2019-2020年高中數學 第二章《變化率與導數》教案 北師大版選修2.doc

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2019-2020年高中數學 第二章《變化率與導數》教案 北師大版選修2 1變化的快慢與變化率 第一課時 變化的快慢與變化率——平均變化率 一、教學目標：1、理解函數平均變化率的概念； 2、會求給定函數在某個區(qū)間上的平均變化率，并能根據函數的平均變化率判斷函數在某區(qū)間上變化的快慢。 二、教學重點：從變化率的角度重新認識平均速度的概念，知道函數平均變化率就是函數在某區(qū)間上變化的快慢的數量描述。 教學難點：對平均速度的數學意義的認識 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 (一)、客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現象用數學來加以描述了。由于函數概念的產生和運用的加深，也由于科學技術發(fā)展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之后產生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數學中的最大的一個創(chuàng)造。 從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數學的發(fā)展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。 研究函數，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數學分析。 本來從廣義上說，數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科，但是現在一般已習慣于把數學分析和微積分等同起來，數學分析成了微積分的同義詞，一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。 微分學的主要內容包括：極限理論、導數、微分等。 積分學的主要內容包括：定積分、不定積分等。 微積分是與應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學極大的推動了數學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現更有助于這些應用的不斷發(fā)展。 (二)、探析新課 問題1：物體從某一時刻開始運動，設s表示此物體經過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數，表示為s=s(t) 在運動的過程中測得了一些數據，如下表： t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 物體在0～2s和10～13s這兩段時間內，那一段時間運動得快？ 分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢。 在0～2s這段時間內，物體的平均速度為； 在10～13s這段時間內，物體的平均速度為。 顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快。 問題2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖所示： 比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？ 分析：根據圖像可以看出： 當時間x從0min到20min時，體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃，下降了0.5℃； 當時間x從20min到30min時，體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃，下降了0.5℃。 兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段時間短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快。 我們也可以比較在這兩段時間中，單位時間內體溫的平均變化量，于是當時間x從0min到20min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 當時間x從20min到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 這里出現了負號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降的越快，這里體溫從20min到30min這段時間下降的比0min到20min這段時間要快。 （三）、小結：1、對一般的函數y=f（x）來說，當自變量x從變?yōu)闀r，函數值從f（）變?yōu)?。平均變化率就是函數增量與自變量增量之比，函數在內的平均變化率為，如我們常用到年產量的平均變化率。