中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編專(zhuān)題26：圖形的相似與位似(含答案)

圖形的相似與位似 一、 選擇題 1、（2016齊河三模）如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是(　　) A.AB=24m B. MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM:MA=1:2 答案：D 2、（2016齊河三模）如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△EPD，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為(　　) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 答案：B 3、（2016泰安一模）小剛身高1.7m，測(cè)得他站立在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測(cè)得影子長(zhǎng)為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（　　） A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；比例的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】應(yīng)用題． 【分析】在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長(zhǎng)成比例，據(jù)此列方程即可解答． 【解答】解：設(shè)小剛舉起的手臂超出頭頂是xm 根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，得，x=0.5． 故選：A． 4.(2016浙江金華東區(qū)4月診斷檢測(cè)下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（ ） A． B． C． D． A C B 答案：B 5、（2016齊河三模）如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是(　　) A.AB=24m B. MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM:MA=1:2 答案：D 6、（2016齊河三模）如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△EPD，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為(　　) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 答案：B 7、（2016泰安一模）小剛身高1.7m，測(cè)得他站立在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測(cè)得影子長(zhǎng)為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（　　） A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；比例的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】應(yīng)用題． 【分析】在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長(zhǎng)成比例，據(jù)此列方程即可解答． 【解答】解：設(shè)小剛舉起的手臂超出頭頂是xm 根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，得，x=0.5． 故選：A． 8．第（6）題 D C A B E （2016天津北辰區(qū)一摸）如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D，E 分別在AB，AC 邊上，DE∥BC，，BC=3.6， 則DE等于（　?。? （A） （B） （C） （D） 答案：C 9.（2016天津市南開(kāi)區(qū)一模）如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90，CO=CD，若B（1，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　?。? A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（） D．（1，﹣1） 【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用位似是特殊的相似，若兩個(gè)圖形△ABC和△A′B′C′以原點(diǎn)為位似中心，相似比是k，△ABC上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），則在△A′B′C′中，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（kx，ky）或（﹣kx，ky），進(jìn)而求出即可． 【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）， ∴BO=1，則AO=AB=， ∴A（，﹣）， ∵等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：2， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（1，﹣1）． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，記憶關(guān)于原點(diǎn)位似的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 10.（2016天津市南開(kāi)區(qū)一模）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，在Rt△EDF中，∠EDF=90，∠E=45）如圖擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，將△EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0＜α＜60），DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，則的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】壓軸題． 【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CD=AD=DB，則∠ACD=∠A=30，∠BCD=∠B=60，由于∠EDF=90，可利用互余得∠CPD=60，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PDM=∠CDN=α，于是可判斷△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定義得到tan∠PCD=tan30=，于是可得=． 【解答】解：∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)， ∴CD=AD=DB， ∴∠ACD=∠A=30，∠BCD=∠B=60， ∵∠EDF=90， ∴∠CPD=60， ∴∠MPD=∠NCD， ∵△EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0＜α＜60）， ∴∠PDM=∠CDN=α， ∴△PDM∽△CDN， ∴=， 在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30=， ∴=tan30=． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)． 11．(2016重慶巴南 一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC．若=，AD=9，則AB等于（　?。? A．10 B．11 C．12 D．16 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，代入計(jì)算即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴==，又AD=9， ∴AB=12， 第12題圖 故選：C． 