2019-2020年高中數(shù)學第二冊(上)點到直線的距離.doc

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2019-2020年高中數(shù)學第二冊(上)點到直線的距離 一、教材與學情分析 1．教材分析 ⑴ 教學內(nèi)容 《點到直線的距離》是全日制普通高級中學教科書（必修人民教育出版社）第二冊（上），“7．3兩條直線的位置關(guān)系”的第四節(jié)課，主要內(nèi)容是點到直線的距離公式的推導過程和公式應用． ⑵ 地位與作用 本節(jié)對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計算，其學習平臺是學生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識．對“點到直線的距離”的研究，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進一步學習奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用． 2．學情分析 高二年級學生已掌握了三角函數(shù)、平面向量等有關(guān)知識，具備了一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力．我班學生基礎(chǔ)知識較扎實、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高． 二、教學目標 依據(jù)新課程標準的理念和學生情況，制定如下教學目標： 1． 知識技能 ⑴ 理解點到直線的距離公式的推導過程； ⑵ 掌握點到直線的距離公式； ⑶ 掌握點到直線的距離公式的應用． 2． 數(shù)學思考 ⑴ 通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，滲透算法的思想； ⑵ 通過自學教材上利用直角三角形的面積公式的證明過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力； ⑶ 通過靈活應用公式的過程，提高學生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力． 3． 解決問題 ⑴ 通過問題獲得數(shù)學知識，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—解決問題”的過程； ⑵由探索點到直線的距離，推廣到探索點到直線的距離的過程，使學生體會從特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學研究方法． 4． 情感態(tài)度 結(jié)合現(xiàn)實模型，將教材知識和實際生活聯(lián)系起來，使學生感受數(shù)學的實用性，有效激發(fā)學生的學習興趣． 　5． 教學重點 ⑴ 點到直線的距離公式的推導思路分析； ⑵ 點到直線的距離公式的應用． 6． 教學難點 點到直線的距離公式的推導思路和算法分析． 三、 教學媒體 使用多媒體教學． 四、設(shè)計思路 1．依據(jù)現(xiàn)代幾何教育理念，本課的設(shè)計思路：直觀感知（圖片欣賞）→操作確認（學生作圖）→推理論證（三種方法推導公式）→度量計算（例題練習）； 2．根據(jù)高二年級學生的學習狀況和認知特點，本課在設(shè)計采用了由特殊到一般、從具體到抽象的方法，利用類比歸納的思想，整理出證明點到直線的距離公式的三種不同算法思路，從而突破教學難點； 3．由于平面向量是一種重要的運算工具，根據(jù)我校學生思維能力較強的特點，在教材提供的兩種證明方法的基礎(chǔ)上，補充了利用向量數(shù)量積的方法證明點到直線的距離公式； 4．教學中設(shè)計的思維框圖反映了算法思想，有利于將問題進行條理化處理，讓學生形成識別模式． 五、教學過程 教學 環(huán)節(jié) 教 師 活 動 學 生 活 動 活 動 說 明 新課引入 創(chuàng)設(shè)情境：以學生熟知的生活圖片欣賞和一個具體實例：當火車在高速行駛時，如果旅客離鐵軌中心的距離小于時，就可能被吸入車輪下發(fā)生危險．讓學生直觀感受幾何要素——“點到直線的距離”，引發(fā)學習好奇心和研究興趣． 