2019年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 極坐標(biāo)系課后知能檢測 蘇教版選修4-4.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 極坐標(biāo)系課后知能檢測 蘇教版選修4-4 1．在極坐標(biāo)系中，作出下列各點： A，B，C，D，E(4，0)，F(xiàn)(2.5，π)． 【解】　各點描點如下圖． 2．極坐標(biāo)系中，點A的極坐標(biāo)是(3，)，求點A關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)． 【解】　極坐標(biāo)系中的點(ρ，θ)關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線對稱的點的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可寫出其中一個為(3，)． 3．已知點M的極坐標(biāo)為(－2，－)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求點M的極坐標(biāo)． 【解】　∵(－ρ，θ)與(ρ，θ＋π)表示同一點， ∴(－2，)與(2，)為同一點的極坐標(biāo)，故點M的極坐標(biāo)為(2，)． 4．在極坐標(biāo)中，若等邊△ABC的兩個頂點是A、B(2，)，那么頂點C的坐標(biāo)是多少？ 【解】　如右圖，由題設(shè)可知A、B兩點關(guān)于極點O對稱，即O是AB的中點． 又AB＝4，△ABC為正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C對應(yīng)的極角θ＝＋＝或θ＝－ ＝－，即C點極坐標(biāo)為或. 5．設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點處，當(dāng)此彗星離地球為30(萬千米)時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出彗星此時的極坐標(biāo)． 【解】　如圖所示，建立極坐標(biāo)系，使極點O位于拋物線的焦點處，極軸Ox過拋物線的對稱軸，由題設(shè)可得下列四種情形：(1)當(dāng)θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(2)當(dāng)θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(3)當(dāng)θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(4)當(dāng)θ＝時，ρ ＝30(萬千米)． 彗星此時的極坐標(biāo)有四種情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)． 6．已知A、B兩點的極坐標(biāo)分別是(2，)、(4，)，求A、B兩點間的距離和△AOB的面積． 【解】　求兩點間的距離可用如下公式： AB＝ ＝＝2. S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝|24sin(－)|＝24＝4. 7．已知定點P(4，)． (1)將極點移至O′(2，)處極軸方向不變，求P點的新坐標(biāo)； (2)極點不變，將極軸順時針轉(zhuǎn)動角，求P點的新坐標(biāo)． 【解】　(1)設(shè)P點新坐標(biāo)為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－242cos ＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵＝， ∴sin∠OPO′＝2＝， ∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－－＝， ∴∠PP′x＝. ∴∠PO′x′＝. ∴P點的新坐標(biāo)為(2，)． (2)如圖，設(shè)P點新坐標(biāo)為(ρ，θ)， 則ρ＝4，θ＝＋＝. ∴P點的新坐標(biāo)為(4，)． 教師備選 8．已知△ABC三個頂點的極坐標(biāo)分別是A(5，)，B(5，)，C(－4，)，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積． 【解】　∵C(4，)，∠AOB＝－＝， 且AO＝BO， 所以△AOB是等邊三角形， AB＝5， BC＝ ＝， AC＝ ＝， ∵AC＝BC， ∴△ABC為等腰三角形， AB邊上的高為4＋5＝， ∴S△ABC＝5＝.