12．(2016山西大同 一模）如圖所示，已知E（-4，2）和F（-1，1），以原點(diǎn)O為位似中心，按比例尺2：1把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（　　） A．（2，1） B．（，） C．（2，-1） D．（2，） 答案：C 13．(2016上海普陀區(qū)一模)如圖，BD、CE相交于點(diǎn)A，下列條件中，能推得DE∥BC的條件是（　?。? A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例． 【分析】根據(jù)比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可． 【解答】解：A、∵AE：EC=AD：DB， ∴=， ∴都減去1得： =， ∵∠BAC=∠EAD， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠D=∠B， ∴DE∥BC，故本選項(xiàng)正確； B、根據(jù)AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出內(nèi)錯(cuò)角相等，不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、根據(jù)AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出內(nèi)錯(cuò)角相等，不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、根據(jù)BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出內(nèi)錯(cuò)角相等，不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，能理解平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵． 14．(2016山東棗莊模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（　?。? A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． = D． = 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【分析】由于兩三角形有公共角，則根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)A、B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)C、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵∠DAE=∠CAB， ∴當(dāng)∠AED=∠B或∠ADE=∠C時(shí)，△ABC∽△AED； 當(dāng) = 時(shí)，△ABC∽△AED． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似． 15．(2016上海普陀區(qū)一模)如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，若△ADE的面積為3，則△ABC的面積為（　?。? A．3 B．6 C．9 D．12 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且=，再利用三角形的面積比等于相似比的平方可求得△ABC的面積． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵D是AB的中點(diǎn)， ∴=， ∴=（）2=，且S△ADE=3， ∴=， ∴S△ABC=12， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵． 16. (2016陜西師大附中模擬)如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3， AE=4，則EC的長(zhǎng)為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 A B C M N 第17題圖 【答案】B 17．(2016上海浦東模擬)如圖，△ABC和△AMN都是等邊三角形，點(diǎn)M是△ABC的重心，那么的值為（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）． 18.（2016河北石家莊一模）按如圖所示的方法折紙，下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（　?。? ①∠2=90；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：由翻折變換的性質(zhì)可知，∠AEB+∠FEC=180=90， 則∠AEF=90，即∠2=90，①正確； 由圖形可知，∠1＜∠AEC，②錯(cuò)誤； ∵∠2=90， ∴∠1+∠3=90，又∠1+∠BAE=90， ∴∠BAE=∠3，④正確； ∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90， ∴△ABE∽△ECF，③正確． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，翻折變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等． 19.（2016河大附中一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：第一步，]分別以點(diǎn)A.D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作 弧，交于兩點(diǎn)M、N;第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F;第三步，連接DE、DF.若BE=8，ED =4，CD=3，則BD的長(zhǎng)是 ( ) A．4 B．6 C．8 D．12 答案：B 20.（2016湖北襄陽(yáng)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60.若動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿著B(niǎo)→A的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，t的值為（ ） A. B. C. 或 D. 或或 答案：C 21. （2016廣東河源一模）如圖，已知D，E分別是△ABC的AB， AC邊上的點(diǎn)， 且S四邊形DBCE＝1∶8，那么 等于( ) A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶2 答案：B 22. （2016廣東深圳聯(lián)考）如圖，在同一時(shí)刻，身高1.6米的小麗在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為2.5米，一棵大樹(shù)的影長(zhǎng)為5米，則這棵樹(shù)的高度為 A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米 答案：B 23.（2016河南三門(mén)峽一模）如圖，在△ABC 中，∠C=90，BC=3，D，E 分別在 AB、 AC上，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A正好落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的 長(zhǎng)為( ) A. B. 3 C. 2 D. 1 答案：D 二、填空題 1．(2016浙江杭州蕭山區(qū)模擬)如圖，已知Rt△AOB中，∠AOB=90，AO=5，BO=3，點(diǎn)E、M是線段AB上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），分別過(guò)E、M作AO的垂線，垂足分別為K、L． ①△OEK面積S的最大值為　　； ②若以O(shè)E、OM為邊構(gòu)造平行四邊形EOMF，當(dāng)EM⊥OF時(shí)，OK+OL=　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】①根據(jù)條件證明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根據(jù)三角形的面積公式，列出關(guān)于OK的關(guān)系式即可； ②根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出答案． 