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1、 牛 頓 、 萊 布 尼 茲 發(fā) 明 微 積 分 積 分 學 早 期 史w 從 微 積 分 成 為 一 門 學 科 來 說 ，是 在 17世 紀 ， 但 是 ， 積 分 的思 想 早 在 古 代 就 已 經(jīng) 產(chǎn) 生了 公 元 前 3世 紀 ， 古 希 臘的 數(shù) 學 家 、 力 學 家 阿 基 米 德（ 公 元 前 287前 212） 的 著 作 圓 的 測 量 和 論 球 與 圓柱 中 就 已 含 有 積 分 學 的 萌芽 ， 他 在 研 究 解 決 拋 物 線 下的 弓 形 面 積 、 球 和 球 冠 面 積 、螺 線 下 的 面 積 和 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 線的 體 積 的 問 題 中 就 隱
2、 含 著 近代 積 分 的 思 想 w 中 國 古 代 數(shù) 學 家 對 微 積分 也 作 出 了 重 大 的 貢 獻 例如 三 國 時 期 的 劉 徽 ， 他 對 積分 學 的 貢 獻 主 要 有 兩 點 ： 割 圓 術 及 求 體 積 問 題 的 設 想 劉 徽 w 萊 布 尼 茲 通 過 幾 何 上 求 曲 線 切 線 的 研 究得 到 一 般 的 微 分 理 論 ， 把 切 線 斜 率 看 成是 無 限 小 增 量 dy和 dx之 比 w 1675年 10月 29日 的 手 稿 中 ， 他 引 用 符號 “ ” 表 示 變 量 的 求 和 過 程 ， 并 看 到d和 是 互 逆 的 運
3、算 w 1676年 11月 ， 他 給 出 了 一 般 性 法 則 一 般 地 ,如 果 函 數(shù) y=f(x)在 某 個 區(qū) 間 I上 的 圖 象是 一 條 連 續(xù) 不 斷 的 曲 線 ,那 么 就 把 它 稱 為 區(qū) 間 I上的 連 續(xù) 函 數(shù) . 1.什 么 是 區(qū) 間 I上 的 連 續(xù) 函 數(shù) .a bo xy 2.什 么 叫 曲 邊 梯 形 ? 在 直 角 坐 標 系 中 ,我 們 把 由 直 線 , ,ax )( babx 和 曲 線 所 圍 成 的 圖 形 稱 為 曲 邊 梯 形 .)(xfy 0y O x y a b y=f (x)x=a x=b 怎 樣 求 這 樣 的 曲 邊
4、梯 形 的 面 積 呢 ?)(xfy O x y a b y=f (x)x=a x=b 三 國 時 期 的 數(shù) 學 家 劉 徽 的 割 圓 術“ 割 之 彌 細 ，所 失 彌 少 ， 割之 又 割 ， 以 至于 不 可 割 ， 則與 圓 周 合 體 而無 所 失 矣 ”劉 徽 當 邊 數(shù) n無 限 增 大 時 ， 正 n邊 形 面 積 無 限 逼 近 圓 的 面 積 y = f(x) ba x yO A1A A1.用 一 個 矩 形 的 面 積 A1近 似 代 替 曲 邊 梯 形 的 面 積 A，得 1.5.1 曲 邊 梯 形 的 面積 1.曲 邊 梯 形 ： 在 直 角 坐 標 系 中 ，
5、由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)，直 線 x=a、 x=b及 x軸 所 圍 成 的 圖 形 叫 做 曲 邊 梯 形 。O x y a b y=f (x)一 . 求 曲 邊 梯 形 的 面 積x=a x=b y = f(x) ba x yO A1A A 1.用 一 個 矩 形 的 面 積 A1近 似 代 替 曲 邊 梯 形 的 面 積 A， 得 A A1+ A2用 兩 個 矩 形 的 面 積 近 似 代 替 曲 邊 梯 形的 面 積 A， 得 y = f(x) ba x yO A1 A2 A A1+ A2+ A3+ A4用 四 個 矩 形 的 面 積 近 似 代 替 曲 邊 梯 形的 面 積 A
6、， 得 y = f(x)ba x yO A1 A2 A3 A4 y = f(x) ba x yO A A 1+ A2 + + An 將 曲 邊 梯 形 分 成 n個 小 曲 邊 梯 形 ， 并 用 小 矩 陣 形 的 面 積 代 替 小 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 于 是 曲 邊 梯 形 的 面 積 A近 似 為A1 Ai An 以 直 代 曲 ,無 限 逼 近 （ 1） 分 割 把 區(qū) 間 0， 1等 分 成 n個 小 區(qū) 間 ：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0 n1n1inix 每 個 區(qū) 間 的 長 度 為過 各 區(qū) 間 端 點 作 x軸 的 垂 線 ， 從 而 得
7、 到 n個 小曲 邊 梯 形 ， 他 們 的 面 積 分 別 記 作 .S,S,S,S ni21 n1 n2 nk nn xO y 2xy 例 1.求 拋 物 線 y=x2、 直 線 x=1和 x軸 所 圍 成 的曲 邊 梯 形 的 面 積 。 （ 2） 近 似 代 替 n1)n1i(x)n1i(fS 2i （ 3） 求 和 )1n(210n1 n1)n1-i(n1)n1-if( SSSSS 22223 n1i 2n1i n1i in21 (不 足 近 似 值 ) （ 4） 取 極 限1 1 1 1(1 )(2 )6 n n 31S .3S 所 以2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3
8、6n n nn 31 1 1 1 1(n 1)n(2n 1) (1 )(2 )n 6 6 n nS 當 分 割 的 份 數(shù) 無 限 多 ,即 n , x 0時 區(qū) 間 0， 1的 等 分 數(shù) n S的 近 似 值2 0.125 000 004 0.218 750 008 0.273 437 5016 0.302 734 5032 0.317 871 0964 0.325 561 52 128 0.329 437 26256 0.331 382 75512 0.332 357 411024 0.332 845 21 2048 0.333 089 23 nS我 們 還 可 以從 數(shù) 值 上 可以
9、看 出 這 一變 化 趨 勢（ 請 見 表 ） n1 n2 nk nn x y 2xy n n n 2ii 1 i 1 i 12 2 2 23 1 1S S f( ) ( )n n n n1 1 2 (n 1) n i i n (過 剩 近 似 值 ) n1 n2 nk nn x y 2xy 2 2 2 2331S 1 2 (n 1) n1 ( 1)(2 1) 1 1 1 1 (1 )(2 )n 6 6 3nn n n n n (過 剩 近 似 值 ) 小 結(jié) :求 由 連 續(xù) 曲 線 yf(x)對 應 的曲 邊 梯 形 面 積 的 方 法（ 1） 分 割 （ 2） 近 似 代 替 （ 4）
10、取 極 限 n（ 3） 求 和 1. 當 n很 大 時 ， 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的 值 ， 可 以 用 ( )近 似 代 替 A. B.C. D. 2)( xxf nini ,1C)1( nf )2( nf)( nif 0f練 習 2、 在 “ 近 似 代 替 ” 中 ， 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 上 的 近 似 值等 于 （ ）A.只 能 是 左 端 點 的 函 數(shù) 值B.只 能 是 右 端 點 的 函 數(shù) 值 C.可 以 是 該 區(qū) 間 內(nèi) 任 一 點 的 函 數(shù) 值D.以 上 答 案 均 不 正 確 )( ixf )( 1ixf ),)( 1 iiii xxf C 1, ii xx練 習
《曲邊梯形的面積》
