2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文 (III).doc

2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文 (III) 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分） 1. 全集U={2，3，4，5，6}，集合A={2，5，6}，B={3，5}，則（?U A）∩B= ______ ． 2. 命題“?x＞0，x2-3x+2＜0”的否定是______． 3. 已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為_______. 4. 求值：= ______ ． 5. 已知α∈{-2，-1，-，1，2，3}，若冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，則α=______． 6. 若“x＞a”是“x2-5x+6≥0”成立的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_______________． 7. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________． 8. 已知命題恒成立，命題，使得，若命題為真命題，則實數(shù)的取值范圍為_______. 9. 已知函數(shù)f（x）=，若f（-3）=5，則f（3）= ______ ． 10. 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+2）= -，且當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（-xx）+f（xx）=______． 11. 已知邊長分別為a，b，c的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，則三角形OAB，OBC，OAC的面積分別為，由得，類比得四面體的體積為V，四個面的面積分別為，，，，則內(nèi)切球的半徑______． 12. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．函數(shù).如果對于，，使得，則實數(shù)的取值范圍是 . 13. 知函數(shù)，實數(shù)且，滿足，則的取值范圍是________. 14. 若函數(shù)f（x）=恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______． 二、解答題（本大題共6小題，共計90分） 15．（本題滿分14分）已知，和都是實數(shù)． （1）求復(fù)數(shù)； （2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍． 16. （本題滿分14分）設(shè)全集是實數(shù)集R，A={x|≤x≤3}，B={x||x|+a＜0}． （1）當(dāng)a=-4時，求A∩B和A∪B； （2）若（?RA）∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍． 17. （本題滿分14分） 命題p：函數(shù)有意義，命題q：實數(shù)x滿足． 當(dāng)時，若p、q都是真命題，求實數(shù)x的取值范圍； 若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍． 18.（本題滿分16分）某輛汽車以千米/小時的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全要求）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，且. （1）若汽車以千米/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使每小時的油耗不超過9升，求的取值范圍； （2）求該汽車行駛千米的油耗的最小值. 19.（本題滿分16分）已知函數(shù)，函數(shù). ⑴若的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍； ⑵當(dāng)，求函數(shù)的最小值； ⑶是否存在實數(shù)，，使得函數(shù)的定義域為[，],值域為 [4，4]？若存在，求出，的值；若不存在，則說明理由. 20. （本題滿分16分）已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3． （1）若a=0時，求函數(shù)f（x）的零點； （2）若a=4時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值和最小值； （3）當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f（x）≤2x-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 江陰市第一中學(xué)xx～xx第二學(xué)期期中考試 1.【答案】{3} 【解析】 【分析】 本題考查了集合的定義與計算問題，是基礎(chǔ)題． 根據(jù)補集與交集的定義計算即可． 【解答】 解：U={2，3，4，5，6}， 集合A={2，5，6}，B={3，5}， 所以?UA={3，4}， 所以（?UA）∩B={3}． 故答案為{3}． 2.【答案】?x＞0，x2-3x+2≥0 【解析】 解：命題“對?x∈R，x3-x2+1＜0”是全稱命題，否定時將量詞?x＞0改為?x＞0，＜改為≥ 故答案為：?x＞0，x3-x2+1≥0 命題“對?x∈R，x3-x2+1＜0”是全稱命題，其否定應(yīng)為特稱命題，注意量詞和不等號的變化． 對命題“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，P（X）”； 對命題“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，P（X）”， 即對特稱命題的否定是一個全稱命題，對一個全稱命題的否定是全稱命題 3.【答案】-2 【解析】 【分析】 ?運用復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)，化簡，再由復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，解方程即可得到所求值， ?本題考查復(fù)數(shù)的乘除運算，注意運用共軛復(fù)數(shù)，同時考查復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題． 【解答】 解：a∈R，i為虛數(shù)單位， ===-i 由為實數(shù)， 可得-=0， 解得a=-2． 故答案為-2． 4.【答案】 【解析】 【分析】 本題考查指數(shù)冪及對數(shù)運算，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意運算法則的合理運用． 利用指數(shù)冪及對數(shù)運算法則直接求解. 【解答】 解： =+ = =. 故答案為. 5.【答案】-1 【解析】 解：∵α∈{-2，-1，-，1，2，3}， 冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減， ∴a是奇數(shù)，且a＜0， ∴a=-1． 故答案為：-1． 由冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，得到a是奇數(shù)，且a＜0，由此能求出a的值． 