【解答】解：①∵EK⊥OA，∠AOB=90， ∴△OBA∽△KEA． ∴=， ∴， ∴KE=， ∴S=OK?KE=， 設(shè)OK=x，則S==﹣， ∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為； ②解：當(dāng)EM⊥OF時(shí)，平行四邊形EOMF為菱形，OE的取值范圍為＜OE＜3， 設(shè)OK=a，OL=b， 由（1）得，KE=，ML=， 由OE=OM得a2+[]2=b2+[]2． 設(shè)y=x2+[]2=x2﹣x+9， 則當(dāng)x1=a，x2=b時(shí)，函數(shù)y的值相等． 函數(shù)y的對(duì)稱(chēng)軸為直線x 即= 解得a+b=，即OK+OL=． 故答案為：，． 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，屬于較難題，需要學(xué)生有綜合運(yùn)用知識(shí)的能力． 2．(2016浙江鎮(zhèn)江模擬)在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(6，3)、B(6，0)．以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB按相似的1:3縮小后得到線段CD，點(diǎn)C在第一象限（如圖），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 ▲ ?。? 答案：（2，1） 3.（2016棗莊41中一模）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)．點(diǎn)F關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G恰好在BC延長(zhǎng)線上，F(xiàn)G交DE于點(diǎn)H．點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，若MH=，則EG　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】連接DF，DG，過(guò)H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由點(diǎn)F，點(diǎn)G關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)，得到DF=DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，證得△FDG是等腰直角三角形，推出四邊形APHQ是矩形，證得△HPF≌△DHQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HP=HQ，推出△MHQ≌△DHQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DH=MH=，DQ=QM=，求得CH=DH=，通過(guò)△DQH∽△CEH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：連接DF，DG，過(guò)H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q， ∵點(diǎn)F，點(diǎn)G關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)， ∴DF=DG， 正方形ABCD中， ∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90， ∴∠GCD=90， 在Rt△AFD與Rt△CDG中，， ∴Rt△AFD≌Rt△CDG， ∴∠ADF=∠CDG， ∴∠FDG=∠ADC=90， ∴△FDG是等腰直角三角形， ∵DH⊥CF， ∴DH=FH=FG， ∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90， ∴四邊形APHQ是矩形， ∴∠PHQ=90， ∵∠DHF=90， ∴∠PHF=∠DHQ， 在△PFF與△DQH中，， ∴△HPF≌△DHQ， ∴HP=HQ， ∵∠PHF=90﹣∠FHM，∠QHM=90﹣∠FHM， ∴∠PHF=∠QHM， ∴∠QHM=∠DHQ， 在△MHQ與△DHQ中，， ∴△MHQ≌△DHQ， ∴DH=MH=，DQ=QM=， ∴CH=DH=， ∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)， ∴DM=3，∴DQ=QM=， ∴HQ==， ∵∠QDH=∠HEG， ∴△DQH∽△CEH， ∴， 即， ∴EG=． 故答案為：． 4.（2016齊河三模）如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，點(diǎn)P到CD的距離是2.7m，則______m． 答案：1.8 5.（2016天津市南開(kāi)區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為　80π﹣160?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】壓軸題． 【分析】首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得EM與FM的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AM與CM的長(zhǎng)，則可求得正方形與圓的面積，則問(wèn)題得解． 【解答】解：連接AC， ∵AE丄EF，EF丄FC， ∴∠E=∠F=90， ∵∠AME=∠CMF， ∴△AEM∽△CFM， ∴， ∵AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10， ∴， ∴EM=3，F(xiàn)M=5， 在Rt△AEM中，AM==3， 在Rt△FCM中，CM==5， ∴AC=8， 在Rt△ABC中，AB=AC?sin45=8?=4， ∴S正方形ABCD=AB2=160， 圓的面積為：π?（）2=80π， ∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160． 故答案為：80π﹣160． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 6．(2016重慶巴蜀 一模）如圖，E是?ABCD邊AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=4BE，連接DE交BC于點(diǎn)F，則△DCF與四邊形ABFD面積的比是　 ?。? 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，得出△BEF∽△DCF，得出S△DCF=16S△BEF，同理：S△ACD=25S△BEF，即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴△BEF∽△DCF， ∴=（）2， ∵AB=4BE， ∴CD=4BE， ∴∴=（）2， ∴S△DCF=16S△BEF， 同理：S△ACD=25S△BEF， ∴=， ∴==， 即△DCF與四邊形ABFD面積的比是2：3， 故答案為． 7．(2016重慶銅梁巴川一模）如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于　 　． 【分析】由DE∥BC，證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，由于△DEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵AE=1，CE=2， ∴AC=3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵DE∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴=， 故答案為：1：3． 8．(2016重慶銅梁巴川一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長(zhǎng)的最小值為　 ?。? 