2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第三講 活力的韋達定理.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第三講 活力的韋達定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的． 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內(nèi)容，應用廣泛，主要體現(xiàn)在： 運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值； 運用韋達定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征； 利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等． 韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路． 韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學思想方法． 【例題求解】 【例1】 已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ． 思路點撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例 【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為( ) A． B．或2 C． D．或2 思路點撥 可將兩個等式相減，得到、的關系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關系的應用創(chuàng)造了條件． 注：應用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧： (1)恰當組合； (2)根據(jù)根的定義降次； (3)構(gòu)造對稱式． 【例3】 已知關于的方程： (1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根． (2)若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應的、． 思路點撥 對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手． 【例4】 設、是方程的兩個實數(shù)根，當m為何值時，有最小值?并求出這個最小值． 思路點撥 利用根與系數(shù)關系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進行的． 注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性． 【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關于的方程的兩個根． (1)當m＝2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由． (2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ＝1，且ABBC)的長是關于的方程的兩個根． (1)求rn的值； （2）若E是AB上的一點，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的，請說明理由． 16．設m是不小于的實數(shù)，使得關于的方程工有兩個不相等的實數(shù)根、． (1) 若，求m的值． (2) 求的最大值． 17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值． 18．設、、為三個不同的實數(shù)，使得方程和和有一個相同的實數(shù)根，并且使方程和也有一個相同的實數(shù)根，試求的值． 參考答案