2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第1講 合情推理與演繹推理教案 理 新人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第1講 合情推理與演繹推理教案 理 新人教版 【xx年高考會(huì)這樣考】 1.從近年來(lái)的新課標(biāo)高考來(lái)看,高考對(duì)本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn),主要考查利用歸納推理、類(lèi)比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論,試題的難度以低、中檔題為主. 2.演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起命制綜合題. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí),要注意做好以下兩點(diǎn):一要聯(lián)系具體實(shí)例,體會(huì)和領(lǐng)悟歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理的原理、內(nèi)涵及特點(diǎn),并會(huì)用這些方法分析、解決具體問(wèn)題.二由于歸納、類(lèi)比、演繹推理思維方式貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)知識(shí)體系,所以復(fù)習(xí)時(shí)要有意識(shí)地培養(yǎng)邏輯分析等方面的訓(xùn)練. 基礎(chǔ)梳理 1.合情推理 (1)歸納推理:由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱(chēng)為歸納推理.簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. (2)類(lèi)比推理:由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征,推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理.簡(jiǎn)言之,類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類(lèi)比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為合情推理. 2.演繹推理 (1)演繹推理:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱(chēng)為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況作出的判斷. 一條規(guī)律 在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類(lèi)比,不要被表面現(xiàn)象迷惑,否則,只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類(lèi)比,那么就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤. 兩個(gè)防范 (1)合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論,發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明. (2)演繹推理是由一般到特殊的推理,它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題,注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性,書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性. 雙基自測(cè) 1.(人教A版教材習(xí)題改編)數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( ). A.28 B.32 C.33 D.27 解析 從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列,所以x=20+12=32. 答案 B 2.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓,如圖所示,○○○●●○○○●●○○○…,按這種規(guī)律往下排,那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是( ). A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析 由題干圖知,圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列,是一個(gè)周期為5的三白二黑的圓列,因?yàn)?65=7余1,所以第36個(gè)圓應(yīng)與第1個(gè)圓顏色相同,即白色. 答案 A 3.給出下列三個(gè)類(lèi)比結(jié)論: ①(ab)n=anbn與(a+b)n類(lèi)比,則有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類(lèi)比,則有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類(lèi)比,則有(a+b)2=a2+2ab+b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析?、壅_. 答案 B 4.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤在于( ). A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 解析 “指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是本推理的大前提,它是錯(cuò)誤的,因?yàn)閷?shí)數(shù)a的取值范圍沒(méi)有確定,所以導(dǎo)致結(jié)論是錯(cuò)誤的. 答案 A 5.(xx山東)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0) 觀察:f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=,…… 根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得: 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析 根據(jù)題意知,分子都是x,分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n,分母中x的系數(shù)為2n-1,故fn(x)=. 答案 . 考向一 歸納推理 【例1】?觀察下列等式: 可以推測(cè):13+23+33+…+n3=________(n∈N*,用含有n的代數(shù)式表示). [審題視點(diǎn)] 第二列的右端分別是12,32,62,102,152,與第一列比較可得. 解析 第二列等式的右端分別是11,33,66,1010,1515,∵1,3,6,10,15,…第n項(xiàng)an與第n-1項(xiàng)an-1(n≥2)的差為:an-an-1=n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,各式相加得, an=a1+2+3+…+n,其中a1=1,∴an=1+2+3+…+n,即an=,∴a=n2(n+1)2. 答案 n2(n+1)2 所謂歸納,就是由特殊到一般,因此在歸納時(shí)就要分析所給條件之間的變化規(guī)律,從而得到一般結(jié)論. 【訓(xùn)練1】 已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式:+<2,+<2,+<2,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式________. 解析 觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn):不等式左邊兩個(gè)根式的被開(kāi)方數(shù)的和等于20,不等式的右邊都是2,因此對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式是:若m,n∈R+,則當(dāng)m+n=20時(shí),有+<2. 答案 若m,n∈R+,則當(dāng)m+n=20時(shí),有+<2 考向二 類(lèi)比推理 【例2】?在平面幾何里,有“若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形面積為S△ABC=(a+b+c)r”,拓展到空間,類(lèi)比上述結(jié)論,“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為r,則四面體的體積為_(kāi)_______”. [審題視點(diǎn)] 注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣,或?qū)⒔Y(jié)論類(lèi)比到其他方面,得出結(jié)論. 解析 三角形的面積類(lèi)比為四面體的體積,三角形的邊長(zhǎng)類(lèi)比為四面體四個(gè)面的面積,內(nèi)切圓半徑類(lèi)比為內(nèi)切球的半徑.二維圖形中類(lèi)比為三維圖形中的,得V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)r. 答案 V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)r. (1)類(lèi)比是從已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類(lèi)比出新的結(jié)果;(2)類(lèi)比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性;(3)類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的,不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能. 【訓(xùn)練2】 已知命題:“若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),則am+n=”.現(xiàn)已知數(shù)列{bn}(bn>0,n∈N*)為等比數(shù)列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若類(lèi)比上述結(jié)論,則可得到bm+n=________. 答案 a 考向三 演繹推理 【例3】?數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N+).證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an. [審題視點(diǎn)] 在推理論證過(guò)程中,一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成.大前提通常省略不寫(xiě),或者寫(xiě)在結(jié)論后面的括號(hào)內(nèi),小前提有時(shí)也可以省略,而采取某種簡(jiǎn)明的推理模式. 證明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. ∴=2,(小前提) 故是以2為公比,1為首項(xiàng)的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了) (2)由(1)可知=4(n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)=4Sn-1 =4an(n≥2),(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論) (第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件) 演繹推理是從一般到特殊的推理;其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,則可以省略. 【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)=(x∈R). (1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性; (2)判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并證明. 解 (1)對(duì)?x∈R有-x∈R,并且f(-x)===-=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù). (2)法一 f(x)在R上單調(diào)遞增,證明如下: 任取x1,x2∈R,并且x1>x2, f(x1)-f(x2)=- = =. ∵x1>x2,∴2x1>2x2>0, 即2x1-2x2>0,又∵2x1+1>0,2x2+1>0. ∴>0. ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù). 法二 f′(x)=>0 ∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù). 難點(diǎn)突破25——高考中歸納推理與類(lèi)比推理問(wèn)題的求解策略 從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出高考對(duì)歸納推理與類(lèi)比推理的考查主要以填空題的形式出現(xiàn),難度為中等,常常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等為載體來(lái)考查歸納推理與類(lèi)比推理. 一、歸納推理 【示例】? (xx陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律,第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi)_______. 二、類(lèi)比推理 【示例】? 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則T4,________,______,成等比數(shù)列.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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