【分析】認(rèn)真審題，根據(jù)垂線段最短得出PM⊥AB時(shí)線段PM最短，分別求出PB、OB、OA、AB的長(zhǎng)度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本題的答案． 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，則：∠PMB=90， 當(dāng)PM⊥AB時(shí)，PM最短， 因?yàn)橹本€y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B， 可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5， ∵∠BMP=∠AOB=90，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴=， 即：， 所以可得：PM=． 9．(2016云南省曲靖市羅平縣二模)如圖，在△ABC中點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：　∠AEB=∠B（答案不唯一）　，使△ABC∽△AED． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專(zhuān)題】開(kāi)放型． 【分析】根據(jù)∠AEB=∠B和∠A=∠A可以求證△AED∽△ABC，故添加條件∠AEB=∠B即可以求證△AED∽△ABC． 【解答】解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， 故添加條件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC， 故答案為：∠AEB=∠B（答案不唯一）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中添加條件∠AEB=∠B并求證△AED∽△ABC是解題的關(guān)鍵． 10．(2016上海普陀區(qū)一模)如果，那么=　　． 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)比例設(shè)x=2k，y=5k，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵ =， ∴設(shè)x=2k，y=5k， 則===． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y可以使計(jì)算更加簡(jiǎn) 11．(2016上海普陀區(qū)一模)已知點(diǎn)P把線段分割成AP和PB兩段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，那么AP：AB的值等于　?。? 【考點(diǎn)】黃金分割． 【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比是解答即可． 【解答】解：∵點(diǎn)P把線段分割成AP和PB兩段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例中項(xiàng)， ∴點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)， ∴AP：AB=， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比． 12．(2016山東棗莊模擬)如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，則△ABC與△DEF的面積之比為　1：4?。? 【考點(diǎn)】位似變換． 【分析】由AD=OA，易得△ABC與△DEF的位似比等于1：2，繼而求得△ABC與△DEF的面積之比． 【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，AD=OA， ∴AB：DE=OA：OD=1：2， ∴△ABC與△DEF的面積之比為：1：4． 故答案為：1：4． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了位似圖形的性質(zhì)．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方． 13．(2016上海普陀區(qū)一模)已知在Rt△ABC中，∠C=90，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ與△ABC相似，那么AP的長(zhǎng)等于　或?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式解答即可． 【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90， ∴AB==5， 當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)， =，即=， 解得，AP=； 當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)， =，即， 解得，AP=， 故答案為：或． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等、正確運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵． 14．(2016上海普陀區(qū)一模)已知A（3，2）是平面直角坐標(biāo)中的一點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AB，并以AB為邊在x軸上方作矩形ABCD，且滿(mǎn)足BC：AB=1：2，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是a，如果用含a的代數(shù)式表示D點(diǎn)的坐標(biāo)，那么D點(diǎn)的坐標(biāo)是?。?，）?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】如圖，過(guò)C作CH⊥x軸于H，過(guò)A作AF⊥x軸于F，AG⊥y軸于G，過(guò)D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通過(guò)△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=3﹣1=2，于是得到結(jié)論． 【解答】解：如圖，過(guò)C作CH⊥x軸于H，過(guò)A作AF⊥x軸于F，AG⊥y軸于G，過(guò)D作DE⊥AG于E， ∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90， ∴∠GAF=90，∴∠DAE=∠FAB， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90， ∴∠BCH=∠ABF， ∴△BCH∽△ABF， ∴， ∵A（3，2）， ∴AF=2，AG=3， ∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是a， ∴OH=﹣a， ∵BC：AB=1：2， ∴BH=AF=1，CH=BF=， ∵△BCH∽△ABF， ∴∠HBC=∠DAE， 在△BCH與△ADE中，， ∴△BCH≌△ADE， ∴AE=BH=1，DE=CH=， ∴EG=3﹣1=2， ∴D（2，）． 故答案為：（2，）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵． 15.（2016吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C；過(guò)點(diǎn)B的直線DE分別交l1、l3于點(diǎn)D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，則線段BE的長(zhǎng)為　3　． 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例． 【專(zhuān)題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，然后把AB、BC、BD的值代入后利用比例的性質(zhì)可計(jì)算出BE的長(zhǎng)． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴=，即=， ∴BE=3． 故答案為3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 16.