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1、 或
1.1.3 集合的基本運(yùn)算
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
課本從學(xué)生熟悉的集合出發(fā),結(jié)合實(shí)例,通過類比實(shí)數(shù)加法運(yùn)算引入集合間的運(yùn)算,同時,結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內(nèi)容時,課本繼續(xù)注重體現(xiàn)邏輯思考的方法,如類比等.
值得注意的問題:在全集和補(bǔ)集的教學(xué)中,應(yīng)注意利用圖形的直觀作用,幫助學(xué)生理解補(bǔ)集的概念,并能夠用直觀圖進(jìn)行求補(bǔ)集的運(yùn)算.
三維目標(biāo)
1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義,掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法,會求給定子集的補(bǔ)集,感受集合作為一種語言,在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔和準(zhǔn)確,進(jìn)一步提高類比的能力.
2.通過觀察和類比,借助Venn圖理解集
2、合的基本運(yùn)算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):交集與并集,全集與補(bǔ)集的概念.
教學(xué)難點(diǎn):理解交集與并集的概念,以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.
課時安排
2課時
教學(xué)過程
第1課時
導(dǎo)入新課
思路1.我們知道,實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算,兩個實(shí)數(shù)可以相加,例如5+3=8.類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算,集合是否也可以“相加”呢?
教師直接點(diǎn)出課題.
思路2.請同學(xué)們考察下列各個集合,你能說出集合C與集合A、B之間的關(guān)系嗎?
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理數(shù)},B={x|x是無理數(shù)}
3、,C={x|x是實(shí)數(shù)}.
引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、思考和交流,得出結(jié)論.教師強(qiáng)調(diào)集合也有運(yùn)算,這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
思路3.(1)①如圖1131甲和乙所示,觀察兩個圖的陰影部分,它們分別同集合A、集合B有什么關(guān)系？
圖1-1-3-1
②觀察集合A與B與集合C={1,2,3,4}之間的關(guān)系.
學(xué)生思考交流并回答,教師直接指出這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的課題:集合的運(yùn)算.
(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},寫出由集合A,B中的所有元素組成的集合C.
②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在數(shù)軸上表示出集合A與B,并寫出由集合A與B中的所有元素組
4、成的集合C.
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
①通過上述問題中集合A與B與集合C之間的關(guān)系,類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算,你發(fā)現(xiàn)了什么？
②用文字語言來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關(guān)系.
③用數(shù)學(xué)符號來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關(guān)系.
④試用Venn圖表示A∪B=C.
⑤請給出集合的并集定義.
⑥求集合的并集是集合間的一種運(yùn)算,那么,集合間還有其他運(yùn)算嗎？
請同學(xué)們考察下面的問題,集合A與B與集合C之間有什么關(guān)系？
(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(ⅱ)A={x|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級女同學(xué)},
5、B={x|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級男同學(xué)},C={x|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級同學(xué)}.
⑦類比集合的并集,請給出集合的交集定義？并分別用三種不同的語言形式來表達(dá).
活動：先讓學(xué)生思考或討論問題,然后再回答,經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥,并對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng),對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路,主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運(yùn)算并能用數(shù)學(xué)符號來刻畫,用Venn圖來顯示.
討論結(jié)果：
①集合之間也可以相加,也可以進(jìn)行運(yùn)算,但是為了不和實(shí)數(shù)的運(yùn)算相混淆,規(guī)定這種運(yùn)算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C,讀作A并B.
6、
②所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成了集合C.
③C={x|x∈A,或x∈B}.
④如圖1131所示.
⑤一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn圖表示,如圖1131所示.
⑥集合之間還可以求它們的公共元素組成集合的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫求集合的交集,記作A∩B,讀作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.
⑦一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集.
其含義用符號表示為:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
用Venn圖表示,如圖1132所示.
7、
圖1-1-3-2
應(yīng)用示例
思路1
1.設(shè)A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.
圖1-1-3-3
活動：讓學(xué)生回顧集合的表示法和交集、并集的含義,由于本例題難度較小,讓學(xué)生自己解決,重點(diǎn)是總結(jié)集合運(yùn)算的方法.根據(jù)集合并集、交集的含義,借助于Venn圖寫出.觀察這兩個集合中的元素,或用Venn圖來表示,如圖1133所示.
解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.
點(diǎn)評：本題主要考查集合的并集和交集.用列舉法表示的集合,運(yùn)算時常利用Venn圖或
8、直接觀察得到結(jié)果.
本題易錯解為A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽視了集合元素的互異性.解決集合問題要遵守集合元素的三條性質(zhì).