本題考查實數(shù)值的求法，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題． 6.【答案】[3，+∞） 【解析】 解：由x2-5x+6≥0得x≥3或x≤2， 若“x＞a”是“x2-5x+6≥0”成立的充分不必要條件， 則a≥3， 即實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）， 故答案為：[3，+∞） 求出不等式的等價條件，結(jié)合充分不必要條件的定義進行求解即可． 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)條件求出不等式的等價條件是解決本題的關(guān)鍵． 7.【答案】? 【解析】 【分析】 本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的原則，是中檔題．求出原函數(shù)的定義域，分析內(nèi)函數(shù)t=－x2+2x的單調(diào)性，由于外層函數(shù)為減函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間即為復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間． 【解答】 解：令t=－x2+2x，由－x2+2x＞0，得0<x<2． ∴函數(shù)的定義域為（0，2），當(dāng)x∈時，內(nèi)層函數(shù)t=-x2+2x為增函數(shù)，而外層函數(shù)為減函數(shù)， ∴函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞減區(qū)間是． ?故答案為． 8.【答案】 【解析】 【分析】 本題主要考查全稱命題與特稱命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，考查了邏輯推理能力與計算能力. 由，恒成立，得，則，求出a的取值范圍；由命題Q得，再由為真命題即可求出總的取值范圍. 【解答】 解：因為命題，恒成立， 所以對于恒成立， 即，解得； 因為命題，使得， 所以. 因為命題為真命題， 所以命題P與Q均為真命題， 則，即. 故答案為. 9.【答案】-7 【解析】 解：∵函數(shù)f（x）=ax5+bx3+cx-1，f（-3）=5， ∴f（-3）=-243a-27b-3c-1=5， ∴243a+27b+3c=-6， ∴f（3）=243a+27b+3c-1=-7． 故答案為：-7． 由已知得243a+27b+3c=-6，由此能求出f（3）的值． 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用． 10.【答案】0 【解析】 解：對于x≥0，都有f（x+2）=-， ∴f（x+4）=-=-=f（x），即當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)， ∵當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1）， ∴f（-xx）=f（xx）=f（5044+1）=f（1）=log22=1， f（xx）=f（5044+3）=f（3）=f（2+1）=-=-1， 則f（-xx）+f（xx）=-1+1=0， 故答案為：0． 根據(jù)條件關(guān)系得到當(dāng)x≥0時，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化求解即可． 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件求出是的周期性，以及利用函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵． 11.【答案】 【解析】 【分析】 本題主要考查類比推理的應(yīng)用，要求正確理解類比的關(guān)系，本題的兩個結(jié)論實質(zhì)是利用了面積相等和體積相等來推導(dǎo)的．由三角形的面積公式可知，是利用等積法推導(dǎo)的，即三個小三角形的面積之和等于大三角形ABC的面積，根據(jù)類比推理可知，將四面體分解為四個小錐體，則四個小錐體的條件之和為四面體的體積，由此算出內(nèi)切球的半徑． ? 【解答】 解：由條件可知，三角形的面積公式是利用的等積法來計算的． ∴根據(jù)類比可以得到，將四面體分解為四個小錐體，每個小錐體的高為內(nèi)切球的半徑， ∴根據(jù)體積相等可得， 即內(nèi)切球的半徑， 故答案為． 12. 【答案】 13.【答案】（12,32） 【解析】 【分析】 本題考查了函數(shù)的零點與方程的根關(guān)系、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)和分段函數(shù)，由的圖象得，-a=b，c+d=4，且1<c<2，所以，從而得出結(jié)果. 【解答】 解：由的圖象得，-a=b，c+d=4，且1<c<2， ∴ ， ∵1<c<2， ∴， ∴， ∴的取值范圍是（12,32）， 故答案為（12,32）. 14.【答案】[，1）∪[3，+∞） 【解析】 解：①當(dāng)a≤0時，f（x）＞0恒成立， 故函數(shù)f（x）沒有零點； ②當(dāng)a＞0時，3x-a=0， 解得，x=log3a，又∵x＜1； ∴當(dāng)a∈（0，3）時，log3a＜1， 故3x-a=0有解x=log3a； 當(dāng)a∈[3，+∞）時，log3a≥1， 故3x-a=0在（-∞，1）上無解； ∵x2-3ax+2a2=（x-a）（x-2a）， ∴當(dāng)a∈（0，）時， 方程x2-3ax+2a2=0在[1，+∞）上無解； 當(dāng)a∈[，1）時， 方程x2-3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且僅有一個解； 當(dāng)a∈[1，+∞）時， 方程x2-3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且僅有兩個解； 綜上所述， 當(dāng)a∈[，1）或a∈[3，+∞）時， 函數(shù)f（x）=恰有2個零點， 故答案為：[，1）∪[3，+∞）． ①當(dāng)a≤0時，f（x）＞0恒成立，②當(dāng)a＞0時，由3x-a=0討論，再由x2-3ax+2a2=（x-a）（x-2a）討論，從而確定方程的根的個數(shù)． 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用． 15．【答案】解：（Ⅰ）設(shè)，則 ∵和都是實數(shù)，∴ ……………………………4分 解得 ∴ …………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴ ∵在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限， ∴ …………………………………………………11分 解得 即實數(shù)a的取值范圍是（-2，2）． ………………………………………………14 16.【答案】解：（1）全集是實數(shù)集R，A={x|≤x≤3}，…………………1分 當(dāng)a=-4時，B={x||x|＜4}={x|-4＜x＜4}，……………………….......................