2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第45講 幾何概型練習 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第45講 幾何概型練習 新人教A版 [考情展望] 1.考查與長度、面積、體積等有關(guān)的幾何概型計算.2.主要以選擇題和填空題形式考查,一般為中低檔題. 一、幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 二、幾何概型的兩個基本特點 幾何概型的特點 幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗中的可能結(jié)果不是有限個,它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布,故隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān). 三、幾何概型的概率公式 P(A)=. 1.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次,某乘客到乘車點的時刻是隨機的,則他候車時間不超過2分鐘的概率是( ) A. B. C. D. 【解析】 試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5,所求事件的區(qū)域長度為2,故所求概率為P=. 【答案】 C 2.有四個游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機會,應選擇的游戲盤是( ) 【解析】 P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=, ∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B). 【答案】 A 圖10-6-1 3.如圖10-6-1,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點.若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( ) A. B. C. D. 【解析】 “點Q取自△ABE內(nèi)部”記為事件M,由幾何概型得P(M)===. 【答案】 C 4.在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為________. 【解析】 記“點P到點O的距離大于1”為事件A,則事件A發(fā)生時,點P位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球外. 又V正方體ABCD—A1B1C1D1=23=8,V半球=π13=π. ∴所求事件概率P(A)==1-. 【答案】 1- 5.(xx陜西高考) 圖10-6-2 如圖10-6-2,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基戰(zhàn),假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是( ) A.1- B.-1 C.2- D. 【解析】 取面積為測度,則所求概率為P====1-. 【答案】 A 6.(xx福建高考)利用計算機產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為________. 【解析】 選擇區(qū)間長度為測度求解幾何概型. 由題意知0≤a≤1.事件“3a-1>0”發(fā)生時,a>且a≤1,取區(qū)間長度為測度,由幾何概型的概率公式得其概率P==. 【答案】 考向一 [186] 與長度有關(guān)的幾何概型 在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則sin x+cos x∈[1,]的概率是( ) A. B. C. D. 【思路點撥】 先化簡不等式,確定滿足sin∈[1,]且在區(qū)間內(nèi)x的范圍,根據(jù)幾何概型利用長度之比可得結(jié)論. 【嘗試解答】 ∵sin x+cos x∈[1,], 即sin∈, ∵x∈, ∴在區(qū)間內(nèi),滿足sin∈的x∈, ∴事件sin x+cos x∈[1,]的概率為P==. 【答案】 B 規(guī)律方法1 1.解答本題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍,這需要用到三角函數(shù)的單調(diào)性. 2.幾何概型有兩個特點:一是無限性,二是等可能性.基本事件可以抽象為點,盡管這些點是無限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率. 對點訓練 已知函數(shù)f(x)=log2x,若在[1,4]上隨機取一個實數(shù)x0,則使得f(x0)≥1成立的概率為( ) A. B. C. D. 【解析】 解不等式log2x≥1,可得x≥2, ∴在區(qū)間[1,4]上隨機取一實數(shù)x,該實數(shù)x滿足不等式1≤log2x的概率為=. 【答案】 C 考向二 [187] 與面積有關(guān)的幾何概型 如圖10-6-3所示,在一個邊長為1的正方形AOBC內(nèi),曲線y=和曲線y=x2圍成一個葉形圖(陰影部分),向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點(該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的),則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是________. 圖10-6-3 【思路點撥】 利用積分求出陰影部分的面積,根據(jù)幾何概型公式求解. 【嘗試解答】 由得或 故點C的坐標為(1,1), ∴陰影部分的面積為 S=(-x2)dx==, 而正方形的面積為1,故所求的概率P==. 【答案】 規(guī)律方法2 (1)當試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時,應考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時,關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時需要設(shè)出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域. 對點訓練 如圖10-6-4, 圖10-6-4 矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)=sin x(x∈(0,π))及直線x=a(a∈(0,π))與x軸圍成,向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點,若落在陰影部分的概率為,則a的值是________. 【解析】 sin xdx=-cos x=1-cos a=a=,∴cos a=-,∴a=. 【答案】 考向三 [188] 與體積有關(guān)的幾何概型 在球O內(nèi)任取一點P,使得P點在球O的內(nèi)接正方體中的概率是( ) A. B. C. D. 【思路點撥】 先根據(jù)球的內(nèi)接正方體的體對角線長即為球的直徑求出邊長,然后分別求出球和正方體的體積,最后利用幾何概型的概率公式進行計算即可. 【嘗試解答】 設(shè)球的半徑為R,則球O的內(nèi)接正方體的體對角線為2R 根據(jù)邊長為a的正方體的體對角線長為a,可知正方體的體對角線為2R,則正方體的邊長為= 球的體積為,球O的內(nèi)接正方體的體積為3= ∴在球O內(nèi)任取一點P,使得P點在球O的內(nèi)接正方體中的概率是= 【答案】 C 規(guī)律方法3 求解幾何概型的概率問題,一定要正確確定試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,從而正確選擇合理的測度,進而利用概率公式求解. 對點訓練 一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體中心的距離不超過1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率是( ) A. B. C. D. 【解析】 正方體的體積為64,與正方體中心的距離不超過1構(gòu)成半徑為1的球,體積為,即P==,故選B. 【答案】 B 規(guī)范解答之二十二 概率與函數(shù)相結(jié)合的綜合問題 ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— (12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1. (1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率; (2)設(shè)點(a,b)是區(qū)域內(nèi)的一點, 求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率. 【規(guī)范解答】 (1)∵函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為直線x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當且僅當a>0且≤1,即2b≤a.2分 若a=1,則b=-1; 若a=2,則b=-1或1; 若a=3,則b=-1或1. ∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5.5分 而滿足條件的數(shù)對(a,b)共有35=15個 ∴所求事件的概率為=.6分 (2)由(1)知,當且僅當2b≤a且a>0時, 函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),8分 依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形.9分 由得交點坐標為,10分 ∴所求事件的概率為P==.12分 【名師寄語】 本例中先將f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2b≤a且a>0,然后再聯(lián)系已知條件,將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型,實現(xiàn)了知識的逐步遷移,這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得注意,另外,對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在某一區(qū)間[m,+∞)上單調(diào)遞增的充要條件是切勿漏掉a>0. 已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1 設(shè)點(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機點,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率. 【解】 (1)∵函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1的圖象的對稱軸為x=. ∴要使f(x)=ax2-8bx+1在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù), 當且僅當a>0且≤2,即2b≤a,且a>0時,函數(shù)f(x)=ax2-8bx+1在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù), 依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為:, 對應圖中的△AOC及其內(nèi)部,其中A(6,0),C(0,6) 而構(gòu)成所求事件的區(qū)域為△AOB部分及其內(nèi)部,如圖所示. 由解得交點為B(4,2). ∴函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)的概率為P===.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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