2019-2020年高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)課時(shí)撬分練4.4正余弦定理及解三角形文.DOC

2019-2020年高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)課時(shí)撬分練4.4正余弦定理及解三角形文 1.[xx武邑中學(xué)月考]在△ABC中，若a＝2b，面積記作S，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　) A．B>30 B．A＝2B C．c<b D．S≤b2 答案　D 解析　由三角形的面積公式知S＝absinC＝2bbsinC＝b2sinC，因?yàn)?<sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2，故選D. 2．[xx冀州中學(xué)期末]△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a，b，c成等比數(shù)列且c＝2a， ∴b2＝ac＝2a2， ∴b＝a.由余弦定理的推論可得cosB＝＝.故選A. 3．[xx棗強(qiáng)中學(xué)熱身]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，則角A的大小為(　　) A．60 B．30 C．150 D．45 答案　B 解析　由sinB＋cosB＝得1＋2sinBcosB＝2，則sin2B＝1，因?yàn)?<B<180，所以B＝45，又因?yàn)閍＝，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinA＝，又a<b，所以A<B＝45，所以A＝30. 4．[xx衡水中學(xué)一輪檢測(cè)]在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案　C 解析　解法一：因?yàn)閍＝2bcosC，所以由余弦定理得，a＝2b，整理得b2＝c2，則此三角形一定是等腰三角形． 解法二：因?yàn)閍＝2bcosC，由正弦定理得sinA＝2sinBcosC，又A＋B＋C＝π，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC得sin(B－C)＝0，又B、C∈(0，π)，所以B＝C. 5．[xx衡水二中周測(cè)]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數(shù)列，2a,2b,2c成等比數(shù)列，則cosAcosB＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知得2B＝A＋C，又A＋C＋B＝π，故B＝，又4b2＝4ac，則b2＝ac，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos＝ac，即(a－c)2＝0，故a＝c，所以△ABC是等邊三角形，則cosAcosB＝cos60cos60＝. 6．[xx棗強(qiáng)中學(xué)仿真]某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是km，那么x的值為(　　) A. B．2 C.或2 D．3 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x km，BC＝3 km，AC＝ km，∠ABC＝30， 由余弦定理，得()2＝x2＋32－2x3 cos30， 整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 7．[xx衡水二中月考]在不等邊△ABC(三邊均不相等)中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有＝，則角C的大小為________． 答案　 解析　依題意得acosA＝bcosB，從而sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，則2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC三邊均不相等，因此A＋B＝，C＝. 8. [xx武邑中學(xué)熱身]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝，a＝，若給定一個(gè)b的值使?jié)M足條件的三角形有且只有一個(gè)，則b的取值范圍為________． 答案　(0， ]∪{2} 解析　如圖1所示，當(dāng)a＝bsinA，即＝bsin，b＝2時(shí)，△ABC為直角三角形，只有一個(gè)解；如圖2所示，當(dāng)a≥b時(shí)，即0<b≤時(shí)，三角形有且只有一個(gè)．所以b的取值范圍為(0， ]∪{2}． 9．[xx衡水二中期中]已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，b＝6，cosA＝－. (1)求c； (2)求cos的值． 解　(1)在△ABC中，由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccosA，代入數(shù)據(jù)得48＝36＋c2－2c6，即c2＋4c－12＝0，(c＋6)(c－2)＝0，解得c＝2或c＝－6(舍)，∴c＝2. (2)由cosA＝－<0，得A為鈍角，且sinA＝. 在△ABC中，由正弦定理，得＝，則sinB＝＝＝，由于B為銳角，則cosB＝， cos2B＝1－2sin2B＝1－2＝－， sin2B＝2sinBcosB＝2＝， 所以cos＝(cos2B＋sin2B) ＝＝. 