2、函數的平均變化率與函數單調性之間的關系。 （四）、練習：P27頁練習1，2，3，4題；習題2-1中 1 （五）作業(yè)布置：1、已知曲線上兩點的橫坐標是和，求過兩點的直線斜率。 2、一物體按規(guī)律作變速直線運動，求該物體從2秒末到6秒末這段時間內的平 均速度。 五、教后反思： 第二課時 變化的快慢與變化率——瞬時變化率 一、教學目標：1、理解函數瞬時變化率的概念；2、會求給定函數在某點處的瞬時變化率，并能根據函數的瞬時變化率判斷函數在某點處變化的快慢。3、理解瞬時速度、線密度的物理意義，并能解決一些簡單的實際問題。 二、教學重點：知道瞬時變化率刻畫的是函數在某點處變化的快慢。 教學難點：對于平均速度與瞬時速度的關系的理解 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：函數平均變化率的概念 1、對一般的函數y=f（x）來說，當自變量x從變?yōu)闀r，函數值從f（）變?yōu)?。平均變化率就是函數增量與自變量增量之比，函數在內的平均變化率為，如我們常用到年產量的平均變化率。2、函數的平均變化率與函數單調性之間的關系。 （二）、探究新課 例1、一個小球從高空自由下落，其走過的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數關系為 其中，g為重力加速度，試估計小球在t=5s這個時刻的瞬時速度。 分析：當時間t從t0變到t1時，根據平均速度公式 ， 可以求出從5s到6s這段時間內小球的平均速度 （m/s）。 我們有時用它來近似表示t=5s時的瞬時速度。為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出5～5.1s這段時間內的平均速度 （m/s）。 用它來近似表示t=5s時的瞬時速度。 如果時間間隔進一步縮短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s這個時刻的瞬時速度。 解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應的平均速度得到下表： t0/s t1/s 時間的改變量 （Δt）/s 路程的改變量 （Δs ）/m 平均速度/（m/s） 5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5 … … … … 可以看出，當時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于49m/s，因此，可以認為小球在t0=5s時的瞬時速度為49m/s。從上面的分析和計算可以看出，瞬時速度為49m/s的物理意義是，如果小球保持這一刻的速度進行運動的話，每秒將要運動49m。 例2、如圖所示，一根質量分布不均勻的合金棒，長為10m。x（單位：m）表示OX這段棒長，y（單位：kg）表示OX這段棒的質量，它們滿足以下函數關系： 。 估計該合金棒在x=2m處的線密度。 分析：一段合金棒的質量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度。 解：由，我們可以計算出相應的平均線密度得到下表 x0/s x1/s 長度x的改變量 （Δx）/m 質量y的改變量 （Δs ）/kg 平均線密度 /（kg/m） 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2 … … … … 可以看出，當x1趨于x0=2m時，平均線密度趨于0.71kg/m，因此，可以認為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m。從上面的分析和計算可以看出，線密度為0.71kg/m的物理意義是，如果有1m長的這種線密度的合金棒，其質量將為0.71kg。 （三）、小結：對于一般的函數，在自變量x從x0變到x1的過程當中，若設Δx= x1－x０，，則函數的平均變化率是 ， 而當Δx趨于0時，平均變化率就趨于在點的瞬時變化率，瞬時變化率刻畫的是函數在一點處變化的快慢。 （四）、練習：課本練習2：1、2. （五）、作業(yè)：課本習題2-1：3、4、5 五、教后反思： 第三課時 瞬時速度與瞬時加速度 一、教學目標：了解平均速度的概念，掌握運動物體的瞬時速度瞬時加速度的概念及求法． 二、教學重點，難點：瞬時速度瞬時加速度的概念及求法． 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）．問題情境 1．情境：一質點運動方程為，（其中表示在時刻的位移，時間單位：秒，位移單位：米）；求質點在時刻處的切線的斜率．2．問題：在時刻處的切線的斜率有什么物理意義？ （二）、學生活動 解：，∴，當趨近于時，趨近于，質點在時刻處的切線的斜率為；它的物理意義時刻時的瞬時速度． （三）．建構數學 1． 平均速度： 物理學中，運動的物體的位移與所用時間比稱為平均速度． 若位移與所經過時間的規(guī)律是，設為時間改變量，從到這段時間內，物體的位移是，那么位移的改變量與時間改變量的比就是這段時間內物體的平均速度， 即：，平均變化率反映了物體在某一時間段內運動快慢程度的物理量。 2． 