2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時訓(xùn)練 理(選修4-2).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時訓(xùn)練 理(選修4-2) 1. 求點B(0,1)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點的坐標(biāo). 解:矩陣表示將圖形變換為與之關(guān)于直線y=x對稱的反射變換,故點B(0,1)變換得到點坐標(biāo)B′(1,0). 2. 設(shè)圓F:x2+y2=1在(x,y)→(x′,y′)=(x+2y,y)對應(yīng)的變換下變換成另一圖形F′,試求變換矩陣M及圖形F′的方程. 解:因為==,所以M=.因為圓上任意一點(x,y)變換為(x′,y′)=(x+2y,y),即所以 因為x2+y2=1,所以(x′-2y′)2+y′2=1,即圖形F′的方程為(x-2y)2+y2=1. 3. (xx蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知點M(3,-1)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90后,且在矩陣對應(yīng)的變換作用下,得到點N(3,5),求a、b的值. 解:繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90對應(yīng)的變換矩陣為. ∴ =. 則由=,得 ∴ a=3,b=1. 4. 若矩陣M=,求直線x+y+2=0在M對應(yīng)的變換作用下所得到的曲線方程. 解:設(shè)點(x,y)是直線x+y+2=0上任意一點,在矩陣M的作用下變換成點(x′,y′),則=,所以因為點(x,y)在直線x+y=-2上,所以x′=x+y=-2,故得到的直線方程為x+2=0. 5. (xx南通二模)若矩陣M=把直線l:x+y-2=0變換為另一條直線l′:x+y-4=0,試求實數(shù)a的值. 解:設(shè)直線l上任意一點P(x,y)在矩陣M作用下的點P′的坐標(biāo)為(x′,y′),則=,所以 將點P′(x′,y′)代入直線l′:x+y-4=0,得(a-1)x+2y-4=0. 即直線l的方程為x+y-2=0.所以a=3. 6. 已知矩陣M=,N=.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線2x+3y+1=0在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線F,求曲線F的方程. 解:由題設(shè)得MN=[][]=. 設(shè)(x,y)是直線2x+3y+1=0上任意一點, 點(x,y)在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?x′,y′), 則有=,即=, 所以 因為點(x,y)在直線2x+3y+1=0上,從而2x′+3(-y′)+1=0,即2x′-3y′+1=0. 所以曲線F的方程為2x-3y+1=0. 7. (xx江蘇)已知矩陣A=,B=,向量α=,x、y為實數(shù).若Aα=Bα,求x+y的值. 解:由已知,得Aα==, Bα==. 因為Aα=Bα,所以=. 故解得 所以x+y=. 8. 變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,對應(yīng)的變換矩陣是M1;變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2=.求: (1) 點P(2,1)在T1作用下的點P′的坐標(biāo); (2) 函數(shù)y=x2的圖象依次在T1、T2變換作用下所得的曲線的方程. 解:(1) M1=,M1==,所以點(2,1)在T1作用下的點P′的坐標(biāo)是(-1,2). (2) M=M2M1=,設(shè)是變換后圖象上任意一點,與之對應(yīng)的變換前的點是,則M=,也就是則 所以所求曲線的方程是y-x=y(tǒng)2. 9. 已知直角坐標(biāo)平面xOy上的一個變換是先繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45,再作關(guān)于x軸反射變換,求這個變換的逆變換的矩陣. 解:這個變換的逆變換是先作關(guān)于x軸反射變換,再作繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45變換,其矩陣是 =. 10. 已知a、b∈R,若M=所對應(yīng)的變換TM把直線L:2x-y=3變換為自身,求實數(shù)a、b. 解:(解法1:特殊點法) 在直線2x-y=3上任取兩點(2,1)和(3,3),則=,即得點(a-2,2b+3) ;=,即得點(3a-3,3b+9).