2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第32課 正弦定理與余弦定理的綜合應用自主學習.doc

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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第32課 正弦定理與余弦定理的綜合應用自主學習 1. 測量問題的有關名詞 (1) 仰角和俯角:是指與目標視線在同一垂直平面內的水平視線的夾角.其中目標視線在水平視線上方時叫作仰角,目標視線在水平視線下方時叫作俯角. (2) 方向角:是指從指定方向線到目標方向線的水平角,如北偏東30,南偏西45. (3) 方位角:是指北方向順時針轉到目標方向線的角. (4) 坡角:是指坡面與水平面所成的角. (5) 坡比:是指坡面的鉛直高度與水平寬度之比. 2. 求解三角形實際問題的基本步驟 (1) 分析:理解題意,弄清已知和未知,畫出示意圖; (2) 建模:根據(jù)條件和目標,構建三角形,建立一個解三角形的數(shù)學模型; (3) 求解:利用正弦定理和余弦定理解三角形,求數(shù)學模型的解; (4) 檢驗:檢驗上述所求的角是否符合實際意義,從而得到實際問題的解. 1. (必修5P16練習1改編)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,則cos C=　　　　. [答案]- [解析]由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理知cos C==-. 2. (必修5P24復習題1改編)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,則A=　　　　. [答案] [解析]由sinC=2sinB得c=2b,代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a=b,所以cosA==,所以A=. 3. (必修5P24復習題2改編)在△ABC中,若a-b=ccosB-ccosA,則△ABC的形狀為　　　　. [答案]等腰或直角三角形 [解析]方法一:因為a-b=ccosB-ccosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sin(B+C)-sin(A+C)=sinCcosB-sinCcosA,所以sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,所以cosC(sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinB=sinA,所以C=90或B=A,所以△ABC為等腰或直角三角形. 方法二:因為a-b=ccosB-ccosA,所以a-b=c-c,所以(a-b)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2,所以△ABC為等腰或直角三角形. 4. (必修5P17習題6改編)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin A+csin C-asin C=bsin B,那么B=　　　　. [答案]45 [解析]由正弦定理得a2+c2-ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,故cos B=,因此B=45. 5. (必修5P24復習題7改編)如圖,已知∠A為定角,點P,Q分別在∠A的兩邊上,PQ為定長,則△APB的面積最大值為　　　　. (第5題) [答案] [解析]設∠A=α,PQ=a,AP=x,AQ=y,其中α,a為定值,由余弦定理得a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα=2xy(1-cosα),因為1-cosα>0,所以xy≤,所以S△APQ=xysinα≤,當且僅當x=y時取等號.