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內(nèi)蒙古鄂爾多斯西部四校2018屆高三下學期期中聯(lián)考
數(shù)學(文)試卷
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合,,則集合不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合,由可知,由此可得結(jié)論.
【詳解】,因為,所以.因為,所以都滿足條件,顯然不滿足條件.
故選D.
【點睛】本題考查交集以及集合的包含關(guān)系,屬基礎題.
2.設復數(shù)滿足:(是虛數(shù)單位),則( )
A. B.
C. 4+2+21?2i D. 4?2+21+2i
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用復數(shù)的乘法運算計算即可.
【詳解】因為z2+i=2?2i,所以z=2?2i2+i=4+2+21?2i
故選C.
【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算,屬基礎題.
3.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x≤2,x?2y+2≥0,x+y+2≥0,,則z=?x3+y的最大值為( )
A. ?143 B. -2 C. 43 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
作出如圖所示的可行域,平移直線y=x3+z即可得到z=-x3+y的最大值.
【詳解】作出如圖所示的可行域為三角形ABC(包括邊界),把z=?x3+y改寫成y=x3+z,當且僅當動直線y=x3+z過點C2,2時,取得最大值為43
故選C.
【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用,屬基礎題.
4.ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=4,c=32,sinB=23,則sinA的值為( )
A. 10226 B. 624
C. 10?226 D. 6+24
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意,由正弦定理可得sinC=22,因為b
b>0的左、右焦點分別為F1,F2,已知a=2,過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點,且AF2=54,BF2=52,則橢圓C的離心率為( )
A. 66 B. 12 C. 22 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意在△AF2F1 中根據(jù)余弦定理可得cos∠AF2F1=4c2?65c,在△BF2F1 中cos∠BF2F1=4c2+410c,由
∠AF2F1+∠BF2F1=π,可得4c2?65c+4c2+410c=0,求出c=63,即可得到橢圓C的離心率.
【詳解】根據(jù)題意在△AF2F1 中根據(jù)余弦定理可得
cos∠AF2F1=2c2+AF22?2a?AF222?2c?AF2=4c2?65c,
在△BF2F1 中cos∠BF2F1=2c2+BF22?2a?BF222?2c?BF2=4c2+410c,因為∠AF2F1+∠BF2F1=π,所以4c2?65c+4c2+410c=0,所以c=63,所以橢圓C的離心率為ca=66.
故選A.
【點睛】本題考查橢圓離心率的求法,解題的關(guān)鍵是利用余弦定理得到cos∠AF2F1,cos∠BF2F1.
10.對于三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0,定義f′′x是y=fx的導函數(shù)y=f′x的導函數(shù),經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)命題:“一定存在實數(shù)p,q,r,使得fx=ax+p3+qx+p+r成立”為真,請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題:
①一定存在實數(shù)x1,使得f′x=0成立;②一定存在實數(shù)x2=?b3a,使得f″x2=0成立;③若x1+x2=?2p,則fx1+fx2=?2r;④若存在實數(shù)x3,x4,且x30分類討論,注意a>0時結(jié)合函數(shù)圖像求出實數(shù)的取值范圍,最后求并集即可.
【詳解】關(guān)于x的不等式ax-12lnx≤1在區(qū)間1,2上恒成立?關(guān)于x的不等式ax-12≤lnx在區(qū)間1,2上恒成立.顯然當a≤0時,關(guān)于x的不等式ax-12lnx≤1在區(qū)間1,2上恒成立.當a>0時,在同一坐標系內(nèi)分別作出y=ax-12,y=lnx的圖象,所以關(guān)于x的不等式ax-12≤lnx在區(qū)間1,2上恒成立? A點的位置不低于B點的位置?ln2≥a2-12?0b>0右頂點A的直線x+6y?2=0交橢圓C于另外一點B,已知點B的縱坐標為35.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx?1k>0與橢圓C交于P,Q兩點P,Q分別在直線x+6y?2=0的上、下方,設四邊形APBQ的面積為S,求1+6k21+6kS的取值范圍.
【答案】(1)x24+y2=1;(2)65,9210.
【解析】
【分析】
(1)由已知得a=2,根據(jù)點B的縱坐標為35代入直線方程可得B的坐標為?85,35 ,
將B點坐標代入橢圓C的方程,可求出b,由此得到橢圓C的方程;
(2)設Px1,y1,Qx2,y2,直線PQ的方程為y=kx-1,代入x24+y2=1得,1+4k2x2-8k2x+4k2-1=0,利用韋達定理可得x1-x2=43k2+11+4k2,則四邊形的面積為S=12?ABx1+6y1-237+x2+6y2-237=31+6k10x1-x2
故1+6k21+6kS=65?1+6k23k2+11+4k2=6598-184k2+12,由此可求1+6k21+6kS的取值范圍.
