-9)=10, 所以p=2,故拋物線方程為y2=-4x. 將M(-9,y)代入拋物線方程,得y=6, 所以M(-9,6)或M(-9,-6). 答案:(-9,-6)或(-9,6) 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(xx皖南八校聯(lián)考)若拋物線y2=2x上一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為,則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為________. 【解析】設(shè)M(x,y),則由 得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍). 所以點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離d=1-=. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)準(zhǔn)線方程x=-. (2)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2. (3)經(jīng)過點(diǎn)(-3,-5). 【解析】(1)由-=-,得p=, 所以所求拋物線的方程是y2=x. (2)p=2,有四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,分別是y2=4x,y2=-4x, x2=4y,x2=-4y. (3)當(dāng)拋物線的方程為y2=-2px(p>0)時(shí),將點(diǎn)(-3,-5)代入得p=,即拋物線的方程為y2=-x;當(dāng)拋物線的方程為x2=-2py(p>0)時(shí),將點(diǎn)(-3,-5)代入得p=,即x2=-y. 12.(xx邢臺(tái)高二檢測(cè))如圖所示,花壇水池中央有一噴泉,水管O′P=1m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀,先向上至最高點(diǎn)后落下,若最高點(diǎn)距水面2m,P距拋物線的對(duì)稱軸1m,則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米?(精確到1m) 【解題指南】以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則易得P點(diǎn)坐標(biāo),再由P在拋物線上求出拋物線方程,再由拋物線方程求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)即可獲解. 【解析】如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0). 依題意有P(-1,-1)在此拋物線上,代入得p=. 故得拋物線方程為x2=-y. 又點(diǎn)B在拋物線上,將B(x,-2)代入拋物線方程得x=, 即|AB|=,則|O′B|=|O′A|+|AB|=+1, 因此所求水池的直徑為2(1+)m,約為5m, 即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為5m. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成,尺寸如圖所示,某卡車空車時(shí)能通過此隧道,現(xiàn)載一集裝箱,箱寬3米,車與箱共高4.5米,問此車能否通過此隧道?說明理由. 【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則B(-3,-3),A(3,-3). 設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0), 將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得9=-2p(-3),所以p=,所以拋物線方程為x2=-3y(-3≤y≤0). 因?yàn)檐嚺c箱共高4.5米, 所以集裝箱上表面距拋物線形隧道拱頂0.5米. 設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,-0.5),D′的坐標(biāo)為(-x0,-0.5), 則=-3(-0.5),解得x0==. 所以|DD′|=2|x0|=<3,故此車不能通過隧道. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知拋物線x2=4y,定點(diǎn)A(12,39),點(diǎn)P是此拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),F是該拋物線的焦點(diǎn),求|PA|+|PF|的最小值. 【解析】將x=12代入x2=4y, 得y=36<39. 所以點(diǎn)A(12,39)在拋物線內(nèi)部, 拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線l為y=-1. 過P作PB⊥l于點(diǎn)B, 則|PA|+|PF|=|PA|+|PB|, 由圖可知,當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí), |PA|+|PB|最小. 所以|PA|+|PB|的最小值為|AB|=39+1=40. 故|PA|+|PF|的最小值為40.