中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)卷 圖形的相似（含解析）.doc

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圖形的相似 一、選擇題 1.已知 ，下列變形錯誤的是（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 由 得，3a=2b， A. 由 得 ，所以變形正確，故不符合題意； B. 由 得3a=2b，所以變形錯誤，故符合題意； C. 由 可得 ，所以變形正確，故不符合題意； D.3a=2b變形正確，故不符合題意. 故答案為：B. 【分析】根據(jù)已知比例式可得出3a=2b，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)對各選項逐一判斷即可。 2.如圖，已知直線a∥b∥c，直線m分別交直線a、b、c于點A,B,C，直線n分別交直線a、b、c于點D,E,F,若 , ,則 的值應(yīng)該（ ） A.等于 B.大于 C.小于 D.不能確定 【答案】B 【解析】 ：如圖，過點A作AN∥DF，交BE于點M，交CF于點N ∵a∥b∥c ∴AD=ME=NF=4（平行線中的平行線段相等） ∵AC=AB+BC=2+4=6 ∴ 設(shè)MB=x，CN=3x ∴BE=x+4，CF=3x+4 ∵ ∵x＞0 ∴ 故答案為：B 【分析】過點A作AN∥DF，交BE于點M，交CF于點N，根據(jù)已知及平行線中的平行線段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根據(jù)平行線分線段成比例得出BM和CN的關(guān)系，設(shè)MB=x，CN=3x，分別表示出BE、CF，再求出它們的比，利用求差法比較大小，即可求解。 3.在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A（6，8），B（10，2），若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的 后得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標為（ ） A.（5，1）B.（4，3）C.（3，4）D.（1，5） 【答案】C 【解析】 ：∵以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的 后得到線段CD， ∴端點C的橫坐標和縱坐標都變?yōu)锳點的橫坐標和縱坐標的一半， 又∵A（6，8）， ∴端點C的坐標為（3，4）． 故答案為：C． 【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，位似圖形上一個點的坐標等于原圖形上對應(yīng)點的橫縱坐標分別乘以位似比，或位似比的相反數(shù)。 4.如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，DE∥BC，與邊AC交于點E，連結(jié)BE，記△ADE，△BCE的面積分別為S1 ， S2 ， （ ） A.若 ，則 B.若 ，則 C.若 ，則 D.若 ，則 【答案】D 【解析】 :如圖，過點D作DF⊥AC于點F，過點B作BM⊥AC于點M ∴DF∥BM，設(shè)DF=h1 ， BM=h2 ∴ ∵DE∥BC ∴ ∴ ∵若 ∴設(shè) =k＜0.5（0＜k＜0.5） ∴AE=AC?k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k ∵S1= AE?h1= AC?k?h1 ， S2= CE?h2= AC（1-k）h2 ∴3S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）?ACh2 ∵0＜k＜0.5 ∴ k2＜（1-K） ∴3S1＜2S2 故答案為：D 【分析】過點D作DF⊥AC于點F，過點B作BM⊥AC于點M，可得出DF∥BM，設(shè)DF=h1 ， BM=h2 ， 再根據(jù)DE∥BC，可證得 ，若 ，設(shè) =k＜0.5（0＜k＜0.5），再分別求出3S1和2S2 ， 根據(jù)k的取值范圍，即可得出答案。 5.如圖,在△ABC中,點D在BC邊上,連接AD,點G在線段AD上,GE∥BD,且交AB于點E,GF∥AC,且交CD于點F,則下列結(jié)論一定正確的是( ). A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 ：∵GE∥BD, ∴ ,因此A不符合題意； ∵GE∥BD, ∴ ① ∵GF∥AC ∴ ②，,因此B、C不符合題意； 由①②得; ,因此D符合題意； 故答案為：D 【分析】抓住已知條件：GE∥BD，GF∥AC，利用平行線分線段成比例，及中間比代換，對各選項逐一判斷即可求解。 6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD上一點，且AE=2ED，EC交對角線BD于點F，則 等于（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 ：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴ = ，設(shè)ED=k，則AE=2k，BC=3k，∴ = = ．故答案為：A．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得ED∥BC，BC=AD，根據(jù)相似三角形的判定可得△DEF∽△BCF，則可得比例式,設(shè)ED=k，則根據(jù)題意可得AE=2k，BC=3k，所以. 7.已知 與 相似，且相似比為 ，則 與 的面積比（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 ∵ 與 相似，且相似比為 ∴ 與 的面積比為：1:9 故答案為：D 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可解答。 8.如圖，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD＝（ ） A.B.