瞬時速度：物理學中我們學習過運動的物體在某一時刻的“速度”，即的瞬時速度，用表示，物體在時的瞬時速度（即時對于時間的瞬時變化率），運動物體在到這一段時間內的平均速度，當無限趨近于0時，趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在時的瞬時速度． 3． 瞬時加速度 物理學中我們學習過運動的物體在某一時刻的“加速度”，即的瞬時加速度，用表示，物體在時的瞬時加速度（即時速度對于時間的瞬時變化率），運動物體在到這一段時間內的平均加速度，當無限趨近于0時，有趨近于常數． （四）．知識運用：1．例題： 例1．設質點按函數所表示的規(guī)律運動，求質點在時刻時的瞬時速度（其中表示在時刻的位移，時間單位：秒，位移單位：米）． 解：從到這段時間內， 物體的位移是， 那么位移的改變量與時間改變量的比就是這段時間內物體的平均速度，即，當無限趨近于0時，有趨近于常數，∴質點在時刻時的瞬時速度為． 例2．跳水運動員從高的跳臺騰空到入水的過程中，不同的時刻有不同的速度，后運動員相對于水面的高度為，確定時運動員的速度 ． 解：從到這段時間內的平均變化率為， ，當無限趨近于0時，有趨近于常數，∴當時運動員的瞬時速度為． 例3．設一輛轎車在公路上做加速直線運動，假設時的速度為，求 時轎車的加速度． 解：在到的時間間隔內，轎車的平均加速度為， 當趨近于常數0時，有趨近于常數，所以時轎車的加速度為． 2．練習：課本P30頁第 1，2題． （五）．回顧小結：運動物體的瞬時速度的一般步驟是：①求位移增量與時間增量的比； ②判斷當趨近于常數0時，是否無限趨近于一常數；③求出這個常數． （六）、作業(yè)：習題2-1中 A組第3題 B組1、2 五、教后反思： 2 導數的概念及其幾何意義 第四課時 導數的概念 一、教學目標：1、知識與技能：通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數。 2、過程與方法：①通過動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法。 3、情感、態(tài)度與價值觀：通過運動的觀點體會導數的內涵，使學生掌握導數的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數學的興趣. 二、教學重點：了解導數的概念及求導數的方法。 教學難點：理解導數概念的本質內涵 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：設函數，當自變量x從x0變到x1時，函數值從變到，函數值y關于x的平均變化率為 當x1趨于x0，即Δx趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值（這個值稱為：當x1趨于x0時，平均變化率的極限），那么這個值就是函數在點x0的瞬時變化率。 （二）、探究新課 在數學上，稱瞬時變化率為函數在點x0的導數，通常用符號表示，記作 。 例1、一條水管中流過的水量y（單位：）是時間x（單位：s）的函數。求函數在x=2處的導數，并解釋它的實際意義。 解：當x從2變到2＋Δx時，函數值從32變到3（2＋Δx），函數值y關于x的平均變化率為 （/s）. 當x趨于2，即Δx趨于0時，，平均變化率趨于3，所以 （/s）. 導數表示當x=2s時水流的瞬時變化率，即水流的瞬時速度。也就是如果水管的中的水以x=2s時的瞬時速度流動的話，每經過1s，水管中流過的水量為3。 例2、一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作，生產的食品量y（單位：kg）是其工作時間x（單位：h）的函數。假設函數在x=1和x=3處的導數分別為和，試解釋它們的實際意義。 解：表示該工人工作1h的時候，其生產速度（即工作效率）為4kg/h，也就是說，如果保持這一生產速度，那么他每時可以生產4kg的食品。 表示該工人上班后工作3h的時候，，其生產速度為3.5kg/h，也就是說，如果保持這一生產速度，那么他每時可以生產出3.5kg/h的食品。 例3、服藥后，人體血液中藥物的質量濃度y（單位：μg/mL）是時間t（單位：min）的函數，假設函數在t=10和t=100處的導數分別為和，試解釋它們的實際意義。 解：表示服藥后10min時，血液中藥物的質量濃度上升的速度為1.5μg/（mLmin）。也就是說，如果保持這一速度，每經過1min，血液中藥物的質量濃度將上升1.5μg/（mLmin）。 表示服藥后100min時，血液中藥物的質量濃度下降的速度為－0.6μg/（mLmin）。也就是說，如果保持這一速度，每經過1min，血液中藥物的質量濃度將下降－0.6μg/（mLmin）。 (三)、小結：1、瞬時速度的變化率的概念；2、導數的概念；3、利用導數的定義求函數的導數的方法步驟： （四）、練習：課本練習：1、2. （五）、作業(yè)：課本習題2-2中A組2、3 補充題：1、求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數． 解： 2、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和 根據導數定義， 所以 同理可得: 在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升． 