2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例.doc

《2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例.doc（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 以選擇題或填空題的形式考查回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)中的基本思想方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 高考在該部分的主要命題點(diǎn)就是回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)和簡(jiǎn)單應(yīng)用．復(fù)習(xí)時(shí)要掌握好回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法和基本公式． 基礎(chǔ)梳理 1．相關(guān)關(guān)系的分類 從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)． 2．線性相關(guān) 從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線． 3．回歸方程 (1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)： (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為＝x＋，則 其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距． 4．樣本相關(guān)系數(shù) r＝，用它來衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系． (1)當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； (2)當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)； (3)r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|＞0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． 5．線性回歸模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b稱為模型的未知參數(shù)；e稱為隨機(jī)誤差． (2)相關(guān)指數(shù) 用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2＝ ，R2的值越大，說明殘差 平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸效果越好． 6．獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量．例如：是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等． (2)列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表． (3)一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為： 22列聯(lián)表 y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)，可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“x與y的關(guān)系”． 這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)． 兩個(gè)規(guī)律 (1)函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系． (2)當(dāng)K2≥3.841時(shí)，則有95%的把握說事A與B有關(guān)； 當(dāng)K2≥6.635時(shí)，則有99%的把握說事件A與B有關(guān)； 當(dāng)K2≤2.706時(shí)，則認(rèn)為事件A與B無關(guān)． 三個(gè)注意 (1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義． (2)線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)而來的，存在誤差，這種誤差會(huì)導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差；而且回歸方程只適用于我們所研究的樣本總體． (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的隨機(jī)變量K2＝3.841是判斷是否有關(guān)系的臨界值，K2≤3.841應(yīng)判斷為沒有充分證據(jù)顯示事件A與B有關(guān)系，而不能作為小于95%的量化值來判斷． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系(　　)． A．出租車車費(fèi)與行駛的里程 B．房屋面積與房屋價(jià)格 C．身高與體重 D．鐵塊的大小與質(zhì)量 解析　A，B，D都是函數(shù)關(guān)系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關(guān)關(guān)系． 答案　C 2．對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui、vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷 (　　)． A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 解析　由題圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)． 答案　C 3．(xx南昌模擬)某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是(　　)． A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 解析　因?yàn)殇N量與價(jià)格負(fù)相關(guān)，由函數(shù)關(guān)系考慮為減函數(shù)，又因?yàn)閤，y不能為負(fù)數(shù)，再排除C，故選A. 答案　A 4．(xx棗莊模擬)下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計(jì) x1 a 21 73 x2 22 25 47 合計(jì) b 46 120 則表中a，b的值分別為(　　)． A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 解析　∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74. 答案　C 5．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計(jì)算K2的觀測(cè)值k＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的(有關(guān)，無關(guān))． 解析　由觀測(cè)值k＝27.63與臨界值比較，我們有99%的把握說打鼾與患心臟病有關(guān)． 答案　有關(guān) 　　 考向一　相關(guān)關(guān)系的判斷 【例1】?山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上對(duì)某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對(duì)產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 棉花產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系． [審題視點(diǎn)] (1)用x軸表示化肥施用量，y軸表示棉花產(chǎn)量，逐一畫點(diǎn)． (2)根據(jù)散點(diǎn)圖，分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系． 解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示 (2)由散點(diǎn)圖知，各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系． 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡(jiǎn)便的方法．在散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系．即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 【訓(xùn)練1】 根據(jù)兩個(gè)變量x，y之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖如圖所示，這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系________(填“是”與“否”)． 解析　從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)圖的分布成團(tuán)狀，無任何規(guī)律，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系． 答案　否 考向二　獨(dú)立性檢驗(yàn) 【例2】?(xx全國(guó)新課標(biāo))為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 　 性別 是否需要志愿者　　　　　　　 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ (3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2＝ [審題視點(diǎn)] 第(2)問由a＝40，b＝30，c＝160，d＝270，代入公式可求K2，由K2的值與6.635比較斷定．第(3)問從抽樣方法說明． 解　(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計(jì)值為＝14%. (2)K2＝≈9.967. 由于9.967＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)． (3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層，采用分層抽樣方法，這要比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好． 獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式K2＝計(jì)算K2的觀測(cè)值； (3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷． 【訓(xùn)練2】 某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表： 甲廠： 分組 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 頻數(shù) 12 63 86 182 92 61 4 乙廠： 分組 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 頻數(shù) 29 71 85 159 76 62 18 (1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)零件的優(yōu)質(zhì)品率； (2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”. 甲　廠 乙　廠 合　計(jì) 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 合　計(jì) 附　K2＝， P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解　(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為100%＝72%； 乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為100%＝64%. (2) 甲　廠 乙　廠 合　計(jì) 優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 合　計(jì) 500 500 1 000 K2＝≈7.35＞6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”． 考向三　線性回歸方程 【例3】?(xx菏澤模擬)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程．預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) [審題視點(diǎn)] (2)問利用公式求、，即可求出線性回歸方程． (3)問將x＝100代入回歸直線方程即可． 解　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示． (2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：＝86， ＝＝4.5(噸)，＝＝3.5(噸)． 已知iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： ＝＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.74.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為： 90－(0.7100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)． 在解決具體問題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間有線性相關(guān)關(guān)系，再求回歸直線方程． 【訓(xùn)練3】 (2011江西)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x/cm 174 176 176 176 178 兒子身高y/cm 175 175 176 177 177 則y對(duì)x的線性回歸方程為(　　)． A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 解析　由題意得＝＝176(cm)， ＝＝176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選C. 答案　C 　　 閱卷報(bào)告15——數(shù)據(jù)處理不當(dāng)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤而失分 【問題診斷】 由于大多數(shù)省市高考要求不準(zhǔn)使用計(jì)算器，而線性回歸問題和獨(dú)立性檢驗(yàn)問題仍是近幾年新課標(biāo)高考的?？键c(diǎn)，并且大多是考查考生的計(jì)算能力，就計(jì)算方面常有不少考生因計(jì)算出錯(cuò)而失分． 【防范措施】 平時(shí)訓(xùn)練時(shí)首先養(yǎng)成勤于動(dòng)手的習(xí)慣，親自動(dòng)手計(jì)算，再者考場(chǎng)上要保持心態(tài)放松，做題時(shí)細(xì)心認(rèn)真，最終可減少錯(cuò)誤的發(fā)生． 【示例】?(2011安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 xx xx xx xx xx 需求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程＝bx＋a； (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地xx年的糧食需求量． 實(shí)錄　(1)＝2 006，＝＝260.2. b＝ ＋ ＝6.2， 錯(cuò)因　求b時(shí)計(jì)算出錯(cuò)，b值不準(zhǔn)確．a(chǎn)＝－b＝260.2－6.22 006＝－12 177. ∴＝6.2x－12 177. (2)＝6.22 012－12 177＝297.4. 正解　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份－xx －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得， ＝0，＝3.2， b＝ ＝＝6.5，a＝－b＝3.2. 由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2， 即＝6.5(x－2 006)＋260.2.① (2)利用直線方程①，可預(yù)測(cè)xx年的糧食需求量為 6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(萬噸)．