…2分 A∩B={x|≤x≤3}，………………………….............................................................4分 A∪B={x|-4＜x＜4}；...........................................................................................................................6分 （2）?RA={x|x＜或x＞3}， 且（?RA）∩B=B， ∴B??RA；…………………………..............................................................................8分 當(dāng)B=?時，即a≥0，滿足B??R；..............................................................................10分 當(dāng)B≠?，即a＜0，B={x|a＜x＜-a}； 要使B??RA，只需-a≤， 解得-≤a＜0；………………....................................................................................13分 綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥-}．......................................................................14分 【解析】 （1）化簡a=-4時集合B，再寫出A∩B與A∪B； （2）求出A的補集?RA，再根據(jù)（?RA）∩B=B得出B??RA；討論B=?和B≠?時，求出a的取值范圍． 本題考查了集合的化簡與運算問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． 17.【答案】解：（1）由-x2+4ax-3a2＞0得x2-4ax+3a2＜0， 即（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0， 得a＜x＜3a，a＞0，則p：a＜x＜3a，a＞0． 若a=1，則p：1＜x＜3， 由解得2＜x＜3． 即q：2＜x＜3． 若p∧q為真，則p，q同時為真， 即，解得2＜x＜3， ∴實數(shù)x的取值范圍（2，3）．...........................................................................................7分 （2）若q是p的充分不必要條件， ∴即（2，3）是（a，3a）的真子集． 所以，且3a=3,a=2不能同時成立, 解得1≤a≤2． ?實數(shù)a的取值范圍為[1，2]．...........................................................................................14分 【解析】 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，屬于中檔題． （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍； （2）利用q是p的充分不必要條件，得到集合之間的包含關(guān)系，從而求實數(shù)a的取值范圍． 18.【答案】 【解析】（1）由題意可得當(dāng)x=120時， =11.5， 解得k=100，由（x﹣100+）≤9， 即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100， 又60≤x≤120，可得60≤x≤100， 每小時的油耗不超過9升，x的取值范圍為[60，100]；...........................6分 （2）設(shè)該汽車行駛100千米油耗為y升，則 y=?=20﹣+（60≤x≤120）， 令t=，則t∈[，]， 即有y=90000t2﹣20kt+20=90000（t﹣）2+20﹣， 對稱軸為t=，由60≤k≤100，可得∈[，]， ①若≥即75≤k＜100， 則當(dāng)t=，即x=時，ymin=20﹣； ②若＜即60≤k＜75， 則當(dāng)t=，即x=120時，ymin=﹣． 答：當(dāng)75≤k＜100，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為20﹣升； 當(dāng)60≤k＜75，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為﹣升．...................16分 19. 【答案】⑴由題意對任意實數(shù)恒成立， ∵ 時顯然不滿足 ∴ ∴........................................................................................4分 ⑵令，則 ∴ ......................................................................10分 ⑶∵= ∴ ∴ ∴函數(shù)在[，]單調(diào)遞增， ∴ 又∵ ∴..................................................................................................16分 20.【答案】解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|+2x-3=， 由x2+2x-3=0得x=1或x=-3（舍）， 由-x2+2x-3=0得方程無解， 綜上得，函數(shù)f（x）的零點為x=1；......................................................................4分 （2）當(dāng)a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3； ①當(dāng)2≤x＜4時，f（x）=x（4-x）+2x-3=-x2+6x-3， 當(dāng)x=2時，f（x）min=5；當(dāng)x=3時，f（x）max=6； ②當(dāng)4≤x≤5時，f（x）=x（x-4）+2x-3=x2-2x-3=（x-1）2-4， 當(dāng)x=4時，f（x）min=5；當(dāng)x=5時，f（x）max=12； 綜上可知：函數(shù)f（x）的最大值為12，最小值為5．.........................................10分 （3）若x≥a，原不等式化為f（x）=x2-ax≤1，即a≥x-在x∈[1，2]上恒成立， ∴a≥（x-）max，即a≥， 若x＜a，原不等式化為f（x）=-x2+ax≤1，即a≤x+在x∈[1，2]上恒成立， ∴a≤（x+）min，即a≤2， 綜上可知：a的取值范圍為≤a≤2......................................................................16分 【解析】 （1）當(dāng)a=0時，去絕對值變分段函數(shù)，再求f（x）=0的根，即為函數(shù)零點； （2）當(dāng)a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3；再對x的取值進行分類討論去掉絕對值符號：①當(dāng)2≤x＜4時，②當(dāng)4≤x≤5時，分別求出在各自區(qū)間上的最值，最后綜合得到函數(shù)f（x）的最值． （3）題目中條件：“x∈[1，2]時，f（x）≤2x-2恒成立”轉(zhuǎn)化為f（x）=x2-ax≤1恒成立，下面只要利用分離參數(shù)法求出函數(shù)x-和x+在給定區(qū)間上的最值即得． 本題考查了函數(shù)恒成立問題，屬難題．