2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓練 理 新人教A版 .doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓練 理 新人教A版 一、選擇題 1.若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,有可能使l∥α的是( ) A.a(chǎn)=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a(chǎn)=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a(chǎn)=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a(chǎn)=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若l∥α,則an=0. 而選項A中an=-2. 選項B中an=1+5=6. 選項C中an=-1, 選項D中an=-3+3=0, 故選D. 答案:D 2.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l∥平面α,則x的值為( ) A.-2 B.- C. D. 解析:線面平行時,直線的方向向量垂直于平面的法向量, 故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=. 答案:D 3.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,則( ) A.EF至多與A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF與BD1相交 D.EF與BD1異面 解析:以D點為坐標原點,以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1, 則A1(1,0,1),D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0),E,F(xiàn), B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1),=(-1,1,0), =,=(-1,-1,1), =-,==0, 從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故選B. 答案:B 4.如圖所示,ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AE=BF.當A1、E、F、C1共面時,平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為( ) A. B. C. D. 解析:以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,易知當E(6,3,0)、F(3,6,0)時,A1、E、F、C1共面,設平面A1DE的法向量為n1=(a,b,c),依題意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一個法向量為n2=(2,-1,1),故平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為=.故選B. 答案:B 5.在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為( ) A. B.- C. D.- 解析:取AC中點E,連接BE,則BE⊥AC, 如圖所示,建立空間直角坐標系B-xyz, 則A,D(0,0,1), 則=. ∵平面ABC⊥平面AA1C1C, 平面ABC∩平面AA1C1C=AC, BE⊥AC, ∴BE⊥平面AA1C1C, ∴=為平面AA1C1C的一個法向量, ∴cos〈,〉=-, 設AD與平面AA1C1C所成的角為α, 則sin α=|cos〈,〉|=. 故選A. 答案:A 6.(xx年高考大綱卷)已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值是( ) A. B. C. D. 解析:建立如圖所示的空間直角坐標系, 設AA1=2AB=2, 則B(1,1,0),C(0,1,0), D(0,0,0),C1(0,1,2), 故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0). 設平面BDC1的法向量為n=(x,y,z), 則 得 令z=1,則y=-2,x=2, 所以平面BDC1的一個法向量為n=(2,-2,1). 設直線CD與平面BDC1所成的角為θ, 則sin θ=|cos〈n,〉|==.故選A. 答案:A 二、填空題 7.平面α的一個法向量n=(0,1,-1),如果直線l⊥平面α,則直線l的單位方向向量是________. 解析:直線l的方向向量平行于平面α的法向量, 故直線l的單位方向向量是=0,,-. 答案:0,,-或0,-, 8.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1上的點,則點E到平面ABC1D1的距離是________. 解:法一 以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在射線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系, 設點E(1,a,1)(0≤a≤1), 連接D1E, 則=(1,a,0). 連接A1D,易知A1D⊥平面ABC1D1, 則=(1,0,1)為平面ABC1D1的一個法向量. ∴點E到平面ABC1D1的距離是d==. 法二 點E到平面ABC1D1的距離,即B1到BC1的距離,易得點B1到BC1的距離為. 答案: 9.(xx合肥月考)等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角CABD的余弦值為,M、N分別是AC、BC的中點,則EM、AN所成角的余弦值等于________. 解析:過C點作CO⊥平面ABDE,垂足為O,取AB中點F,連接CF、OF,則∠CFO為二面角CABD的平面角, 設AB=1,則CF=, OF=CFcos∠CFO=,OC=, 則O為正方形ABDE的中心, 如圖所示建立直角坐標系Oxyz, 則E, M, A,N, =, =, cos〈,〉==. 答案: 10.空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設M,N分別是BD,AE的中點,給出如下命題:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE異面. 則所有的正確命題為________. 解析:如圖設=a,=b,=c,則|a|=|c|且ab=cb=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),=(c-a)b=(cb-ab)=0,故AD⊥MN;=c-a=2,故MN∥CE,故MN∥平面CDE,故②③正確;③正確時④一定不正確. 答案:①②③ 三、解答題 11.(xx陜西西安五校三模)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上. (1)求異面直線D1E與A1D所成的角; (2)若二面角D1ECD的大小為45,求點B到平面D1EC的距離. 解:建立如圖所示的空間直角坐標系. (1)由A1(1,0,1),得 =(1,0,1), 設E(1,a,0),又D1(0,0,1),則=(1,a,-1). ∵=1+0-1=0, ∴⊥, 則異面直線D1E與A1D所成的角為90. (2)m=(0,0,1)為平面DEC的法向量, 設n=(x,y,z)為平面CED1的法向量,則 cos〈m,n〉===cos 45=, ∴z2=x2+y2① 由C(0,2,0),得=(0,2,-1), 則n⊥, 即n=0, ∴2y-z=0② 由①、②,可取n=(,1,2), 又=(1,0,0), 所以點B到平面D1EC的距離d===. 12.(xx福建廈門聯(lián)考)如圖所示,在三棱錐PABC中,AB=BC=,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于點D,AD=1,CD=3,PD=. (1)證明△PBC為直角三角形; (2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值. (1)證明:以點E(AC中點)為坐標原點,以EB,EC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz,則B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,). 于是=(-,-1,),=(-,2,0). 因為=(-,-1,)(-,2,0)=0, 所以⊥,所以BP⊥BC. 所以△PBC為直角三角形. (2)解:由(1)可得,A(0,-2,0). 于是=(0,1,),=(,1,-),=(0,3,-). 設平面PBC的法向量為n=(x,y,z), 則即 取y=1,則z=,x=. 所以平面PBC的一個法向量為n=(,1,). 設直線AP與平面PBC所成的角為θ, 則sin θ=|cos〈,n〉|===. 所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.- 配套講稿:
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