將和分別代入2x-y=3得解得 (解法2:通法) 設(shè)P(x,y)為直線2x-y=3上任意一點,其在M的作用下變?yōu)?x′,y′),則==代入2x-y=3,得-(b+2)x+(2a-3)y=3,由題意得解得 11. (xx鹽城二模)已知直線l:ax+y=1在矩陣A=對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′:x+by=1. (1) 求實數(shù)a、b的值; (2) 若點P(x0,y0)在直線l上,且A=,求點P的坐標(biāo). 解:(1) 設(shè)直線l上一點(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換下得點(x′,y′),則=, ∴ 代入直線l′,得2x+(b+3)y=1, ∴ a=2,b=-2. (2) ∵ 點P(x0,y0)在直線l上, ∴ 2x0+y0=1. 由=,得 ∴ ∴ P. 第2課時 逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量(理科專用) 1. 已知α=為矩陣A=屬于λ的一個特征向量,求實數(shù)a、λ的值及A2. 解:由條件可知=λ, 所以解得a=λ=2. 因此A=, 所以A2==. 2. (xx徐州二模)已知矩陣A=(c、d為實數(shù)).若矩陣A屬于特征值2、3的一個特征向量分別為,,求矩陣A的逆矩陣A-1. 解:由題意知,==2,==3, 所以解得 所以A=,所以A-1=. 3. (xx南通一模)已知二階矩陣M有特征值λ=1及對應(yīng)的一個特征向量e1=,且M=,求矩陣M. 解:設(shè)M=, 則由=,得 再由=,得 聯(lián)立以上方程組解得a=2,b=1,c=0,d=1, 故M=. 4. (xx揚(yáng)州期末)已知二階矩陣M有特征值λ=5,屬于特征值λ=5的一個特征向量是e=,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(-1,2)變換為(-2,4),求矩陣M. 解:設(shè)M=,依題意=,且=, 所以解得 所以M=. 5. 已知二階矩陣A有兩個特征值1、2,求矩陣A的特征多項式. 解:由特征多項式的定義知,特征多項式是一個首項系數(shù)為1的二次三項式.因此不妨設(shè)f(λ)=λ2+bλ+c.因為1,2是A的特征值,所以f(1)=f(2)=0,即1,2是λ2+bλ+c=0的根.由根與系數(shù)的關(guān)系知:b=-3,c=2,所以f(λ)=λ2-3λ+2. 6. 矩陣M=有屬于特征值λ1=8的一個特征向量e1=,及屬于特征值λ2=-3的一個特征向量e2=.對向量α=,計算M3α. 解:令α=me1+ne2,將具體數(shù)據(jù)代入,有m=1,n=-3,所以a=e1-3e2.M3α=M3(e1-3e2)=M3e1-3(M3e2)=λe1-3(λe2)=83-3(-3)3= , 即M3α=. 7. (xx泰州期末)已知矩陣A=的一個特征根為λ=2,它對應(yīng)的一個特征向量為α=. (1) 求m與n的值; (2) 求A-1. 解:(1) 由題意得:Aα=λα=λ=2解得 (2) 設(shè)A-1==E=, ∴ 解得∴ A-1=. 8. 利用逆矩陣的知識解方程MX=N,其中M=,N=. 解:設(shè)M-1=,= =, 解得所以M-1=. 可得X=M-1N==. 所以原方程的解為. 9. (xx南京二模)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對應(yīng)的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a、k的值. 解:設(shè)特征向量為α=,對應(yīng)的特征值為λ, 則=λ,即 因為k≠0,所以a=2. 因為A-1=,所以A=, 即=,所以2+k=3,解得k=1. 綜上,a=2,k=1. 10. 設(shè)M是把坐標(biāo)平面上點的橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)沿y方向伸長為原來5倍的伸壓變換.求: (1) 直線4x-10y=1在M作用下的方程; (2) M的特征值與特征向量. 解:(1) M=.設(shè)(x′,y′)是所求曲線上的任意一點,=,所以得 代入4x-10y=1,得4x′-2y′=1, 所以所求曲線的方程為4x-2y=1. (2) 矩陣M的特征多項式為 f(λ)==(λ-1)(λ-5). 令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=5. 當(dāng)λ1=1時,由Mα1=λ1α1,得特征向量α1=;當(dāng)λ2=5時,由Mα2=λ2α2,得特征向量α2=. 11. (xx蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知矩陣M=,β=,計算M6β. 解:矩陣M的特征多項式為 f(λ)==λ2-2λ-3. 令f(λ)=0,解得λ1=3,λ2=-1,對應(yīng)的一個特征向量分別為α1=,α2=. 令β=mα1+nα2,得m=4,n=-3. M6β=M6(4α1-3α2)=4(M6α1)-3(M6α2) =436-3(-1)6=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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