注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況． 五、教后反思： 第五課時 導數的幾何意義（一） 一、教學目標： 1、通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義； 2、理解曲線在一點的切線的概念； 3、會求簡單函數在某點處的切線方程。 二、教學重點：了解導數的幾何意義 教學難點：求簡單函數在某點出的切線方程 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：導數的概念及求法。 （二）、探究新課 設函數在[x0，x0＋Δx]的平均變化率為，如右圖所示，它是過A（x0，）和B（x0＋Δx，）兩點的直線的斜率。這條直線稱為曲線在點A處的一條割線。 如右圖所示，設函數的圖像是一條光滑的曲線，從圖像上可以看出：當Δx取不同的值時，可以得到不同的割線；當Δx趨于0時，點B將沿著曲線趨于點A，割線AB將繞點A轉動最后趨于直線l。直線l和曲線在點A處“相切” ，稱直線l為曲線在點A處的切線。該切線的斜率就是函數在x0處的導數。 函數在x0處的導數，是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。函數在x0處切線的斜率反映了導數的幾何意義。 1、導數的幾何意義： 函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率， 即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟: ①求出P點的坐標; ②求出函數在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率； ③利用點斜式求切線方程. 2、導函數： 由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時, 是一個確定的數，那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.記作：或， 即: 注：在不致發(fā)生混淆時，導函數也簡稱導數． 3、函數在點處的導數、導函數、導數 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 （1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。 (2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的， 就是函數f(x)的導函數 (3）函數在點處的導數就是導函數在處的函數值，這也是 求函數在點處的導數的方法之一。 例1、已知函數， x0＝－2。 （1）分別對Δx=2，1，0.5求在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率，并畫出過點（x0，）的相應割線； （2）求函數在x0＝－2處的導數，并畫出曲線在點（－2，4）處的切線。 解：（1）Δx=2，1，0.5時，區(qū)間[x0，x0＋Δx]相應為[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。在這些區(qū)間上的平均變化率分別為 ， ， . 其相應割線如右圖所示，分別是過點（-2，4）和點（0，0）的直線l1，過點（-2，4）和點（-1，1）的直線l2，過點（-2，4）和點（-1.5，2.25）的直線l3. （2）在區(qū)間[-2，-2＋Δx]上的平均變化率為 . 令Δx趨于0，知函數在x0＝－2處的導數為-4。 曲線在點（-2，4）處的切線為l，如右圖所示。 例2、求函數在x=1處的切線方程。 解：先求在x=1處的導數： 令Δx趨于0，知函數在x=1處的導數為。 這樣，函數在點（1，）=(1，2)處的切線斜率為6.即該切線經過點（1，2），斜率為6. 因此切線方程為 y-2=6(x-1). 即 y=6x-4. 切線如圖所示。 （三）、小結：函數在x0處的導數，是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。函數在x0處切線的斜率反映了導數的幾何意義。 （四）、練習：課本練習：1、2. （五）、作業(yè)：課本習題2-2中A組4、5 五、教后反思： 第六課時 導數的幾何意義（二） 一、教學目標：掌握切線斜率由割線斜率的無限逼近而得，掌握切線斜率的求法． 二、教學重點，難點：（1）能體會曲線上一點附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）會求曲線上一點處的切線斜率． 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、問題情境 1．情境：設是曲線上的一點，將點附近的曲線放大、再放大，則點附近將逼近一條確定 的直線． 2．問題：怎樣找到在曲線上的一點處最逼曲線的直線呢？ （二）、學生活動 如上圖直線為經過曲線上一點的兩條直線． （1）判斷哪一條直線在點附近更加逼近曲線． （2）在點附近能作出一條比更加逼近曲線 的直線嗎？ （3）在點附近能作出一條比更加逼近曲線的直線嗎？ （三）、建構數學 1．割線及其斜率：連結曲線上的兩點的直線叫曲線的割線， 設曲線上的一點，過點的一條割線交曲線于另一點，則割線的斜率為 ． 2． 切線的定義：隨著點沿著曲線向點運動，割線在點附近越來越逼近曲線。當點無限逼近點時，直線最終就成為在點處最逼近曲線的直線，這條直線也稱為曲線在點處的切線； 3． 切線的斜率：當點沿著曲線向點運動，并無限靠近點時，割線逼近點處的切線，從而割線的斜率逼近切線的斜率，即當無限趨近于時，無限趨近于點處的切線的斜率． （四）、數學運用 1．例題： 例1．已知曲線， （1）判斷曲線在點處是否有切線，如果有，求切線的斜率，然后寫出切線的方程． （2）求曲線在處的切線斜率。 分析：（1）若是曲線上點附近的一點，當沿著曲線無限接近點時，割線的斜率是否無限接近于一個常數．若有，則這個常數是曲線在點處的切線的斜率；（2）為求得過點的切線斜率，我們從經過點的任意一點直線（割線）入手。 解：（1）在曲線上點附近的取一點，設點的橫坐標為， 則函數的增量為， ∴割線的斜率為， ∴當無限趨近于時，無限趨近于常數2， ∴曲線在點處有切線，且切線的斜率為， ∴所求切線方程是，即． （2）設，，則割線的斜率為 當無限趨近于時，無限趨近于常數4，從而曲線在點處切線的斜率為。 例2．已知，求曲線在處的切線的斜率． 分析：為了求過點的切線的斜率，要從經過點的任意一條割線入手． 解：設，，則割線的斜率： ． 當無限趨近于時，無限趨近于常數1，∴曲線在點處有切線，且切線的斜率為． 例3．已知曲線方程，求曲線在處的切線方程． 解：設是點附近的一點， ． 當無限趨近于時，無限趨近于常數1，∴曲線在點處有切線，且切線的斜率為．所求直線方程：． 2．練習：練習 第 1，2，3題；習題2-2A組中 第 3題． （五）．回顧小結：求切線斜率一般步驟是：①求函數增量與自變量增量的比；②判斷當無限趨近于時，是否無限趨近于一常數；③求出這個常數． （六）．課外作業(yè)：1、補充：判斷曲線在點處是否有切線？如果有，求出切線的方程． 2、習題2-2中B組 1、2 五、教后反思： 第七課時 導數的幾何意義習題課 一、教學目標：會利用導數的幾何意義求曲線上某點處的切線方程。 二、教學重點：曲線上一點處的切線斜率的求法 教學難點：理解導數的幾何意義 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：導數的幾何意義：函數在x0處的導數就是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。 （二）、探究新課 例1、在曲線上求一點P使得曲線在該點處的切線滿足下列條件： （1）平行于直線y＝x＋1； （2）垂直于直線2x－16y＋1＝0； （3）傾斜角為135。 解：設點坐標為（，），則 ∴當Δx趨于0時，。 （1）∵切線與直線y＝x＋1平行。 ∴，即， ∴，。 即P（―2，1）。 （2）∵切線與直線2x－16y＋1＝0垂直， ∴，即， ∴，。 即P（―1，4）。 （3）∵切線傾斜角為135， ∴，即， ∴，。 即P（2，1）。 例2、求曲線過（1，1）點的切線的斜率。 解：設過（1，1）點的切線與相切與點，則 當Δx趨于0時， ， 由導數的幾何意義可知，曲線在點P處的切線的斜率為 ① 又過（1，1）點的切線的斜率 ② ∴由①②得：解得：或，∴或， ∴曲線過（1，1）點的切線的斜率為0或。 例3、如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數 ，根據圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況． 解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況． （1） 當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降． （2） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數在附近單調遞減． （3） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數在附近單調遞減． 從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢． （三）、小結：利用導數的幾何意義求曲線在處切線方程的步驟：（1）已知曲線的切點①求出函數在點處的導數；②根據直線的點斜式方程，得切線方程為。（2）過曲線外的點①設切點為，求出切點坐標；②求出函數在點處的導數；③根據直線的點斜式方程，得切線方程為。 （四）、練習：練習冊：7、8． （五）、作業(yè)：練習冊：5、6、9、10 五、教后反思： 3 計算導數 第八課時 計算導數（一） 一、教學目標： 1、能根據導數的定義求簡單函數的導數，掌握計算一般函數在處的導數的步驟； 2、理解導函數的概念，并能用它們求簡單函數的導數。 二、教學重點：根據導數的定義計算一般函數在處的導數； 教學難點：導數的定義運用 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）復習導入新課 注 意 那么，如何利用導數的定義求函數的導數？