10. [xx棗強(qiáng)中學(xué)模擬]如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且cosB＝，cos∠ADC＝－. (1)求sin∠BAD的值； (2)求AC邊的長(zhǎng)． 解　(1)因?yàn)閏osB＝，所以sinB＝. 又cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝， 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝－＝. (2)在△ABD中，由＝得＝， 解得BD＝2. 故DC＝2，從而在△ADC中，由AC2＝AD2＋DC2－2ADDCcos∠ADC＝32＋22－232＝16，得AC＝4. 11. [xx衡水二中期末]在△ABC中，2sin2CcosC－sin3C＝(1－cosC)． (1)求角C的大??； (2)若AB＝2，且sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積． 解　(1)由2sin2CcosC－sin(2C＋C)＝(1－cosC)， 得sin2CcosC－cos2CsinC＝－cosC， 化簡(jiǎn)得sinC＝－cosC， 即sinC＋cosC＝， 2sin＝， 所以sin＝， 從而C＋＝，故C＝. (2)由sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A， 可得sinBcosA＝2sinAcosA. 所以cosA＝0或sinB＝2sinA. 當(dāng)cosA＝0時(shí)，A＝90，則b＝， S△ABC＝bcsinA＝21＝； 當(dāng)sinB＝2sinA時(shí)，由正弦定理得b＝2a. 由cosC＝＝＝， 可知a2＝. 所以S△ABC＝basinC＝2aa＝a2＝. 綜上可知S△ABC＝. 12．[xx冀州中學(xué)仿真]在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1)． (1)若λ＝時(shí)，證明△ABC為直角三角形； (2)若＝λ2，且c＝3，求λ的值． 解　(1)∵λ＝，∴a＋b＝c， 由正弦定理得sinA＋sinB＝sinC， ∵C＝，∴sinB＋sin＝， sinB＋cosB＋sinB＝， ∴sinB＋cosB＝， 則sin＝，從而B＋＝或B＋＝，B＝或B＝. 若B＝，則A＝，△ABC為直角三角形； 若B＝，△ABC亦為直角三角形． (2)若＝λ2，則ab＝λ2，∴ab＝λ2. 又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcosC， 即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9， 故9λ2－λ2＝9，得λ2＝4，又∵λ>1，即λ＝2. 能力組 13.[xx衡水二中模擬]已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且面積S△ABC＝(b2＋c2－a2)，則A＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因?yàn)镾△ABC＝bcsinA＝(b2＋c2－a2)，所以sinA＝＝cosA，故A＝. 14. [xx棗強(qiáng)中學(xué)期末]若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC(　　) A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形 答案　C 解析　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13， ∴a∶b∶c＝5∶11∶13， 故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得 cosC＝＝＝－<0， 又∵C∈(0，π)，∴C∈， ∴△ABC為鈍角三角形，故選C. 15．[xx衡水二中仿真]在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且2cos(B－C)＝4sinBsinC－1. (1)求A； (2)若a＝3，sin＝，求b. 解　(1)由2cos(B－C)＝4sinBsinC－1，得2(cosBcosC＋sinBsinC)－4sinBsinC＝－1，即2(cosBcosC－sinBsinC)＝－1. 從而2cos(B＋C)＝－1得cos(B＋C)＝－. 又A，B，C為△ABC的內(nèi)角， ∴B＋C＝π，故A＝. (2)由(1)知0<B<π，∴0<<，已知sin＝，得cos＝，∴sinB＝2sincos＝， 由正弦定理＝得＝，解得b＝. 16. [xx衡水二中熱身]風(fēng)景秀美的鳳凰湖畔有四棵高大的銀杏樹，記作A，B，P，Q，湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近．欲測(cè)量P，Q兩棵樹和A，P兩棵樹之間的距離，現(xiàn)可測(cè)得A，B兩點(diǎn)間的距離為100 m，∠PAB＝75，∠QAB＝45，∠PBA＝60，∠QBA＝90，如圖所示．則P，Q兩棵樹和A，P兩棵樹之間的距離各為多少？ 解　△PAB中，∠APB＝180－(75＋60)＝45， 由正弦定理得＝?AP＝50. △QAB中，∠ABQ＝90， ∴AQ＝100，∠PAQ＝75－45＝30， 由余弦定理得PQ2＝(50)2＋(100)2－250100cos30＝5000， ∴PQ＝＝50. 因此，P，Q兩棵樹之間的距離為50 m，A，P兩棵樹之間的距離為50 m.