（2016河北石家莊一模）如圖，正方形ABCD與正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），則位似中心的坐標(biāo)是?。?，），（﹣6，13）?。? 【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】分別利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再利用當(dāng)B與F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以及當(dāng)B與E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別求出位似中心． 【解答】解：設(shè)當(dāng)B與F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線BF的解析式為：y=kx+b， 則， 解得：， 故直線BF的解析式為：y=﹣x+， 則x=0時(shí)，y=， 即位似中心是：（0，）， 設(shè)當(dāng)B與E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線BE的解析式為：y=ax+c， 則， 解得：， 故直線BE的解析式為：y=﹣2x+1， 設(shè)直線HF的解析式為：y=dx+e， 則， 解得：， 故直線HF的解析式為：y=﹣x+5， 則， 解得： 即位似中心是：（﹣6，13）， 綜上所述：所述位似中心為：（0，），（﹣6，13）． 故答案為：（0，），（﹣6，13）． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵． 17.（2016廣東東莞聯(lián)考）將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長(zhǎng)為20cm，點(diǎn)O為正方形的中心，AB=5cm，則CD的長(zhǎng)為　20　cm． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意四邊形BOCE是正方形，且邊長(zhǎng)等于大正方形的邊長(zhǎng)的一半，等于10cm，再根據(jù)△DCE和△DOA相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可． 【解答】解：如圖， ∵點(diǎn)O為正方形的中心， ∴四邊形BOCE是正方形，邊長(zhǎng)=202=10cm， ∵CE∥AO， ∴△DCE∽△DOA， ∴， 即， 解得DC=20cm． 故答案為：20． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形各邊都相等，每個(gè)角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 18.（2016廣東深圳聯(lián)考）如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　 答案：（-2，0） 19.（2016河南三門(mén)峽一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，分別連結(jié)AE、BD相交于點(diǎn)O，若AD=5，，則EC=__________ 答案：2 三、解答題 1．(2016浙江杭州蕭山區(qū)模擬)平面直角坐標(biāo)系中，有A、B、C三點(diǎn)，其中A為原點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（5，0）和（1，2）． （1）證明：△ABC為Rt△． （2）請(qǐng)你在直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)D，使得△ABC與△ABD相似，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出所有符合要求的三角形． （3）在第（2）題所作的圖中，連接任意兩個(gè)直角三角形（包括△ABC）的直角頂點(diǎn)均可得到一條線段，在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段，求取到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段的概率． 【考點(diǎn)】相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【專(zhuān)題】綜合題；分類(lèi)討論． 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，如圖1，只需運(yùn)用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問(wèn)題； （2）△ABC與△ABD相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題； （3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意兩直角頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)和長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問(wèn)題． 【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，如圖1， ∵A（0，0），B（5，0），C（1，2）， ∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25， ∴AB2=AC2+BC2， ∴△ABC為Rt△； （2）①若△ABC∽△ABD，則有D1（1，﹣2）； ②若△ABC∽△BAD，則有D2（4，﹣1），D3（4，1）； ③若△ABC∽△ADB，則有D4（5，﹣10），D5（5，10）； ④若△ABC∽△DAB，則有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）； ⑤若△ABC∽△BDA，則有D8（0，﹣10），D9（0，10）； ⑥若△ABC∽△DBA，則有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）； 所有符合要求的三角形如圖所示． （3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有A、B、C、D1、D2、D3． 任意兩直角頂點(diǎn)的連線段共有=15條， 其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3， 故長(zhǎng)度為有理數(shù)的線段共7條，長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段共8條， 則取到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段的概率為p=． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵． ? C P M B O A C N 3．(2016浙江鎮(zhèn)江模擬)（本小題滿(mǎn)分9分） 如圖，AB為⊙O的直徑，AB=2，點(diǎn)在M在QO上，MC垂直平分OA，點(diǎn)N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（N不與A重合），若△MNP∽△MAC，PC與直線AB所夾銳角為α． （1）若AM=AC，點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，則α= ▲ ； （2）若點(diǎn)C、點(diǎn)N的位置如圖所示，求α的度數(shù)； （3）當(dāng)直線PC與⊙O相切時(shí)，則MC的長(zhǎng)為 ▲ ． （1）如圖 ，α= 30 ； （2）連接MO， M P O A C （N） ∵M(jìn)C垂直平分AO，∴MA=MO=AO ∴∠AMO=60，則∠AMC=30． ∵△MAQ∽△MNP， ∴，， ∴∠AMN=∠QMP， ∴△AMN∽△QMP， ∴∠MAN=∠MQP， ∴α=∠AMQ=30； （3）． 4.