＋1C.4D.2 【答案】B 【解析】 ：設(shè)AD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)的得出AB=AF=2，故DF=x-2, ∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=2,又四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴DC∶AD=FD∶DC,∴DC2=ADFD ,即22=x(x-2)，解得 ：x1= ,x2=（舍去）。 故答案為 ： 【分析】設(shè)AD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AB=AF=2，故DF=x-2,根據(jù)矩形的對邊相等得出DC=AB=2，根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于x的方程，求解得出答案。 9.要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為 ， 和 ，另一個三角形的最短邊長為2.5 cm，則它的最長邊為（ ） A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm 【答案】C 【解析】 設(shè)另一個三角形的最長邊為xcm，由題意得 5：2.5=9：x， 解得：x=4.5， 故答案為：C. 【分析】要制作兩個形狀相同的三角形框架，其實質(zhì)就是做兩個相似的三角形框架，設(shè)另一個三角形的最長邊為xcm，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程，求解即可得出答案。 10. 如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE＝4，過點E作EF∥BC，分別交BD、CD于G、F兩點．若M、N分別是DG、CE的中點，則MN的長為 （ ） A.3B.C.D.4 【答案】C 【解析】 ：取DF、CF中點K、H,連接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下圖）. ∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，BE=4. ∴AE=DF=2,CF=BE=4. ∴△DGF∽△BGE ∴==. ∴GF=2,EF=4. 又∵M、N、K、H、都是中點， ∴MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2, ∴MK=OH=1.KH=MO=3 ∴NO=2. 在Rt△MON中， ∴MN= == . 故答案為C. 【分析】取DF、CF中點K、H,連接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如上圖）；由正方形ABCD是邊長和BE的長可以得出AE=DF=2,CF=BE=4； 再由題得到△DGF∽△BGE，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出.GF=2,EF=4；再根據(jù)三角形中位線可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案. 11.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E為邊CD的中點，若菱形ABCD的周長為16，∠BAD＝60,則△OCE的面積是（ ）。 A.B.2C.D.4 【答案】A 解析 ：∵菱形ABCD的周長為16，∴菱形ABCD的邊長為4， ∵∠BAD＝60, ∴△ABD是等邊三角形， 又∵O是菱形對角線AC、BD的交點， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中， ∴AO= ， ∴AC=2A0=4 ， ∴S△ACD= ODAC= 24 =4 ， 又∵O、E分別是中點， ∴OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， ∴ , ∴ , ∴S△COE= S△CAD= 4 = . 故答案為：A. 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得菱形邊長為4，AC⊥BD，由一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得△ABD是等邊三角形；在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得AO= ，AC=2A0=4 ，根據(jù)三角形面積公式得S△ACD= ODAC=4 ，根據(jù)中位線定理得OE∥AD，由相似三角形性質(zhì)得 ,從而求出△OCE的面積. 二、填空題 12.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為數(shù)________. 【答案】3或1.2 【解析】 ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90，CD=AB=6，∴BD=10， ∵△PBE∽△DBC， ∴∠PBE=∠DBC，∴點P在BD上， 如圖1， 當DP=DA=8時，BP=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=2：10， ∴PE：6=2：10， ∴PE=1.2； 如圖2， 當AP=DP時，此時P為BD中點， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=1：2， ∴PE：6=1：2， ∴PE=3； 綜上，PE的長為1.2或3， 故答案為：1.2或3. 【分析】 根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得出∠BAD=∠C=90，利用勾股定理求出BD的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得出∠PBE=∠DBC，得出點P在BD上，然后分情況討論：當DP=DA=8時，BP=2；當AP=DP時，此時P為BD中點，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例，就可求出PE的長。 13.