2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第七章 第4講 知能訓練輕松闖關.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第七章 第4講 知能訓練輕松闖關 1．(xx惠州模擬)已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是(　　) A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β B．l?α，m?β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 解析：選C．借助正方體模型進行判斷．易排除選項A，B，D，故選C． 2．(xx濟南模擬)平面α∥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，a?α，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 解析：選D．若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B．若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C．故選D． 3．(xx大連市雙基測試)在空間中，a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則真命題是(　　) A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C．若a∥α，a∥b，則b∥α D．若α∥β，a?α，則a∥β 解析：選D．對于A，平行于同一平面的兩條直線的位置關系可能是平行、相交或者異面，因此選項A不正確；對于B，分別位于兩個相互垂直的平面內的兩條直線可能是平行的或異面的或相交的，因此選項B不正確；對于C，直線b可能位于平面α內，此時結論不正確；對于D，直線a與平面β沒有公共點，因此a∥β，選項D正確． 4． 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內且與平面D1EF平行的直線(　　) A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數(shù)條 解析：選D．由題設知平面ADD1A1與平面D1EF有公共點D1，由平面的基本性質中的公理知必有過該點的公共直線l，在平面ADD1A1內與l平行的線有無數(shù)條，且它們都不在平面D1EF內，由線面平行的判定定理知它們都與平面D1EF平行． 5． 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則(　　) A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形 解析：選B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，∴EF∥平面BCD．又H，G分別為BC，CD的中點，∴HG綊BD，∴EF∥HG且EF≠HG．∴四邊形EFGH是梯形． 6． 如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關系是__________． 解析：在平面ABD中，＝， ∴MN∥BD． 又MN?平面BCD，BD?平面BCD， ∴MN∥平面BCD． 答案：平行 7．(xx汕頭質檢)若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中真命題的序號是________． ①若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線； ②若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線； ③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β； ④若m，n在平面α內的射影互相平行，則m，n互相平行． 解析：①為假命題；②為真命題；在③中，n可以平行于β，也可以在β內，故是假命題；在④中，m，n也可能異面，故為假命題． 答案：② 8．(xx湖南長沙一中高考模擬)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________． 解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ． 又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ， 設PQ∩AB＝M，∵AB∥CD， ∴△APM∽△DPQ． ∴＝＝2，即PQ＝2PM． 又知△APM∽△ADB，∴＝＝， ∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a． 答案：a 9． 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G，求證：FG∥平面ADD1A1． 證明：因為EH∥A1D1，A1D1∥B1C1， EH?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1， 所以EH∥平面BCC1B1． 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG， 所以EH∥FG，即FG∥A1D1． 又FG?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1， 所以FG∥平面ADD1A1． 10． 如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點． (1)求證：AM＝CM； (2)若N是PC的中點，求證：DN∥平面AMC． 證明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1， ∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC． 又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC． 在Rt△PAB中，M為PB的中點，則AM＝PB， 在Rt△PBC中，M為PB的中點，則CM＝PB， ∴AM＝CM． (2)連接DB交AC于點F， ∵DC綊AB，∴DF＝FB． 取PM的中點G，連接DG，F(xiàn)M，則DG∥FM． 又DG?平面AMC，F(xiàn)M?平面AMC， ∴DG∥平面AMC． 連接GN，則GN∥MC， ∴GN∥平面AMC． 又GN∩DG＝G， ∴平面DNG∥平面AMC． ∵DN?平面DNG， ∴DN∥平面AMC． 1．在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是對角線AB1，BC1上兩點，且＝，求證：MN∥平面A1B1C1D1． 證明：如圖所示，在平面AA1B1B內，作MK∥A1B1交BB1于點K，因為A1B1?平面A1B1C1D1，MK?平面A1B1C1D1， 所以MK∥平面A1B1C1D1 連接KN，由MK∥A1B1可知＝， 又＝，所以＝，所以KN∥B1C1， 因為B1C1?平面A1B1C1D1，KN?平面A1B1C1D1，所以KN∥平面A1B1C1D1． 又MK，KN是平面MNK內兩條相交的直線，所以平面MNK∥平面A1B1C1D1， 因為MN?平面MNK，所以MN∥平面A1B1C1D1． 2． 如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點． (1)當?shù)扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值． 解：(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點，此時＝1． 連接A1B交AB1于點O，連接OD1． 由棱柱的性質，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點． 在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點， ∴OD1∥BC1． 又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1． ∴＝1時，BC1∥平面AB1D1． (2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O． 因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1． ∴＝，＝． 又∵＝1， ∴＝1，即＝1． 3．在正方體ABCDA1B1C1D1中，如圖． (1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F(xiàn)，并證明A1E＝EF＝FC． 解：(1)證明：因為在正方體ABCDA1B1C1D1中， AD綊B1C1， 所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D． 又因為C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD． 同理B1D1∥平面C1BD． 又因為AB1∩B1D1＝B1， AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD． (2)如圖，連接A1C1，交B1D1于點O1，連接AO1，與A1C交于點E． 又因為AO1?平面AB1D1， 所以點E也在平面AB1D1內， 所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點． 連接AC，交BD于點O，連接C1O，與A1C交于點F， 則點F就是A1C與平面C1BD的交點． 下面證明A1E＝EF＝FC． 因為平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F． 在△A1C1F中，O1是A1C1的中點， 所以E是A1F的中點， 即A1E＝EF． 同理可證OF∥AE， 所以F是CE的中點，即FC＝EF， 所以A1E＝EF＝FC．