從而導入新課。 （二）、探析新課 計算函數在處的導數的步驟如下： （1）通過自變量在處的Δx，確定函數在處的改變量：； （2）確定函數在處的平均變化率：； （3）當Δx趨于0時，得到導數。 例1、求函數在下列各點的導數 （1）； （2）； （3）。 解：（1）∵. ∴。 ∴當Δx趨于0時，得到導數。 （2）由（1）可知當時有：。 （3）由（1）可知當時有：。 一般地：如果一個函數在區(qū)間[a，b]上的每一點x處都有導數，導數值記為： 則是關于x的函數，稱為的導函數，通常也簡稱為導數。 例2、求的導函數，并利用導函數求，，。 解：∵. ∴。 ∴當Δx趨于0時，得到導函數。 分別將，，代入，可得 ，，。 （二）、小結：我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數，如何求它的導數呢？ 由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，利用導數的定義計算函數在處的導數的步驟如下： （1）通過自變量在處的Δx，確定函數在處的改變量：； （2）確定函數在處的平均變化率：； （3）當Δx趨于0時，得到導數 （三）、練習：課本練習：1、2. （四）、作業(yè)：課本習題2-3：A組1、2、4 （五）、課外練習：求函數的導數 因為 所以 五、教后反思： 第九課時 計算導數（二） 一、教學目標：掌握初等函數的求導公式，并能熟練運用。 二、教學重難點：用定義推導常見函數的導數公式． 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習 1、導數的定義；2、導數的幾何意義；3、導函數的定義；4、求函數的導數的流程圖。 （1）求函數的改變量 （2）求平均變化率 （3）取極限，得導數＝ 本節(jié)課我們將學習常見函數的導數。首先我們來求下面幾個函數的導數。 （1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3 問題：，，呢？ 問題：從對上面幾個冪函數求導，我們能發(fā)現有什么規(guī)律嗎？ （二）、新課探析 1、基本初等函數的求導公式： ⑴ (k,b為常數) ⑵ (C為常數) ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ 由⑶~⑹你能發(fā)現什么規(guī)律? ⑻ （為常數） ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ 從上面這一組公式來看，我們只要掌握冪函數、指對數函數、正余弦函數的求導就可以了。 2、例題探析 例1、求下列函數導數。 （1）?。?）　?。?） （4）　（5）y=sin(+x) (6) y=sin （7）y=cos(2π－x)　 （8）y= 例2、已知點P在函數y=cosx上，（0≤x≤2π），在P處的切線斜率大于0，求點P的橫坐標的取值范圍。 例3、若直線為函數圖象的切線,求b的值和切點坐標. 變式1、求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程. 總結切線問題：找切點 求導數 得斜率 變式2、求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程 變式3、求曲線y=x3過點(1,1)的切線方程 變式4、已知直線,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短. （三）、課堂小結：（1）基本初等函數公式的求導公式（2）公式的應用 導數公式表 函數 導函數 函數 導函數 （c是常數） （α是常數） 特別地 特別地 （四）、課堂練習：假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數關系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？ 解：根據基本初等函數導數公式表，有 所以（元/年） 因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲。 （五）、作業(yè)布置：見練習冊P34頁3、4、6、7 五、教學反思： 4 導數的四則運算法則 第九課時 導數的加法與減法法則 一、教學目標：1、了解兩個函數的和、差的求導公式；2、會運用上述公式，求含有和、差綜合運算的函數的導數；3、能運用導數的幾何意義，求過曲線上一點的切線。 二、教學重點：函數和、差導數公式的應用 教學難點：函數和、差導數公式的應用 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：導函數的概念和導數公式表。 1.導數的定義：設函數在處附近有定義，如果時，與的比（也叫函數的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函數在處的導數，記作，即 2. 導數的幾何意義：是曲線上點（）處的切線的斜率因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為 3. 