在Rt△ABC中∠C=90，AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于點F，且AF=4,EF= ,則AC=________． 【答案】 【解析】 ：作EG⊥AF，連接CF， ∵∠C=90， ∴∠CAB+∠CBA=90， 又∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴∠FAB+∠FBA=45，∴∠AFE=45， 在Rt△EGF中， ∵EF= ,∠AFE=45， ∴EG=FG=1， 又∵AF=4, ∴AG=3, ∴AE= ， ∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴CF平分∠ACB, ∴∠ACF=45， ∵∠AFE=∠ACF=45，∠FAE=∠CAF， ∴△AEF∽△AFC， ∴ , 即 , ∴AC= . 故答案為： . 【分析】作EG⊥AF，連接CF，根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線定義得∠FAB+∠FBA=45，再由三角形外角性質(zhì)得∠AFE=45，在Rt△EGF中，根據(jù)勾股定理得EG=FG=1，結(jié)合已知條件得AG=3,在Rt△AEG中，根據(jù)勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分線的交點，所以CF平分∠ACB,∠ACF=45，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得 ,從而求出AC的長. 14.如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，則△ADE與△ABC的面積的比為________． 【答案】1:9 【解析】 【解答】解：∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3， ∵DE//BC， ∴△ADE~△ABC， ∴ ， 則 故答案為：1:9. 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方；由平行可得△ADE~△ABC，而且相似比AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3. 15.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45，則AF的長為________． 【答案】 【解析】 ：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAD=∠B=90，AD=BC=4， ∴NF= x，AN=4﹣x， ∵AB=2， ∴AM=BM=1， ∵AE= ，AB=2， ∴BE=1， ∴ME= ， ∵∠EAF=45， ∴∠MAE+∠NAF=45， ∵∠MAE+∠AEM=45， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴ ， ∴ ， 解得：x= ∴AF= 故答案為： ． 【分析】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠BAD=∠B=90，AD=BC=4，根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出NF=x，AN=4﹣x，根據(jù)中點定義得出AM=BM=1，根據(jù)勾股定理得出BE=1，ME=， 然后判斷出△AME∽△FNA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AM ∶FN=ME∶AN，從而得出關(guān)于x的方程，求解得出x的值，根據(jù)勾股定理得出AF的長。 16.如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝ ，則AB的長為________． 【答案】2 【解析】 ：設(shè)AB=CD=2x，則AE=BE=CG=DG=x，AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2 ， ∵AG⊥GF， ∴∠AGD+∠CGF=90， 在矩形ABCD中，∠D=∠FCG=90， ∴∠AGD+∠DAG=90， ∴∠CGF=∠DAG， ∴△ADG~△GCF， ∴ ，即DGCG=ADCF， ∵DG=CG=x，CF= AD， ∴ , 解得x1=1,x2=-1（舍去）， 則AB=2x=2 故答案為：2. 【分析】由AG⊥GF，及∠D=∠FCG=90，可證明△ADG~△GCF，則 ，而CG=DG，CF= AD，則CG2= ，∴只需要得到另一個CG與AD的數(shù)量關(guān)系：由AC＝ 和勾股定理可知AD2=BC2=AC2-CD2=6-(2CG)2 ， 構(gòu)造方程即可解答. 17.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=15，AC= 20，點D在邊AC上，AD=5，DE⊥BC于點E，連結(jié)AE，則△ABE的面積等于________． 【答案】78 【解析】 :在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=15，AC= 20， ∴ BC=25 ∴△ABC的面積=ABAC=1520=150 ∵CD=AC-AD=20-5-15 ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=∠BAC=90 ∠C=∠C ∴△CDE∽△CBA 即CE:20=15：25 解之：CE=12 ∴BE=BC-CE=13 ∵S△ABE：S△ABC=BE:BC=13：25 ∴S△ABE：150=13：25 解之：S△ABE=78 故答案為：78 【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求出BC的長，就可求出△ABC的面積，再證明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，求出CE的長，從而求出BE的長，然后根據(jù)S△ABE：S△ABC=BE:BC，建立方程，求出△ABE的面積即可。 18.如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對角線BD延長線上一點，BD＝4，DE＝1，∠BAE＝45，則AB長為 ________． 