2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（4）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（4）教案 新人教A版必修1 導入新課　　　　　 思路1.復習初中常見的對應關系 1．對于任何一個實數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的點P和它對應． 2．對于坐標平面內(nèi)任何一個點A，都有唯一的有序實數(shù)對(x，y)和它對應． 3．對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應． 4．某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應． 5．函數(shù)的概念． 我們已經(jīng)知道，函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種對應就叫映射(板書課題)． 思路2.前面學習了函數(shù)的概念是：一般地，設A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應． (1)對于任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上都有唯一的點與之對應． (2)班級里的每一位同學在教室里都有唯一的座位與之對應． (3)對于任意的三角形，都有唯一確定的面積與之對應． 那么這些對應又有什么特點呢？ 這種對應稱為映射，引出課題． 推進新課　　　　　 ①給出以下對應關系： 圖13 這三個對應關系有什么共同特點？ ②像問題①中的對應我們稱為映射，請給出映射的定義？ ③“都有唯一”是什么意思？ ④函數(shù)與映射有什么關系？ 討論結果：①集合A，B均為非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素與之對應． ②一般地，設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射，記作“f：A→B”． 如果集合A中的元素x對應集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象． ③包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思，即是一對一或多對一． ④函數(shù)是特殊的映射，映射是函數(shù)的推廣． 例題 下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？ (1)A＝{P|P是數(shù)軸上的點}，B＝R，對應關系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應； (2)A＝{P|P是平面直角坐標系中的點}，B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應關系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應； (3)A＝{三角形}，B＝{x|x是圓}，對應關系f：每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓； (4)A＝{x|x是新華中學的班級}，B＝{x|x是新華中學的學生}，對應關系f：每一個班級都對應班里的學生． 活動：學生思考映射的定義．判斷一個對應是否是映射，要緊扣映射的定義． (1)中數(shù)軸上的點對應著唯一的實數(shù)； (2)中平面直角坐標系中的點對應著唯一的有序實數(shù)對； (3)中每一個三角形都有唯一的內(nèi)切圓； (4)中新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生． 解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射； (4)不是映射．新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生，是一對多，不符合映射的定義. 變式訓練 1．圖14(1)，(2)，(3)用箭頭所標明的A中元素與B中元素的對應法則，是不是映射？ 圖14 答案：(1)不是；(2)是；(3)是． 2．在圖15中的映射中，A中元素60對應的元素是什么？在A中的什么元素與B中元素對應？ 圖15 答案：A中元素60對應的元素是，在A中的元素45與B中元素對應. 1．下列對應是從集合S到T的映射的是(　　) A．S＝N，T＝{－1,1}，對應法則是(－1)n，n∈S B．S＝{0,1,4,9}，T＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，對應法則是開平方 C．S＝{0,1,2,5}，T＝{1，，}，對應法則是取倒數(shù) D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，對應法則是x→y＝ 解析：判斷映射的方法簡單地說應考慮A中的元素是否都可以受對應法則f的作用，作用的結果是否一定在B中，作用的結果是否唯一這三個方面．很明顯A符合定義；B是一對多的對應；C中集合S中的元素0沒有象；D中集合S中的元素1也無象． 答案：A 2．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，則下列對應關系中不能看作從M到P的映射的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 解析：選項C中，集合M中部分元素沒有象，其他均是映射． 答案：C 3．已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a與B中元素2a－1對應，則與B中元素17對應的A中元素是(　　) A．3 B．5 C．17 D．9 解析：利用對應法則轉化為解方程．由題意得2a－1＝17，解得a＝9. 答案：D 4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，則X與A的關系是________；Y與B的關系是________． 解析：根據(jù)映射的定義，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y?B. 答案：X＝A　Y?B 5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，則從M到P能建立不同映射的個數(shù)是________． 解析：集合M中有4個元素，集合P中有3個元素，則從M到P能建立34＝81個不同的映射． 答案：81 6．下列對應哪個是集合M到集合N的映射？