2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二講 判別式——二次方程根的檢測器.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二講 判別式——二次方程根的檢測器 為了檢查產品質量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗鈔機，類似地，在解一元二次方程有關問題時，最好能知道根的特性：如是否有實數(shù)根，有幾個實數(shù)根，根的符號特點等．我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測器”，在以下方面有著廣泛的應用： 利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性； 運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過判別式，證明與方程相關的代數(shù)問題； 借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題． 【例題求解】 【例1】 已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是 ． 思路點撥 利用判別式建立關于的不等式組，注意、的隱含制約． 注：運用判別式解題，需要注意的是： (1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項系數(shù)不為0的隱含制約； (2)在解涉及多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導下，綜合運用方程、不等式的知識． 【例2】 已知三個關于的方程：，和，若其中至少有兩個方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是( ) A． B．或 C． D． 思路點撥 “至少有兩個方程有實根”有多種情形，從分類討論人手，解關于的不等式組，綜合判斷選擇． 【例3】 已知關于的方程， (1)求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根； (2)若等腰三角形△ABC的一邊長＝1，另兩邊長、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 思路點撥 對于(1)只需證明△≥0；對于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個與c相等兩種情況討論，運用判別式、根的定義求出、的值． 注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設計的一個熱點，但不一定每個這類題均有多解，還須結合三角形三邊關系定理予以取舍． （2）運用根的判別式討論方程根的個數(shù)為人所熟悉，而組合多個判別式討論方程多個根(三個以上)是近年中考，競賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法． 【例4】 設方程，只有3個不相等的實數(shù)根，求的值和相應的3個根． 思路點撥 去掉絕對值符號，原方程可化為兩個一元二次方程．原方程只有3個不相等的實數(shù)根，則其中一個判別式大于零，另一個判別式等于零． 【例5】已知：如圖，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成的三個三角形相似，設AE＝，問：這樣的點E是否存在?若存在， 這樣的點E有幾個?請說明理由． 思路點撥 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點E必須滿足∠AED+∠BEC＝90，為此，可設在AE上存在滿足條件的點E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學模型，通過判別式討論點E的存在與否及存在的個數(shù)． 注：有些與一元二次方程表面無關的問題，可通過構造方程為判別式的運用鋪平道路，常見的構造方法有： (1)利用根的定義構造； (2)利用根與系數(shù)關系構造； (3)確定主元構造． 學力訓練 1．已知，若方程有兩個相等的實數(shù)根，則= ． 2．若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 ． 3．已知關于方程有兩個不相等的實數(shù)解，化簡= ． 4．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C．且 D．且 5．已知一直角三角形的三邊為、、，∠B＝90，那么關于的方程的根的情況為( ) A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定 6．如果關于的方程只有一個實數(shù)根，那么方程的根的情況是( ) A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根 7．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的對邊分別為、、，已知，和是 關于的方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長． 8．已知關于的方程 (1)求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根； (2)如果方程的兩實根分別為、，滿足=3，求實數(shù)的值． 9．、為實數(shù)，關于的方程有三個不等的實數(shù)根． (1)求證：； (2)若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內角的度數(shù)，求證該三角形必有一個內角是60； (3)若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值． 10．關于的兩個方程，中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 ． 11．當= ，= 時，方程有實數(shù)根． 12．若方程有且只有相異二實根，則的取值范圍是 ． 13．如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么關于的方程的實根的個數(shù)( ) A．2 B．1 C．0 D．不能確定 14．已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實數(shù)根的方程共有( ) A12個 B．10個 C． 7個 D．5個 15．已知△ABC的三邊長為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是( ) A．有兩相等實根 B．有兩相異實根 C．無實根 D．不能確定 16．若a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個方程有兩個不相等的實數(shù)根． 17．已知三個實數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個大于 18．關于的方程有有理根，求整數(shù)是的值． 19．考慮方程① (1)若=24，求一個實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)滿足①式． (2)若≥25，是否存在實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)滿足①式?說明你的結論． 20．如圖，已知邊長為的正方形ABCD內接于邊長為的正方形EFGH，試求的取值范圍． 參考答案