變式訓(xùn)練
1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},則M∪N=________.M∩N=________.
答案：{-1,1,2,3,5,6,7}
2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},則m=_________.
分析:由題意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,,,0.因m=1不合題意,故舍去.
答案：-1,,,0
3.2007河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,理1滿足A∪B={0,2}的集
9、合A與B的組數(shù)為 ( )
A.2 B.5 C.7 D.9
分析:∵A∪B={0,2},∴A{0,2}.則A=或A={0}或A={2}或A={0,2}.當(dāng)A=時,B={0,2};當(dāng)A={0}時,則集合B={2}或{0,2};當(dāng)A={2}時,則集合B={0}或{0,2};當(dāng)A={0,2}時,則集合B=或{0}或{2}或{0,2},則滿足條件的集合A與B的組數(shù)為1+2+2+4=9.
答案：D
4.2006遼寧高考,理2設(shè)集合A={1,2},則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù)是 ( )
10、
A.1 B.3 C.4 D.8
分析:轉(zhuǎn)化為求集合A子集的個數(shù).很明顯3A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一個元素3,其他元素來自集合A中,則集合B的個數(shù)等于A={1,2}的子集個數(shù),又集合A中含有22=4個元素,則集合A有22=4個子集,所以滿足條件的集合B共有4個.
答案：C
2.設(shè)A={x|-1
11、：將A={x|-10},求A∪B,A∩B.
答案：A∪B=R,A∩B={x|2
12、
答案：A∪B={3,2},A∩B=.
3.2007惠州高三第一次調(diào)研考試,文1設(shè)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},則A∩B等于( )
A.［0,2］ B.［1,2］ C.［0,4］ D.［1,4］
分析:在同一條數(shù)軸上表示出集合A、B,如圖1135所示.由圖得A∩B=［0,2］.
圖1-1-3-5
答案：A
課本P11例6、例7.
思路2
1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},則A∩B,B∪C,A∩B∩C分別是什么?
活動：
學(xué)生先思考集合中元素特征,明確集合中的元素
13、.將集合中元素利用數(shù)形結(jié)合在數(shù)軸上找到,那么運(yùn)算結(jié)果尋求就易進(jìn)行.這三個集合都是用描述法表示的數(shù)集,求集合的并集和交集的關(guān)鍵是找出它們的公共元素和所有元素.
解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在數(shù)軸上表示,如圖1136所示,所以A∩B={x|00},A∩B∩C=.
圖1-1-3-6
點(diǎn)評：本題主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集時,①明確集合中的元素;②依據(jù)并集和交集的含義,借助于直觀(數(shù)軸或Venn圖)寫出結(jié)果.
變式訓(xùn)練
1.設(shè)A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A
14、∪B.
解：對任意m∈A,則有m=2n=22n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,
即對任意m∈A有m∈B,所以AB.
而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.
2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù).
解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};還可含1或2其中一個,有{1,3},{2,3};還可含1和2,即{1,2,3},那么共有4個滿足條件的集合B.
3.設(shè)A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.
解：因A∩B={9},則9∈A,a-
15、1=9或a2=9,
a=10或a=3,
當(dāng)a=10時,a-5=5,1-a=-9;
當(dāng)a=3時,a-1=2不合題意.
當(dāng)a=-3時,a-1=-4不合題意.
故a=10,此時A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},滿足A∩B={9}.
4.2006北京高考,文1設(shè)集合A={x|2x+1<3},B={x|-3-3} D.{x|x<1}
分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},
觀察或由數(shù)軸得
16、A∩B={x|-3
17、解,
則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
當(dāng)B≠時,若集合B僅含有一個元素,則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
此時,B={x|x2=0}={0}A,即a=-1符合題意.
若集合B含有兩個元素,則這兩個元素是-4,0,
即關(guān)于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
則有
解得a=1,則a=1符合題意.
綜上所得,a=1或a≤-1.
變式訓(xùn)練
1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},則能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由題意知A(A∩B),即AB,A非空,利
18、用數(shù)軸得解得6≤a≤9,
即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.
2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:由A∪B=A得BA,則有B=或B≠,因此對集合B分類討論.
解：∵A∪B=A,∴BA.
又∵A={x|-2≤x≤5}≠,∴B=,或B≠.
當(dāng)B=時,有m+1>2m-1,∴m<2.
當(dāng)B≠時,觀察圖1-1-3-7:
圖1-1-3-7
由數(shù)軸可得解得-2≤m≤3.
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.
點(diǎn)評：本題主要考查集合的運(yùn)算、分類討論的思想,以及集合間關(guān)系的應(yīng)用.