現(xiàn)實模型： ①地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離 （圖片欣賞） ②生活實例 （flash動畫演示） 模 型 直 觀 探 索 思 考 探 索 思 考 探 索 思 考 回顧舊知：在初中，“點到直線的距離”的定義是什么？ 1． 點到直線的距離公式的推導過程 （由特殊推廣到一般、從具體推廣到抽象） 問題1 如何求點到直線的距離？ 教師：請同學們作出圖象后，思考有哪些計算方法，結(jié)果是什么？ 方法①　利用三角函數(shù) 解：過點作的垂線，垂足為 教師：由于點和直線的位置比較特殊，直角三角形較為明顯，并且出現(xiàn)了特殊角，所以可以利用三角函數(shù)來解決問題．但如果直線位置不具特殊性，三角運算將較為繁雜，故此法具有一定的局限性． 方法②　利用定義 解：過點作的垂線，設(shè)垂足為 方法③　利用函數(shù)的思想 解：設(shè)直線上的點，則 當時，取得等號，即點 教師：我們可將求點到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，再通過二次函數(shù)求最小值的方法解決本題． 強調(diào)：⑴點在直線上，故滿足直線方程； ⑵當?shù)忍柍闪r，指明此時點的坐標，并與方法②得到的點的坐標進行比較． 方法④　利用直角三角形的面積公式 教師：由于，所以我們還可以想到什么方法來計算呢？ 教師：應該如何構(gòu)造三角形呢？ 如何添作輔助線是學生的一個思維難點，教師要強調(diào)：由垂直條件可以聯(lián)想到三角形的高或直角三角形等知識，從而得到輔助線的添加方式． 解：過點作的垂線，交點為點 問題2如何求點到直線的距離？ （類比問題1的四種解法，讓學生獨立思考問題2．課堂上，只要求學生說明解題思路，而不要求解題過程．） 探 索 思 考 問題3 如何求點到直線的距離（）？ 教師：你能否類比問題1、2解決這個問題？ 教師：如果通過定義來計算，你的思路是什么？ 教師：對于的特殊情況，你又如何處理呢？ 方法① 利用定義的算法思路 得到點到的距離 確定直線的斜率 求過點垂直于的直線的方程 求與垂直的直線的斜率 求與的交點 求點與點的距離 方法② 利用直角三角形的面積公式的算法思路 教師：如果類比問題1、2，通過面積構(gòu)造法來計算，你應該如何添作輔助線？解題思路是什么？ 探 索 思 考 教師：根據(jù)得到的算法思路，請同學們自學教材的推導方法． 方法③ 利用平面向量的算法思路 教師：直線的斜率是什么？ 教師：若向量，你能表達的一個坐標嗎？ 教師：設(shè)點是直線上任意一點，則的坐標是多少？ 教師：設(shè)的夾角為，則為多少？ 教師：的幾何意義是什么？ 教師：結(jié)合圖象，你能否表示出？ 探 索 思 考 問 題 解 決 2．點到直線的距離公式 點到直線的距離（其中） 教師：你能否利用點到直線的距離公式解決問題1和問題2？并比較計算結(jié)果． 3．點到直線的距離公式的應用 例1 求點到下列直線的距離： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 知 識 運 用 分析：⑴ 可能會有學生在代入公式計算時，忘掉絕對值符號．教師要給予糾正，強調(diào)距離是一個非負數(shù)． 也可能會有學生，先求出過點作直線的垂線，再求交點的坐標，最后求 教師說明：實際上，這種方法是重新推導了公式，應該直接運用公式計算． ⑵ 教材上的解法是結(jié)合圖形直接得到點到直線的距離，也可能會有學生是直接代入公式計算，教師指出對于或的特殊情況，一般結(jié)合圖形直接得到結(jié)論． ⑶ 部分學生可能會對代入公式后計算得0這一結(jié)果感到困惑，教師要引導學生思考此時點與直線的位置關(guān)系，指出當點落在直線上時公式仍然成立． ⑷ 在補充的問題⑷中所給出的直線方程不是一般式，所以在代入公式計算前，學生必須將直線方程化為一般式，以便確定系數(shù)，從而達到強調(diào)公式運用前提的目的． 教師：使用點到直線的距離公式的前提條件是把直線的方程化成一般式方程，如果給出的直線方程不是一般式方程，應先將方程化成一般式，以便確定系數(shù)的值，這一點對于直線方程中含參數(shù)的問題尤為重要． 例2 ⑴已知點到直線的距離為，求的值； ⑵已知點到直線的距離為，求的值． 教師：如何求實數(shù)的值？ 