2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》教案新人教A版選修1-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》教案新人教A版選修1-1 教學(xué)目標(biāo)： 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來(lái)求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟； 教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)過(guò)程： 創(chuàng)設(shè)情景 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說(shuō)明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過(guò)時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有． 3.3-9 3.3-8 對(duì)于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質(zhì)呢？ 附：對(duì)極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說(shuō)明.并且要說(shuō)明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào) 新課講授 一、 導(dǎo)入新課 觀察下圖中P點(diǎn)附近圖像從左到右的變化趨勢(shì)、P點(diǎn)的函數(shù)值以及點(diǎn)P位置的特點(diǎn) o a x1 x2 x3 4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) 函數(shù)圖像在P點(diǎn)附近從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調(diào)遞增變?yōu)閱握{(diào)遞減），在P點(diǎn)附近，P點(diǎn)的位置最高，函數(shù)值最大 二、學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生感性認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，體會(huì)函數(shù)極值的定義. 三、數(shù)學(xué)建構(gòu) x 0 2 y 極值點(diǎn)的定義: 觀察右圖可以看出，函數(shù)在x=0的函數(shù)值比它附近所有 各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說(shuō)f (0)是函數(shù)的一個(gè)極大值；函數(shù)在x=2的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說(shuō)f (2)是函數(shù)的一個(gè)極小值。 一般地，設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說(shuō)f ()是函數(shù)的一個(gè)極大值；如果的值比附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說(shuō)f ()是函數(shù)的一個(gè)極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)極值。 取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。 請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：(讓同學(xué)討論) （ⅰ）極值是一個(gè)局部概念。由定義可知極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)。 o a x1 x2 x3 x4 b x y （ⅲ）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而>。 （ⅳ）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。 極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:] 復(fù)習(xí)可導(dǎo)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的相互關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生尋找函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. 由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線(xiàn)有切線(xiàn)的話(huà)，則切線(xiàn)是水平的，從而有。但反過(guò)來(lái)不一定。若尋找函數(shù)極值點(diǎn),可否只由=0求得即可? 探索:x=0是否是函數(shù)=x的極值點(diǎn)?（展示此函數(shù)的圖形） 在處，曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的,即=0，但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大，也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小,故不是極值點(diǎn)。如果使，那么在什么情況下是的極值點(diǎn)呢？ 觀察下左圖所示，若是的極大值點(diǎn)，則兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于。因此，的左側(cè)附近只能是增函數(shù)，即，的右側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，同理，如下右圖所示，若是極小值點(diǎn)，則在的左側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，在的右側(cè)附近只能是增函數(shù)，即， o a x0 b x y o a x0 b x y 從而我們得出結(jié)論(給出尋找和判斷可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的方法,同時(shí)鞏固導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系）： 若滿(mǎn)足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿(mǎn)足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值。 結(jié)論：左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào) 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn) =0 反過(guò)來(lái)是否成立?各是什么條件? 點(diǎn)是極值點(diǎn)的充分不必要條件是在這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)；點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要不充分條件是在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0. 學(xué)生活動(dòng) 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為(D ) A、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正,則函數(shù)y由減變?yōu)樵?且有極大值 B、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值 C、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極小值 D、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值 四、數(shù)學(xué)應(yīng)用 o x y 例1．（課本例4）求的極值 解： 因?yàn)?，所? 。 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)>0,即，或時(shí)； （2）當(dāng)<0,即時(shí). 當(dāng)x變化時(shí)， ，的變化情況如下表： -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為； 當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為。 函數(shù)的圖像如圖所示。 課堂訓(xùn)練:求下列函數(shù)的極值 讓學(xué)生討論總結(jié)求可導(dǎo)函數(shù)的極值的基本步驟與方法： 一般地，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間有導(dǎo)數(shù)，可以用下面方法求它的極值： ① 確定函數(shù)的定義域； ② 求導(dǎo)數(shù)；③ 求方程=0的根，這些根也稱(chēng)為可能極值點(diǎn)； ④ 檢查在方程＝0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)。(最好通過(guò)列表法) 強(qiáng)調(diào):要想知道 x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)就必須判斷 f(x0)=0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 例題2（案例分析） 函數(shù) 在 x=1 時(shí)有極值10，則a，b的值為（C ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不對(duì) 略解:由題設(shè)條件得： 解之得 通過(guò)驗(yàn)證，都合要求，故應(yīng)選擇A 上述解法錯(cuò)誤，正確答案選C，注意代入檢驗(yàn) 注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 練習(xí): 庖丁解牛篇(感受高考） 1、（xx年天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（　A ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D． 4個(gè) 注意：數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別 2、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖所示.求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值. 答案 （Ⅰ）=1; （Ⅱ） 例3求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無(wú)極值 ↘ 極小值0 ↗ 無(wú)極值 ↗ ∴當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值且y極小值=0 五：回顧與小結(jié)： 1、極值的判定方法； 2、極值的求法 注意點(diǎn)： 1、f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 2、數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 3、要想知道 x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)就必須判斷 f(x0)=0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).