【詳解】解:(1)由已知得a=2,根據(jù)點B的縱坐標為35代入直線方程可得B的坐標為?85,35 ,
將B點坐標代入x2a2+y2b2=1得,-8524+352b2=1,解得b=1,
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)設Px1,y1,Qx2,y2,直線PQ的方程為y=kx-1,
代入x24+y2=1得,1+4k2x2-8k2x+4k2-1=0,
x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2-11+4k2,
因為k>0,所以x1-x2=x1+x22-4x1x2=8k21+4k22-4?4k2-11+4k2=43k2+11+4k2,
所以四邊形的面積為S=12?ABx1+6y1-237+x2+6y2-237
=123375x1+6y1-237-x2+6y2-237
=310x1-x2+6y1-y2=310x1-x2+6kx1-x2=31+6k10x1-x2,
所以1+6k21+6kS=65?1+6k23k2+11+4k2=6598-184k2+12,
因為k>0,所以98-184k2+12∈1,324,所以1+6k21+6kS的取值范圍是65,9210.
【點睛】本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
21.已知函數(shù)fx=x2+2xe?x.
(1)求fx的極小值和極大值;
(2)設曲線y=fx的切點橫坐標為,切線斜率為kt,令gt=ktett+2,當切線在y軸上的截距為正時,求gt的取值范圍.
【答案】(1)fx的極小值為f?2=2?22e2,fx的極大值為f2=2+22e2;(2)?∞,4?22.
【解析】
【分析】
(1)fx=x2+2xe-x的定義域為R,令得fx2-x2ex=0,x=2,列表可求fx的極小值和極大值.
(2)由題可得曲線y=fx的切線的斜率為kt=ft=2-t2et,切線的方程為y-t2+2tet=2-t2etx-t,由切線在y軸上的截距為正可得t>-1,則gt=ktett+1=2-t2t+2,t>-1,令t+2=u>1,t=u-2,可求gt的取值范圍.
【詳解】(1)fx=x2+2xe-x的定義域為R,令得fx2-x2ex=0,x=2,
x
-∞,-2
-2
-2,2
2
2,+∞
fx
-
0
+
0
-
fx
單調(diào)減
極小值
單調(diào)增
極大值
單調(diào)減
所以fx的極小值為f-2=2-22e2,fx的極大值為f2=2+22e2.
(2)由題可得曲線y=fx的切線的斜率為kt=ft=2-t2et,
切線的方程為y-t2+2tet=2-t2etx-t,
令x=0得,y=t3+t2et>0,解得,t>-1,
所以gt=ktett+1=2-t2t+2,t>-1,
令t+2=u>1,t=u-2,
所以y=2-u-22u=4-u+2u,其中u>1,
所以22≤u+2u,當且僅當u=2時取等號,所以gt的取值范圍為-∞,4-22.
【點睛】】本題考查利用導數(shù)求曲線的切線斜率,切線方程及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識,考查等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法,考查運用能力,屬難題.
請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
22.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
已知動點P,Q都在曲線C:x=acosαy=bsinα(α為參數(shù),a,b是與α無關(guān)的正常數(shù))上,對應參數(shù)分別為α與2α0<α<2π,M為PQ的中點.
(1)求Mx,y的軌跡的參數(shù)方程;
(2)作一個伸壓變換:Mx,y→Nxa,yb,求出動點NX,Y點的參數(shù)方程,并判斷動點NX,Y的軌跡能否過點1,0.
【答案】(1)x=a2cosα+cos2α,y=b2sinα+sin2α,(α為參數(shù),0<α<2π,a,b是與α無關(guān)的正常數(shù));(2)動點NX,Y點的參數(shù)方程為X=cosα+cos2α2,Y=sinα+sin2α2,,不能過點1,0.
【解析】
【分析】
(1)利用參數(shù)方程與中點坐標公式即可得出;
(2)由已知得,動點NX,Y點的參數(shù)方程為X=cosα+cos2α2,Y=sinα+sin2α2,
兩等式平方后相加得,4X2+4Y2=2+2cosα,若動點NX,Y的軌跡過點1,0,則4X2+4Y2=4,導出矛盾.
【詳解】解:(1)依題意得,Pacosα,bsinα,Qacos2α,bsin2α,因此Ma2cosα+a2cos2α,b2sinα+a2sin2α,
M的軌跡的參數(shù)方程為x=a2cosα+cos2α,y=b2sinα+sin2α,(α為參數(shù),0<α<2π,a,b是與α無關(guān)的正常數(shù)).
(2)由已知得,動點NX,Y點的參數(shù)方程為X=cosα+cos2α2,Y=sinα+sin2α2,
兩等式平方后相加得,4X2+4Y2=2+2cosα,
因為0<α<2π,所以0≤2+2cosα<4,
所以0≤4X2+4Y2<4,
若動點NX,Y的軌跡過點1,0,則4X2+4Y2=4,矛盾,
所以動點NX,Y的軌跡不能過點1,0.
【點睛】本題考查了參數(shù)方程與中點坐標公式、反證法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
23.[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)fx=12x-2+2-x2.
(1)求fx的最小值m;
(2)若p,q,r∈R+,且p+q+r=1,證明:p2+r2q+p2+q2r+q2+r2p≥2.
【答案】(1)m=1;(2)詳見解析.
【解析】
【分析】
(1)利用絕對值三角不等式可求fx的最小值m;
(2)利用基本不等式證明.
【詳解】解:(1)因為,
當且僅當,即時取等號,所以的最小值;
(2)證明:由已知得,
因為,所以,,,
所以 .(當且僅當時“=”成立).
【點睛】本題考查絕對值三角不等式的應用,基本不等式的應用,屬于中檔題.
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