解：⑴ 知 識 運 用 ⑵ 教師：這兩問直線方程中參數(shù)的幾何意義是什么？ 教師：兩個小問的幾何意義是什么？ （教師利用幾何畫板進行數(shù)學實驗） 例3 求平行線和 的距離． 教師：這兩條平行直線間的距離是否是固定的？ 教師：如何求這兩條平行直線間的距離？ 教師：可以選擇哪個點？ 解：在直線上任取一點，例如則到直線的距離就是兩平行線間的距離．因此 教師：是否可以在直線上取一般的點來求距離？ （引出教材的習題15，根據(jù)課堂剩余時間，此題作為機動練習．） 學生：過點作的垂線，垂足為，垂線段的長度就是點到直線的距離． 點與直線上所有點的連線中，垂線段最短． 問題1 學生作圖后，結(jié)合圖象，分組討論怎樣計算． 方法① 利用三角函數(shù) 學生：由于點和直線的位置很特殊，可以利用三角函數(shù)來解決． 方法② 利用定義 （由于前面復習了點到直線的距離的定義，所以學生容易想到利用定義解決問題） 學生：利用定義解決問題． 方法③ 利用函數(shù)的思想 （在前面復習中強調(diào)了垂線段最短，所以可以引導學生，利用二次函數(shù)求最小值的方法解決問題．） 學生：可以利用二次函數(shù)求最小值的方法解決問題． 學生的解答中，可能會忽略取得等號的條件，教師要引導學生思考，取得等號時點的坐標，并與前面兩種方法所得答案進行對比． 方法④ 利用直角三角形的面積公式 學生：三角形面積公式． 學生：過點作的垂線，構(gòu)造． 對于問題1的四種解法，學生可能回答不完全，教師要補充完整． 問題2　 問題3 學生討論：前面四種推導方法的都可行，但利用三角函數(shù)和利用二次函數(shù)求最小值的方法，相對要復雜一些． 方法① 利用定義的算法 學生分析解題思路，整理出算法框圖． 學生的回答可能會忽略 這個條件限制，教師要給予糾正并強調(diào)直線的斜率是否存在，主要取決于分母是否為0，這也是對前面知識的鞏固． 學生：對于的特殊情況，可以結(jié)合圖象直接得出結(jié)論． 方法② 利用直角三角形的面積公式的算法 學生：先添作輔助線，過點作軸、軸的垂線交于點，再利用直角三角形的面積公式進行計算． 方法③ 利用平面向量的算法 學生： 學生容易忽略的限制條件，教師給予糾正． 學生： 對于法向量的理解是一個難點，同時學生得到的答案可能不統(tǒng)一．教師引導學生，在復習教材的閱讀材料的基礎(chǔ)上，從向量共線的角度加以分析，從而幫助學生理解． 學生： 學生： 當時，以上公式仍然成立． 學生容易忽略距離是一個非負數(shù)，所以教師要強調(diào)應該加上絕對值符號． 師生共同總結(jié)：對于點到直線的距離公式的理解． ⑴若直線方程中系數(shù)的特殊情況，距離公式仍然成立，但一般情況下可以結(jié)合圖形直接得到距離； ⑵根據(jù)公式的形式特點，學生進行公式的記憶． 師生共同討論 例1 解：⑴根據(jù)點到直線的距離公式，得 ⑵解法① 因直線平行于軸，所以 解法② 根據(jù)點到直線的距離公式，得 ⑶ 另解：根據(jù)點到直線的距離公式，得 ⑷ 根據(jù)點到直線的距離公式， 例2 由學生分析解題思路，并按要求用數(shù)學語言表述過程． 學生： ⑴中表示直線的斜率； ⑵中表示直線在軸上的截距． 學生：這兩個小問的幾何意義分別是 ⑴點到兩條直線的距離相等，所以點在兩條直線所成角的角平分線上； ⑵所得的兩條直線互相平行且距離為． 例3 學生：兩條平行直線間的距離處處相等． 學生：將兩平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上一點到另一條直線的距離． 學生：選擇點． 學生：可以選擇一般的點． 解：設(shè)直線上一點 在復習舊知的基礎(chǔ)上引人新課． 由于教材上對于點到直線的距離公式的證明比較抽象，所以補充了兩個由淺人深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊． 補充的問題1，由于點和直線的位置非常特殊，所以學生容易回答，教師要鼓勵學生利用多種方法解決問題1． 方法③利用了類比化歸的思想，為后面將兩平行直線間的距離，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離奠定基礎(chǔ)． 強調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想 改變問題1中幾何元素：點、直線的位置，引出問題2． 