（2016青島一模）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90，∠DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）． （1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫(xiě)出t的取值范圍； （2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值； （3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ，從而得出結(jié)論， （2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解， （3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】（1）解：AP=2t ∵∠EDF=90，∠DEF=45， ∴∠CQE=45=∠DEF， ∴CQ=CE=t， ∴AQ=8﹣t， t的取值范圍是：0≤t≤5； （2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t， ∴PG=PBSinB=（10﹣2t） ∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE== ∴當(dāng)（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值=（cm2） （3）若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：（s） 若AP=PQ，如圖①：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC， ∴， 即， 解得：（s） 若AQ=PQ，如圖②：過(guò)點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t ∵∠AIQ=∠ACB=90∠A=∠A， ∴△AQI∽△ABC ∴即， 解得：（s） 綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，△APQ是等腰三角形． 5．（2016天津北辰區(qū)一摸）（本小題10分） 如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)（，），點(diǎn)（，）. 沿軸向右平移Rt△，得Rt△，直線與或的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn). 設(shè)（，）（），以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形面積記為. （Ⅰ）求與的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅱ）用含（）的式子表示； （Ⅲ）當(dāng)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果）. B O A 圖（2） 圖（1） B O A D 第（1）題 （圖2為備用圖） . 解：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，∵ ∥， ∴ △∽△. ∴ . 圖（1） B O A D 如圖（1），點(diǎn)D在AB上， 有. ∴ . 即. 如圖（2），點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上， 有. ∴ . 即. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與重合，此時(shí)，，. ∴ 與的關(guān)系是：. （Ⅱ）① 如圖（1），當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)D在AB上， 圖（2） B O A D 有 . ∴ 把 ，代入， 得. ∴ （）. ② 如圖（2），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上， ∵ 平移△得到△， ∴ ，. ∵ ∴ . 把 代入，得 . 綜上， （Ⅲ）D（，）. 把代入，得 ，，舍. 把，代入，得. 代入，得(舍) ，（舍）. 6．（2016天津市南開(kāi)區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點(diǎn)，AB=13，AC=5． （1）如圖（1），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)； （2）如圖（2），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理． 【專(zhuān)題】幾何綜合題． 【分析】（1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90，P是弧AB的中點(diǎn)，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求得ON、AN的長(zhǎng)，利用勾股定理求得NP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得PA． 【解答】解：（1）如圖（1）所示，連接PB， ∵AB是⊙O的直徑且P是的中點(diǎn)， ∴∠PAB=∠PBA=45，∠APB=90， 又∵在等腰三角形△APB中有AB=13， ∴PA===． （2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點(diǎn)，作PN⊥AB于點(diǎn)N， ∵P點(diǎn)為弧BC的中點(diǎn)， ∴OP⊥BC，∠OMB=90， 又因?yàn)锳B為直徑 ∴∠ACB=90， ∴∠ACB=∠OMB， ∴OP∥AC， ∴∠CAB=∠POB， 又因?yàn)椤螦CB=∠ONP=90， ∴△ACB∽△0NP ∴=， 又∵AB=13 AC=5 OP=， 代入得 ON=， ∴AN=OA+ON=9 ∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36 在Rt△ANP中 有PA===3 ∴PA=3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵． 7.（2016天津市南開(kāi)區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（點(diǎn)P′不在y軸上），連接PP′，P′A，P′C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a． （1）當(dāng)b=3時(shí)， ①求直線AB的解析式； ②若點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣1，m），求m的值； （2）若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與P′C的交點(diǎn)為D．當(dāng)P′D：DC=1：3時(shí)，求a的值； （3）是否同時(shí)存在a，b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；等腰直角三角形． 【專(zhuān)題】壓軸題． 【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； ②把（﹣1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值； （2）可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解； （3）分P在第一，二，三象限，三種情況進(jìn)行討論．利用相似三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：（1）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3， 把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0， ∴k=， ∴直線的解析式是：y=x+3， ②P′（﹣1，m）， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，m）， ∵點(diǎn)P在直線AB上， ∴m=1+3=； （2）∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD， ∴=，即=， ∴a=； （3）以下分三種情況討論． ①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)， 1）若∠AP′C=90，P′A=P′C（如圖1） 過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H． ∴PP′=CH=AH=P′H=AC． ∴2a=（a+4） ∴a= ∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴==，即=， ∴b=2 2）若∠P′AC=90，（如圖2），則四邊形P′ACP是矩形，則PP′=AC． 