哪個不是映射？為什么？ (1)設M＝{矩形}，N＝{實數(shù)}，對應法則f為矩形到它的面積的對應． (2)設M＝{實數(shù)}，N＝{正實數(shù)}，對應法則f為x→. (3)設M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，對應法則f為開方再乘10. 解：(1)是M到N的映射，因為它是多對一的對應． (2)不是映射，因為當x＝0時，集合N中沒有元素與之對應． (3)是映射，因為它是一對一的對應． 7．設集合A和B都是自然數(shù)集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，則在映射f下，A中的元素________對應B中的元素3.(　　) A．1 B．3 C．9 D．11 解析：對應法則為f：n→2n＋n，根據(jù)選項驗證2n＋n＝3，可得n＝1. 答案：A 8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x對應，求a及k的值． 分析：先從集合A和對應法則f入手，同時考慮集合中元素的互異性，可以分析出此映射必為一一映射，再由3→10，求得a值，進而求得k值． 解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x對應， ∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10. ∵a∈N， ∴由a2＋3a＝10，得a＝2. ∵k的象是a4， ∴3k＋1＝16，得k＝5. ∴a＝2，k＝5. 9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y<3，x∈N，y∈N}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，則這個對應是否為映射？是否為函數(shù)？請說明理由． 解：是映射，不是函數(shù)．由題意得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，顯然對于A中的每一個有序實數(shù)對，它們的和是0或1或2，則在B中都有唯一一個數(shù)與它對應，所以是映射，因為集合A不是數(shù)集而是點集，所以不是函數(shù)． 問題：集合M中有m個元素，集合N中有n個元素，則從M到N能建立多少個不同的映射？ 探究：當m＝1，n＝1時，從M到N能建立1＝11個不同的映射； 當m＝2，n＝1時，從M到N能建立1＝12個不同的映射； 當m＝3，n＝1時，從M到N能建立1＝13個不同的映射； 當m＝2，n＝2時，從M到N能建立4＝22個不同的映射； 當m＝2，n＝3時，從M到N能建立9＝32個不同的映射． 集合M中有m個元素，集合N中有n個元素，則從M到N能建立nm個不同的映射． 本節(jié)課學習了： (1)映射的對應是一種特殊的對應，元素之間的對應必須滿足“一對一或多對一”． (2)映射由三個部分組成：集合A，集合B及對應法則f，稱為映射的三要素． (3)映射中集合A，B中的元素可以為任意的． 課本本節(jié)練習4. 補充作業(yè)： 已知下列集合A到B的對應，請判斷哪些是A到B的映射，并說明理由． (1)A＝N，B＝Z，對應法則f為“取相反數(shù)”； (2)A＝{－1,0,2}，B＝{－1,0，}，對應法則：“取倒數(shù)”； (3)A＝{1,2,3,4,5}，B＝R，對應法則：“求平方根”； (4)A＝{0,1,2,4}，B＝{0,1,4,9,64}，對應法則f：a→b＝(a－1)2； (5)A＝N*，B＝{0,1}，對應法則：除以2所得的余數(shù)． 答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射． 本節(jié)教學設計的內(nèi)容拓展較深，在實際教學中根據(jù)學生實際選取例題和練習．本節(jié)重點為映射的概念，對于映射來說，只需要掌握概念即可，不要求拓展其內(nèi)容，以免加重學生的負擔，也偏離了課標要求和高考的方向． [備選例題] 【例1】 區(qū)間[0，m]在映射f：x→2x＋m所得的象集區(qū)間為[a，b]，若區(qū)間[a，b]的長度比區(qū)間[0，m]的長度大5，則m等于(　　) A．5 B．10 C．2.5 D．1 解析：函數(shù)f(x)＝2x＋m在區(qū)間[0，m]上的值域是[m,3m]， 則有[m,3m]＝[a，b]，則a＝m，b＝3m， 又區(qū)間[a，b]的長度比區(qū)間[0，m]的長度大5， 則有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5， 所以3m－m＝m＋5， 解得m＝5. 答案：A 【例2】 設x∈R，對于函數(shù)f(x)滿足條件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么對所有的x∈R，f(x2－1)＝________. 解析：(換元法)設x2＋1＝t， 則x2＝t－1， 則f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7， 即f(x)＝x2＋3x－7. 所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9. 答案：x4＋x2－9 [知識總結] 1．函數(shù)與映射的知識記憶口訣： 函數(shù)新概念，記準要素三；定義域值域，關系式相連； 函數(shù)表示法，記住也不難；圖象和列表，解析最常見； 對應變映射，只是變唯一；映射變函數(shù)，集合變數(shù)集． 2．映射到底是什么？怎樣理解映射的概念？ 剖析：對于映射這個概念，可以從以下幾點來理解：(1)映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的；(3)映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應，而這個與之對應的元素是唯一的，這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構成了映射的核心；(4)映射允許集合B中存在元素在A中沒有元素與其對應；(5)映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的對應元素，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”；(6)映射是特殊的對應，函數(shù)是特殊的映射． 3．函數(shù)與映射的關系 函數(shù)是特殊的映射，對于映射f：A→B，當兩個集合A、B均為非空數(shù)集時，則從A到B的映射就是函數(shù)，所以函數(shù)一定是映射，而映射不一定是函數(shù)．