【答案】 【解析】 ：連接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N． ∵∠BAE=45，∠BMA=90，∴∠MAB=∠MBA=45，∴AM=BM， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AOE=90，設(shè)AM=BM=b，ME=a， ∵∠E=∠E，∠AOE=∠BME=90，∴△AOE∽△BME，∴ = ，∴ = ， ∴a2+ab=15 ① 又∵a2+b2=25 ② ①5﹣②3得到：2a2+5ab﹣3b2=0，∴（a+3b）（2a﹣b）=0， ∴b=2a代入②得到a= ，∴b=2 ，∵AB= AM=2 ．故答案為2 ． 【分析】連接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷出∠MAB=∠MBA=45，根據(jù)等邊對等角得出AM=BM，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，∠AOE=90，設(shè)AM=BM=b，ME=a，然后判斷出△AOE∽△BME，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B E，從而得出關(guān)于a,b的方程，a2+ab=15 ①，根據(jù)勾股定理得出a2+b2=25 ②，①5﹣②3得到：2a2+5ab﹣3b2=0，求解得出，a,b的值，根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系由AB=AM得出答案。 19.邊長為2的正方形ABCD中E是AB的中點,P在射線DC上從D出發(fā)以每秒1個單位長度的速度運動,過P做PF⊥DE,當運動時間為________秒時，以點P、F、E為頂點的三角形與△AED相似 【答案】1或 【解析】 ∵四邊形ABCD是正方形，PF⊥DE， ∴∠A=∠DFP=∠ADC=90， ∴∠ADE+∠EDP=∠EDP+∠DPF=90， ∴∠ADE=∠FPD， ∴△ADE∽△FPD. （ 1 ）如圖1， 當∠DPE=90時，易得△FPD∽△FEP，則△ADE∽△FEP， 此時四邊形AEPD是矩形， ∴DP=AE=1， ∴t=1，即當t=1時，△ADE∽△FEP； （ 2 ）如圖2， 當DP=EP時，易得△FPE≌△FPD，則△FEP∽△ADE， 此時四邊形AEHD是矩形， ∴DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2， ∴PE2=HE2+HP2=PD2 ， ∴ ，解得： ； 綜上所述，當 或 時，以點P、F、E為頂點的三角形與△AED相似. 故答案為：1或 . 【分析】由題意知，不論點P運動到何處，易證得△ADE∽△FPD，所以只需△FEP與三角形FPD相似或全等即可。由題意可分兩種情況：（1）當∠DPE=90時，易得△ADE∽△FEP，可得比例式求解；（2）當DP=EP時，易得△FPE≌△FPD，則△FEP∽△ADE，于是可得比例式求解。 三、解答題 20.如圖，點D在△ABC的邊AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的長． 【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ = ，即 = ，解得，AC=2 ． 【解析】【分析】∠ACD=∠B，而∠A是公共角，所以根據(jù)有兩個角相等的兩個三角形相似可得△ADC∽△ACB，所以可得比例式,即,解得AC=2. 21.如圖，△ABC中，點D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，若AC= ，AD=1，求DB的長． 【答案】解：∵∠ACD=∠ABC， 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD ， ∴ ， ∵AC= ，AD=1， ∴ ， ∴AB=3， ∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 【解析】【分析】根據(jù)已知條件易證得△ABC∽△ACD ，由相似三角形的性質(zhì)可得比例式,將已知的線段代入即可求解。 22.如圖，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B，C重合），連接AG，作DE⊥AG，于點E，BF⊥AG于點F，設(shè) 。 （1）求證：AE=BF； （2）連接BE，DF，設(shè)∠EDF= ，∠EBF= 求證： （3）設(shè)線段AG與對角線BD交于點H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2 ， 求 的最大值． 【答案】（1）因為四邊形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90，又因為DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90， 所以∠ADE=∠BAF， 又因為BF⊥AG， 所以∠DEA=∠AFB=90， 又因為AD=AB 所以Rt△DAE≌Rt△ABF， 所以AE=BF （2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以 在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα= ，tanβ= 所以ktanβ= = = = =tanα 所以 （3）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則BG=k，所以△ABG的面積等于 k因為△ABD的面積等于 又因為 =k，所以S1= 所以S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= ≤ 因為0＜k＜1，所以當k= ，即點G為BC中點時， 有最大值 【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義，可證得∠ADE=∠BAF，∠ADE=∠BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可證得Rt△DAE≌Rt△ABF，從而可證得結(jié)論。 （2）根據(jù)已知易證Rt△BFG∽Rt△DEA，得出對應(yīng)邊成比例，再在Rt△DEF和Rt△BEF中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別表示出tanα、tanβ，從而可推出tanα=tanβ。 （3）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則BG=k，分別表示出△ABG、△ABD的面積，再根據(jù) =k,求出S1及S2 ， 再求出S1與S2之比與k的函數(shù)解析式，求出頂點坐標，然后根據(jù)k的取值范圍，即可求解。 23.如圖，以 的直角邊 為直徑作 交斜邊 于點 ，過圓心 作 ，交 于點 ，連接 . （1）判斷 與 的位置關(guān)系并說明理由； （2）求證： ； （3）若 ， ，求 的長. 【答案】（1）解：DE是圓O的切線證明：連接OD ∵OE∥AC ∴∠1=∠3，∠2=∠A ∵OA=OD ∴∠1=∠A ∴∠2=∠3 在△BOE和△DOE中 OE=OD，∠2=∠3，OE=OE ∴△BOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE=∠OBE=90 ∴OD⊥DE ∴DE是圓O的切線 （2）解：證明：連接BD∵AB是直徑 ∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90 ∵OE∥AC，O是AB的中點 ∴OE是△ABC的中位線 ∴AC=2OE ∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴ ∴BC2=2CD?OE ∵BC=2DE， ∴（2DE）2=2CD?OE ∴ （3）解：∵ 設(shè)：BD=4x，CD=3x ∵在△BDC中， ， ∴BC=2DE=5 ∴（4x）2+（3x）2=25 解之：x=1，x=-1（舍去） ∴BD=4 ∵∠ABD=∠C ∴AD=BD?tan∠ABD= 【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證明∠2=∠3，再證明△BOE≌△DOE，可證出OD⊥DE，即可得證。 （2）連接BD，證明OE是△ABC的中位線，得出AC=2OE，再證明△ABC∽△BDC，得出BC2=AC?CD，結(jié)合BC=2DE，AC=2OE，即可求證結(jié)論。 （3）根據(jù)三角函數(shù)的定義，BD=4x，CD=3x，先求出BC的長，再根據(jù)勾股定理求出x的值，就可得出BD的長，再根據(jù)∠ABD=∠C，利用銳角三角函數(shù)的定義得出AD=BD?tan∠ABD，即可解答。 24.如果三角形的兩個內(nèi)角 與 滿足 ＝90，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”． （1）若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90，∠A＝60，則∠B＝________； （2）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由． （3）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“準互余三角形”．求對角線AC的長． 【答案】（1）15 （2）解：存在， 如圖①，連結(jié)AE， 在Rt△ABC中， ∴∠B+∠BAC=90， ∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90， ∴△ABD是“準互余三角形”， 又∵△ABE也是“準互余三角形”， ∴∠B+2∠BAE=90， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90， ∴∠EAC=∠B, 又∵∠C=∠C, ∴△CAE∽△CBA， ∴ , 即CA2=CBCE， ∵AC＝4，BC＝5， ∴CE= . ∴BE=BC-CE=5- = . （3）解：如圖②， 將△BCD沿BC翻折得到△BCF, ∵CD＝12， ∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF, 又∵BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD， ∴∠CBD+∠BCD=90， ∴2∠CBD+2∠BCD=180， 即∠ABD+∠CBD+∠CBF=180， ∴A、B、F三點共線， 在Rt△AFC中， ∴∠CAB+∠ACF=90， 即∠CAB+∠ACB+∠BCF=90， ∴∠CAB+2∠ACB≠90， ∵△ABC是“準互余三角形”, ∴2∠CAB+∠ACB=90， ∴∠CAB=∠BCF， ∵∠F=∠F, ∴△FCB∽△FAC， ∴ , 即FC2=FAFB, 設(shè)BF=x， ∵AB=7, ∴FA=x+7, ∴x（x+7）=122, 解得：x1=9，x2=-16（舍去） ∴AF=7+9=16. 在Rt△AFC中， ∴AC= = =20. 【解析】 （1）解：∵△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90，∠A＝60，∴2∠B+∠A=90， ∴2∠B+60=90， ∴∠B=15. 故答案為：15 【分析】（1）根據(jù)“準互余三角形”，的定義，結(jié)合題意得2∠B+∠A=90，代入數(shù)值即可求出∠B度數(shù). （2）存在，根據(jù)直角三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得∠B+2∠BAD=90，根據(jù)“準互余三角形”，定義即可得△ABD是“準互余三角形”；根據(jù)△ABE是“準互余三角形”，以及直角三角形兩內(nèi)角互余可得∠EAC=∠B,根據(jù)相似三角形判定“AA”可得△CAE∽△CBA，再由相似三角形性質(zhì)得 ,由此求出CE= .從而得BE長. （3）如圖②，將△BCD沿BC翻折得到△BCF,根據(jù)翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、“準互余三角形”定義可得到△FCB∽△FAC，再由相似三角形性質(zhì)可得 ,設(shè)BF=x，代入數(shù)值即可求出x值，從而求出AF值，在Rt△AFC中，根據(jù)勾股定理即可求得AC長.