若△PCA為等腰直角三角形，則：P′A=CA， ∴2a=a+4 ∴a=4 ∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴==1，即=1 ∴b=4 3）若∠P′CA=90， 則點(diǎn)P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾． ∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形． ②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形； ③當(dāng)P在第三象限時(shí)，∠P′AC為鈍角（如圖4），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形． 所有滿(mǎn)足條件的a，b的值為：，． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)求解． 8.（2016天津五區(qū)縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB． （1）求證：DC為⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn)； （2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題． 【解答】（1）證明：連接OC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD ∵AD⊥CD∴OC⊥CD ∴直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C； （2）解：連接BC，則∠ACB=90． ∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD?AB， ∵⊙O的半徑為3，AD=4， ∴AB=6， ∴AC=2． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時(shí) 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問(wèn)題． 9. (2016重慶巴蜀 一模）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，連接BE，以BE為邊向BE右側(cè)作正方形BEFG，EF交CD于點(diǎn)M，連接BM，N為BM的中點(diǎn)，連接GN，F(xiàn)N． （1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的長(zhǎng)； （2）求證：GN=FN； （3）如圖2，移動(dòng)點(diǎn)E，使得FN⊥CD于點(diǎn)Q時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄緾M與DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由． 【分析】（1）根據(jù)題意分別求出AE、DE，證明△ABE∽△DEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可； （2）連接EN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EN=BM，證明△NBG≌△NEF即可； （3）延長(zhǎng)ED，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于H，證明△ABE≌△HEF，得到AE=HF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DR=FH，等量代換即可． 【解答】解：（1）∵AB=4，AE：DE=3：1， ∴AE=3，DE=1， ∴BE==5， ∵∠BEF=90，∠BEF=90，∠BEF=90， ∴△ABE∽△DEM， ∴=，即=， 解得，EM=； （2）連接EN， ∵∠BEF=90，N為BM的中點(diǎn)， ∴EN=BM=BN=NM， ∴∠NBE=∠NEB， ∴∠NBG=∠NEF， 在△NBG和△NEF中， ， ∴△NBG≌△NEF， ∴GN=FN； （3）如圖2，延長(zhǎng)ED，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于H， ∵∠BCD=90，N為BM的中點(diǎn)， ∴CN=BM=BN=NM， ∵FN⊥CD， ∴CR=MR=CM， ∵∠A=∠H=90， ∴∠ABE+∠AEB=90， ∵∠BEF=90， ∴∠AEB+∠FEH=90， ∴∠ABE=∠FEH， 在△ABE和△HEF中， ， ∴△ABE≌△HEF， ∴AE=HF， ∵∠H=∠RDH=∠DRF=90， ∴四邊形DRFH是矩形， ∴AE=HF=DR， ∴AD﹣AE=CD=DR，即DE=CR， ∴DE=CM． 10.(2016四川峨眉 二模）如圖（甲），在中，，、分別 是、邊上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，（1）求 的值； （2）如圖(乙)，在中，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，在邊上，且， 求①； ②若，求的值. 答案： 解：(1)過(guò)作∥，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（如圖11甲）, ∴， ∴． 又∵，， ∴． 又∵, ∴， ∴， 即：． (2) ①過(guò)作∥，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(如圖11乙)， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即：． ②在①的條件下， ∵，， ∴、、分別為、、． 又∵， ∴，． 由可得， ∴、為等腰直角三角形， ∴、、． 又∵， ∴， ∴． 11．(2016四川峨眉 二模）如圖，中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，． （1）求證：∽； （2）若的面積為，求梯形的面積． 答案： （1）證明：在中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ∴∥ ∴ 又∵ （2）解：∵∥， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵的面積為， ∴， ∴ ， 所以梯形的面積為 ==． 12．(2016上海普陀區(qū)一模)已知：如圖，有一塊面積等于1200cm2的三角形紙片ABC，已知底邊與底邊BC上的高的和為100cm（底邊BC大于底邊上的高），要把它加工成一個(gè)正方形紙片，使正方形的一邊EF在邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，求加工成的正方形鐵片DEFG的邊長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】作AM⊥BC于M，交DG于N，設(shè)BC=acm，BC邊上的高為hcm，DG=DE=xcm，根據(jù)題意得出方程組求出BC和AM，再由平行線得出△ADG∽△ABC，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得出比例式，即可得出結(jié)果． 【解答】解：作AM⊥BC于M，交DG于N，如圖所示： 設(shè)BC=acm，BC邊上的高為hcm，DG=DE=xcm， 根據(jù)題意得：， 解得：，或（不合題意，舍去）， ∴BC=60cm，AM=h=40cm， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即， 解得：x=24， 即加工成的正方形鐵片DEFG的邊長(zhǎng)為24cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程組的解法、相似三角形的運(yùn)用；熟練掌握方程組的解法，證明三角形相似得出比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．