導函數(導數):如果函數在開區(qū)間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數, 稱這個函數為函數在開區(qū)間內的導函數，簡稱導數， 4. 求函數的導數的一般方法： （1）求函數的改變量（2）求平均變化率 （3）取極限，得導數＝ 5. 常見函數的導數公式：； （二）、探析新課 兩個函數和（差）的導數等于這兩個函數導數的和（差），即 證明：令， ， ∴ ， 即　?。? 例1：求下列函數的導數： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）。 （2）。 （3）。 例2：求曲線上點（1，0）處的切線方程。 解：。 將代入導函數得 。 即曲線上點（1，0）處的切線斜率為4，從而其切線方程為 ， 即。 (三)、練習：課本練習：1、2. 補充題：1、求y＝x3＋sinx的導數．解：y＝(x3)＋(sinx) ＝3x2＋cosx． 2、求y＝x4－x2－x＋3的導數．解：y＝4x3 －2x－1． （四）課堂小結：本課要求：1、了解兩個函數的和、差的求導公式；2、會運用上述公式，求含有和、差綜合運算的函數的導數；3、能運用導數的幾何意義，求過曲線上一點的切線。4、法則：兩個函數和（差）的導數等于這兩個函數導數的和（差），即 （五）、作業(yè)：課本習題2-4：A組2、3 B組2 五、教后反思： 第十課時 導數的乘法與除法法則 一、教學目標：1、了解兩個函數的積、商的求導公式；2、會運用上述公式，求含有積、商綜合運算的函數的導數；3、能運用導數的幾何意義，求過曲線上一點的切線。 二、教學重點：函數積、商導數公式的應用 教學難點：函數積、商導數公式 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：兩個函數的和、差的求導公式 1.導數的定義：設函數在處附近有定義，如果時，與的比（也叫函數的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函數在處的導數，記作，即 2. 導數的幾何意義：是曲線上點（）處的切線的斜率因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為 3. 導函數(導數):如果函數在開區(qū)間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數, 稱這個函數為函數在開區(qū)間內的導函數，簡稱導數， 4. 求函數的導數的一般方法： （1）求函數的改變量（2）求平均變化率 （3）取極限，得導數＝ 5. 常見函數的導數公式：； 6. 兩個函數和（差）的導數等于這兩個函數導數的和（差），即 （二）、探究新課 設函數在處的導數為，。我們來求在處的導數。 令，由于 知在處的導數值為。 因此的導數為。 一般地，若兩個函數和的導數分別是和，我們有 特別地，當時，有 例1：求下列函數的導數： （1）； （2）； （3）。 解：（1）； （2）； （3）。 例2：求下列函數的導數： （1）； （2）。 解：（1）； （2）。 （三）、練習：課本練習1. （四）、課堂小結：1、了解兩個函數的積、商的求導公式；2、會運用上述公式，求含有積、商綜合運算的函數的導數；3、能運用導數的幾何意義，求過曲線上一點的切線。4、法則：一般地，若兩個函數和的導數分別是和，我們有 特別地，當時，有 （五）、作業(yè)：課本習題2-4：A組4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5 五、教后反思： 第十一課時 2.4.3導數的乘法與除法法則 一、教學目標： 1、會運用兩個函數的和、差、積、商的求導公式求含有積、商綜合運算的函數的導數； 2、能運用導數的幾何意義，求過曲線上一點的切線。 二、教學重點：兩個函數的和、差、積、商的求導公式的應用 教學難點：函數積、商導數公式 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：兩個函數的和、差、積、商的求導公式 1、兩個函數和（差）的導數等于這兩個函數導數的和（差），即 2、若兩個函數和的導數分別是和，我們有 特別地，當時，有 （二）、探究新課 例1：求下列函數的導數： （1）； （2）。 解：（1）解一： 解二： 。 （2）解一： 。 解二： 。 例2．是拋物線上兩點，在拋物線上與間的求一點，使面積最大． 解：∵，∴到直線的距離最大時，面積最大， 即過點的切線平行于直線時面積最大，設， ∵，∴過點的切線的斜率，，∴． 例3、求曲線過點（1，0）的切線方程。 解： 。 將x=1代入，得所求切線的斜率。 曲線過點（1，0）的切線方程為。 例4．一質點運動方程，若速度最大值為，且對任意的，在與時速度相同，求的值． 解：，， 又，∴對恒成立，∴， ∵，∴． （三）．回顧小結：1．函數導數的幾何意義的運用；2．求導法則的運用． （四）、練習：課本練習2：1、2. （五）、作業(yè)：課本習題2-4：A組4（4）、（7）、（8）， B組1 五、教后反思： 第十二課時 簡單復合函數的求導法則 一、教學目標：1、了解簡單復合函數的求導法則；2、會運用上述法則，求簡單復合函數的導數。 