2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律； 3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題； 4.掌握向量垂直的條件. 【導(dǎo)入新課】 復(fù)習(xí)引入： 1．向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實(shí)數(shù)λ，使=λ. 2．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 3．平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若，，則，，. 若，，則 5．∥ ()的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點(diǎn)及λ P1， P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1， P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ， 使 =λ，λ叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況： λ>0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： 若點(diǎn)P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù)，且＝λ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱λ為點(diǎn)P分所成的比. 8. 點(diǎn)P的位置與λ的范圍的關(guān)系： ①當(dāng)λ＞０時，與同向共線，這時稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn). ②當(dāng)λ＜０()時，與反向共線，這時稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn). 9.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式： 在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)＝ａ，＝ｂ， 可得=. 10．力做的功：W = |F||s|cosq，q是F與s的夾角. 新授課階段 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 說明：（1）當(dāng)θ＝０時，ａ與ｂ同向； （2）當(dāng)θ＝π時，ａ與ｂ反向； （3）當(dāng)θ＝時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0≤q≤180 C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 （1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定. （2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替. （3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0. （4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右圖：ab = |a||b|cosb = |b||OA|，bc = |b||c|cosa = |b||OA| ab = bc 但a c (5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線. 3．“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為 |b|；當(dāng)q = 180時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq 2 a^b ab = 0 3 當(dāng)a與b同向時，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4 cosq = 5 |ab| ≤ |a||b| 例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求ab. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由. ①ａ0＝0；②0ａ＝０；③0－＝；④｜ａｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對任一非零ｂ有ａｂ≠０；⑥ａｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向量ａ，ｂ，с都有（ａｂ）с＝ａ（ｂс）；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量，則ａ２＝ｂ２. 解：上述8個命題中只有③⑧正確； 對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，應(yīng)有0ａ＝０；對于②：應(yīng)有０ａ＝0； 對于④：由數(shù)量積定義有｜ａｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜｜c(diǎn)osθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； 對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａｂ＝０； 對于⑥：由ａｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс. 則ａｂ＝（λс）ｂ＝λ（сｂ）＝λ（ｂс）， ∴（ａｂ）с＝λ（ｂс）с＝（ｂс）λс＝（ｂс）ａ 若ａ與с不共線，則(ａｂ)с≠（ｂс）ａ. 評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律. 例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60時，分別求ａｂ. 解：①當(dāng)ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０， ∴ａｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os0＝361＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180， ∴ａｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os180＝36（-1）＝－18； ②當(dāng)ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90， ∴ａｂ＝０； ③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60時，有 ａｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os60＝36＝9 評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0，180］，因此，當(dāng)ａ∥ｂ時，有0或180兩種可能. 課堂小結(jié) （略） 作業(yè) （略） 拓展提升 1.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則 （ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2. 設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.條件甲：；條件乙：點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.則甲是乙的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 3.已知與的夾角為，則以為鄰邊的平行 四邊形的較短的對角線長為 （ ） A. B. C. D. 4.把點(diǎn)按向量平移到點(diǎn)，此時點(diǎn)在的延長線上，且， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 5.把函數(shù)的圖象按向量平移,得到的圖象,且,， ,則 . 6.不共線向量，的夾角為小于的角，且，已知向量，求 的取值范圍. 7. 已知向量滿足，且，其中. （1）試用表示，并求出的最大值及此時與的夾角的值； （2）當(dāng)取得最大值時，求實(shí)數(shù)，使的值最小，并對這一結(jié)果作出幾何解釋. 8. 已知向量. （1）求及；； （2）求函數(shù)且的最小值. 參考答案 1 提示：設(shè)，則有且. 2 提示：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為. , ∴，∴甲是乙的充要條件. 3 提示：經(jīng)驗(yàn)證，知以為對角線時，其長度較短，. 4 提示：點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為. 5 提示：由函數(shù) 的圖象按向量平移,得到的圖象，可得；設(shè)，由和得：，解之得. 6 解：（其中為與的夾角）. ∵, ∴, ∴, ∴的取值范圍為. 7解：（1）. ∴,此時，. ∴，的最大值為，此時與的夾角的值為. （2）由題意，，故， ∴當(dāng)時，的值最小，此時，這表明當(dāng). 8解：（1）； . （2）, ∵, ∴是減函數(shù)， ①當(dāng)時，的最小值為； ②當(dāng)時，的最小值為. 綜上，當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為.