在點到直線的距離公式的推導過程中，滲透算法的思想 對于方法①，教材上只說明了算法步驟，而省略了繁瑣的證明過程，所以只要求學生理清算法思路、給出框圖，不要求證明過程． 對于方法②，引導學生理清算法思路，再根據(jù)算法框圖，指導學生自學教材的證明過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力和獲取信息的能力． 補充的方法③，建立在學生已有的平面向量知識的基礎(chǔ)上． 課堂上只要求學生理清算法思路，而對于這種方法的具體解決過程，可作為課后思考作業(yè)． 補充的方法③為今后在立體幾何中，利用這種算法思路得到點到平面的距離公式設(shè)下伏筆． 前后呼應，使學生體會運用公式計算的簡便性． 為了強化學生對公式的記憶和應用，安排了三個典型例題． 例1中⑶、⑷兩個問題是補充的內(nèi)容，目的是強化點到直線的距離公式的應用前提條件． 例1主要是通過直接將已知點的坐標代人公式計算，強調(diào)公式的形式記憶和前提條件．在此基礎(chǔ)上，由淺入深，補充的例2中直線方程含有參數(shù)，進一步提高思維難度． 在例2中，由于直線方程中的參數(shù)都具有明顯的幾何意義，所以在解出參數(shù)的值后，要引導學生思考其幾何意義． 補充的例題2既考察了學生對公式的掌握情況，又為下節(jié)課研究對稱問題和直線系問題設(shè)下伏筆． 由例2⑵的幾何意義可以引出教材的例題3． 例3采用了類比化歸的思想方法． 課 堂 小 結(jié) 教師引導學生歸納總結(jié)本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容． 課后作業(yè) 1 利用向量的方法證明點到直線的距離公式； ⑵ 教材 13、14、16 （通過小結(jié)，使學生將本節(jié)課所學的知識系統(tǒng)化、條理化，使學生再次鞏固知識，明確方法．） 學生歸納總結(jié) 本課主要學習了以下內(nèi)容： ⑴ 點到直線的距離公式的推導中不同的算法思路：利用定義的算法、利用直角三角形的面積公式的算法、利用平面向量的算法； ⑵ 點到直線的距離公式： 點到直線（其中）的距離 說明：對于的特殊情況時公式仍然適用． ⑶ 應用點到直線的距離公式的前提條件． 板書設(shè)計： 課題：點到直線的距離 1． 問題1 如何求點到直線的距離？ 方法① 方法② 方法③ 方法④ 2． 問題2 如何求點到直線的距離？ 3． 問題3 如何求點到直線 的距離（）？ 方法① 利用定義的算法框圖 方法② 利用直角三角形的面積公式的算法框圖 方法③ 利用平面向量的算法框圖 4．典型例題 例1 例2 例3 例4 5．課堂練習 6．課堂小結(jié) 7．課后作業(yè) 六、教學反思 1．對于這一節(jié)內(nèi)容，有兩種不同的處理方式：一種是讓學生理解、記憶公式，直接應用而不講公式的探尋過程，這樣的處理不利于我校學生數(shù)學思維的培養(yǎng)；二是課本方式，通過強調(diào)對公式的探索過程，提高學生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力； 2．點到直線的距離的證明過程，含有大量的字母運算而比較抽象．如果沒有整體算法步驟的分析，學生的思路會缺乏連貫性，所以本課重點分析了三種算法思想：利用定義的算法、利用直角三角形面積的算法、利用平面向量的算法．讓學生在明了算法步驟的前提下，再進行有效的公式證明和自學閱讀； 3．向量是一種重要的運算工具，根據(jù)我校學生的實際，我在本課補充了利用向量的數(shù)量積證明點到直線的距離公式的方法．實際上，在以后立體幾何的學習中，還將利用這種算法思路得到點到平面的距離公式．又由于這種方法在思維上有一定的難度，所以，我根據(jù)學生的實際情況，提出了分層要求：基本要求是能夠理解教材所給的證明方法并能夠應用公式，較高要求是能夠利用向量的方法證明點到直線的距離公式； 4．現(xiàn)代數(shù)學認為“幾何是可視邏輯”，所以我重視在補充的例題中，突出幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的思想方法； 5．學生在練習中的“錯誤體驗”將會有助于加深記憶，所以我重視在學生應用公式中容易忽略的環(huán)節(jié),并在補充的例、習題中給予了設(shè)置，以期達到強化訓練的目的．