19、已知兩個集合的運(yùn)算結(jié)果,求集合中參數(shù)的值時,由集合的運(yùn)算結(jié)果確定它們的關(guān)系,通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換,把相關(guān)問題化歸為其他常見的方程、不等式等數(shù)學(xué)問題.這稱為數(shù)學(xué)的化歸思想,是數(shù)學(xué)中的常用方法,學(xué)會應(yīng)用化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)問題.
知能訓(xùn)練
課本P11練習(xí)1、2、3.
【補(bǔ)充練習(xí)】
1.設(shè)a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},
(1)求A∩B,A∪B.
(2)用適當(dāng)?shù)姆?、)填空:
A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B.
解：(1)因A、B的公共元素為5
20、、8,故兩集合的公共部分為5、8,
則A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又A、B兩集合的元素3、4、5、6、7、8,
故A∪B={3,4,5,6,7,8}.
(2)由文氏圖可知
A∩BA,BA∩B,A∪BA,A∪BB,A∩BA∪B.
2.設(shè)A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.
解：因x<5及x≥0的公共部分為0≤x<5,
故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.
3.設(shè)A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角形},求A∩B.
解：因三角形按角分類時,銳角三角形和鈍角三角形彼此孤立.故A、B兩集合沒有公
21、共部分.
所以A∩B={x|x是銳角三角形}∩{x|x是鈍角三角形}=.
4.設(shè)A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.
解：在數(shù)軸上將A、B分別表示出來,得A∪B={x|x>-2}.
5.設(shè)A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},求A∪B.
解：因矩形是平行四邊形,故由A及B的元素組成的集合為A∪B,A∪B={x|x是平行四邊形}.
6.已知M={1},N={1,2},設(shè)A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.
分析:M、N中元素是數(shù).A、B中元素是平面內(nèi)點(diǎn)集,關(guān)鍵是找其元素.
解：∵M(jìn)={1},N={1
22、,2},則A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),
(2,1)}.
7.2006江蘇高考,7若A、B、C為三個集合,A∪B=B∩C,則一定有( )
A.AC B.CA C.A≠C D.A=
分析:思路一:∵(B∩C)B,(B∩C)C,A∪B=B∩C,
∴A∪BB,A∪BC.∴ABC.∴AC.
思路二:取滿足條件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,
令A(yù)={1,2},B={1,2},C={1,2},則此時也滿足條
23、件A∪B=B∩C,
而此時A=C,排除C.
答案：A
拓展提升
觀察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}時,A∩B,A∪B這兩個運(yùn)算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系;
(2)當(dāng)A=時,A∩B,A∪B這兩個運(yùn)算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系;
(3)當(dāng)A=B={1,2}時,A∩B,A∪B這兩個運(yùn)算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系.
由(1)(2)(3)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
活動：依據(jù)集合的交集和并集的含義寫出運(yùn)算結(jié)果,并觀察與集合A,B的關(guān)系.用Venn圖來發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系.(1)(2)(3)中的集合A,B均滿足AB,用Venn圖表示,如圖1138所示,就可以發(fā)現(xiàn)A∩B,A∪B與集
24、合A,B的關(guān)系.
圖1-1-3-8
解：A∩B=AABA∪B=B.
可用類似方法,可以得到集合的運(yùn)算性質(zhì),歸納如下:
A∪B=B∪A,A(A∪B),B(A∪B);A∪A=A,A∪=A,ABA∪B=B;
A∩B=B∩A;(A∩B)A,(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A.
課堂小結(jié)
本節(jié)主要學(xué)習(xí)了:
1.集合的交集和并集.
2.通常借助于數(shù)軸或Venn圖來求交集和并集.
作業(yè)
1.課外思考:對于集合的基本運(yùn)算,你能得出哪些運(yùn)算規(guī)律？
2.請你舉出現(xiàn)實(shí)生活中的一個實(shí)例,并說明其并集、交集和補(bǔ)集的現(xiàn)實(shí)含義.
3.書面作業(yè):課本P12習(xí)題1.1A組6、7、8.
設(shè)計(jì)感想
由于本節(jié)課內(nèi)容比較容易接受,也是歷年高考的必考內(nèi)容之一,所以在教學(xué)設(shè)計(jì)上注重加強(qiáng)練習(xí)和拓展課本內(nèi)容.設(shè)計(jì)中通過借助于數(shù)軸或Venn圖寫出集合運(yùn)算的結(jié)果,這是突破本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)的有效方法.
(設(shè)計(jì)者：尚大志)
中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
3示范教案13集合的基本運(yùn)算第1課時