二、教學重點：簡單復合函數的求導法則的應用 教學難點：簡單復合函數的求導法則的應用 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：兩個函數的和、差、積、商的求導公式。 1. 常見函數的導數公式： ；；； 2.法則1 ?。? 法則2 , 法則3 （二）、引入新課 海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，油膜的面積S(單位：m2)是油膜半徑r(單位：m)的函數：。 油膜的半徑r隨著時間t（單位：s）的增加而擴大，假設r關于t的函數為。 油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率是多少？ 分析：由題意可得S關于t的新的函數：。 油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率就是函數的導函數。 ∵ ， ∴ 。 又 ， ， 可以觀察到 ， 即 。 一般地，對于兩個函數和，給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數，我們稱這個函數為函數和的復合函數，記作。其中u為中間變量。 復合函數的導數為： (表示y對x的導數) 復合函數的求導法則 復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數 復合函數求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代． 例1、試說明下列函數是怎樣復合而成的？ ⑴； ⑵；⑶； ⑷． 解：⑴函數由函數和復合而成； ⑵函數由函數和復合而成； ⑶函數由函數和復合而成； ⑷函數由函數、和復合而成． 說明：討論復合函數的構成時，“內層”、“外層”函數一般應是基本初等函數，如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等． 例2、求函數的導數。 解：引入中間變量，則函數是由函數與 復合而成的。 根據復合函數求導法則可得： 例3、求函數的導數。 解：引入中間變量，則函數是由函數與 復合而成的。 根據復合函數求導法則可得： 注意：在利用復合函數的求導法則求導數后，要把中間變量換成自變量的函數.有時復合函數可以由幾個基本初等函數組成，所以在求復合函數的導數時，先要弄清復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內逐層求導. 例4、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）。關于時間t（單位：s）的函數為，求函數在t=3時的導數，并解釋它的實際意義。 解：函數是由函數與復合而成的，其中x是中間變量。 ∴。 將t=3代入得： （cm/s）。 它表示當t=3時，水面高度下降的速度為 cm/s。 （三）、小結 ：⑴復合函數的求導，要注意分析復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數分解成為較簡單的函數，然后再用復合函數的求導法則求導；⑵復合函數求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代 （四）、練習：課本練習. （五）、作業(yè)：課本習題2-5： 2、3、5 五、教后反思： 第十三課時 平均變化率與導數小結復習 一、教學目標：1、認識到平均變化率是刻畫物體平均變化的快慢的量，瞬時變化率是刻畫物體在一個瞬間的變化快慢的量； 2、理解導數概念的實際背景和幾何意義，并能用導數定義計算簡單的冪函數的導數。 3、利用導數公式表和運算法則計算基本初等函數的導數，并能解決簡單的求曲線的切線的問題。 二、教學重點：導數概念的理解和利用導數公式表和導數運算法則進行簡單函數的導數運算 教學難點：利用極限的語言刻畫導數概念和討論導數的運算法則 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：導數概念的實際背景和幾何意義，導數公式表和運算法則。 (二)、探究新課 例1、求下列函數的導數： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）∵， ∴。 （2）∵∴ （3）∵， 又∵，∴，∴ ∴。 （4） 例2、已知曲線C1：與曲線C2：，直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程。 解：設l與C1相切于點，l與C2相切于點，直線l的斜率為k。 C1：，，， C2：，，，。 由斜率公式得 ，解得： 或。 當時，，l的方程為；當時，，l的方程為。 例3、已知在處的導數等于0，且，求a，b，c的值。 解：方法一：是方程的根，即的兩根， ∴ 又，∴　　　?、塾散佗冖鄣?。 方法二：，由，， 得，∴。 （三）、小結：1、認識到平均變化率是刻畫物體平均變化的快慢的量，瞬時變化率是刻畫物體在一個瞬間的變化快慢的量； 2、理解導數概念的實際背景和幾何意義，并能用導數定義計算簡單的冪函數的導數。 3、利用導數公式表和運算法則計算基本初等函數的導數，并能解決簡單的求曲線的切線的問題。 （四）、練習：課本復習題：A組1、2、3、4. （五）、作業(yè)：課本復習題：A組 5； B組2 五、教后反思：