2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 一 平行線等分線段定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx

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一　平行線等分線段定理 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.理解平行線等分線段定理的證明過程及性質(zhì). 2.能獨(dú)立證明平行線等分線段定理的推論1、推論2. 3.能應(yīng)用定理和推論解決相關(guān)的幾何計(jì)算問題和證明問題. [知識鏈接] 1.三角形、梯形的中位線定理的內(nèi)容是什么？ 提示　(1)三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半. (2)梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半. 2.如圖，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中點(diǎn)，則DG＝____，H是____的中點(diǎn)，F(xiàn)是____的中點(diǎn). 提示　BG　AC　DC [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.平行線等分線段定理 文字語言 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等 符號語言 已知a∥b∥c，直線m，n分別與a，b，c交于點(diǎn)A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，則A′B′＝B′C′ 圖形語言 作用 證明同一直線上的線段相等 2.推論1 文字語言 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊 符號語言 在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E平分AC 圖形語言 作用 證明線段相等，求線段的長度 3.推論2 文字語言 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)且與底邊平行的直線必平分另一腰 符號語言 在梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB的中點(diǎn)，過E作EF∥BC，交CD于F，則F平分CD 圖形語言 作用 證明線段相等，求線段的長度 要點(diǎn)一　平行線等分線段定理 例1　如圖①，在AD兩旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2為AB的兩個三等分點(diǎn)，C1，C2為CD的兩個三等分點(diǎn)，連接A1C，A2C1，BC2，求證把AD分成四條線段的長度相等. 證明　如圖②，過點(diǎn)A作直線AM平行于A1C，延長DC交AM于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作直線DN平行于BC2，延長AB交DN于點(diǎn)N，由AB∥CD，A1，A2為AB的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)C1，C2為CD的兩個三等分點(diǎn)，可得四邊形A1CC1A2，四邊形A2C1C2B為平行四邊形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因?yàn)锳A1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行線等分線段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四條線段的長度相等. 規(guī)律方法　解決此題的關(guān)鍵是找出平行線等分線段定理的基本條件，找準(zhǔn)被一組平行線截得的線段. 跟蹤演練1　如圖①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，則BC＝(　　) A.3 B.6 C.9 D.4 解析　如圖②，過O作一直線與AB，CD，EF平行，因?yàn)锳O＝OD＝DF，由平行線等分線段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6. 答案　B 要點(diǎn)二　平行線等分線段定理的推論 例2　如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N. 求證：MN＝NB. 解　如圖所示，延長ME交BC的延長線于點(diǎn)P， 由題意可得Rt△EPC≌Rt△FAC， ∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF， ∴PM∥CN， 又∵點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)N是MB的中點(diǎn). ∴MN＝NB. 規(guī)律方法　證明同一直線上相鄰兩條線段相等，常用方法構(gòu)造三角形及中位線. 跟蹤演練2　如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，M是CD的中點(diǎn). 求證：AM＝BM. 證明　過M點(diǎn)作ME∥BC，交AB于點(diǎn)E.∵∠ABC＝90， ∴∠AEM＝90，即ME⊥AB. ∵在梯形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，∴AE＝EB. ∴ME是AB的垂直平分線. ∴AM＝BM. 要點(diǎn)三　平行線等分線段定理的綜合應(yīng)用 例3　已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直線l1分別交α，β，γ于A，B，C三點(diǎn)，直線l2分別交α，β，γ于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，且AB＝BC. 求證：DE＝EF. 證明　(1)當(dāng)l1與l2共面時，由面面平行的性質(zhì)得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行線等分線段定理得：DE＝EF， (2)當(dāng)l1與l2異面時，如圖， 在直線l2上取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作l3∥l1，設(shè)l3與平面α，β，γ分別相交于P，Q，R. 則l1與l3確定一個平面π1，l3與l2確定一個平面π2. 在平面π1中，連接AP，BQ，CR，則由面面平行的性質(zhì)可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR； 同理在平面π2中，就可證明DE＝EF. 綜上，DE＝EF. 規(guī)律方法　這是平行線等分線段定理在空間的推廣，即：如果一組平行平面在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等. 跟蹤演練3　如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，BA，CD的延長線分別與EF的延長線交于點(diǎn)M，N. 求證：∠AME＝∠CNE. 證明　連接BD，過F作FG∥AB，交BD于G，連接GE，GF. 在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中點(diǎn)，∴DG＝GB， ∴FG是△ABD的中位線，∴GF＝AB，GF∥BM. 同理可證：GE＝CD，GE∥CN. ∵AB＝CD，∴GF＝GE， ∴∠GEF＝∠GFE. ∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME. ∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE. ∴∠AME＝∠CNE. 1.(1)定理中的“一組平行線”是指“平行線組”，是由三條或三條以上互相平行的直線組成的. (2)定理中的條件“在一條直線上截得的線段相等”實(shí)質(zhì)是指“平行線組”中每相鄰兩條平行線間的距離都相等. (3)定理及推論的主要作用在于證明同一直線上的線段相等問題. 2.在梯形中，如果已知一腰的中點(diǎn)，添加輔助線的方法 (1)過這一點(diǎn)作底邊的平行線，由平行線等分線段定理的推論得另一腰的中點(diǎn)； (2)可通過延長線段構(gòu)造全等三角形或相似三角形. 3.在幾何證明中添加輔助線的方法 (1)在三角形中，由角平分線可構(gòu)造全等或相似三角形； (2)在三角形或梯形中，若有一邊上的中點(diǎn)，則過這點(diǎn)可作輔助線. 1.如圖所示，l1∥l2∥l3，直線AB與l1，l2，l3相交于A，E，B，直線CD與l1，l2，l3相交于C，E，D，AE＝EB，則有(　　) A.AE＝CE　　　　　 B.BE＝DE C.CE＝DE D.CE>DE 解析　由平行線等分線段定理知CE＝ED. 答案　C 2.如圖D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，則與△DEF全等的三角形有(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析　∵DF是△ABC的中位線， ∴DF＝BC＝CE， 且DF∥BC，則∠AFD＝∠C. 同理，由EF∥AB可得∠A＝∠EFC， ∴△ADF≌△FEC.同理可得△DEB≌△FCE. 由DE＝CF，DF＝CE，EF＝EF，可得△EFD≌△FEC. ∴與△DEF全等的三角形有△FAD，△EDB，△CFE，共3個. 答案　C 3.下列結(jié)論正確的是________. (1)如圖(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2. (2)如圖(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2. (3)如圖(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，則A2B2＝B2C2. 解析　由平行線等分線段定理知：(1)(2)(3)都正確. 答案　(1)，(2)，(3) 4.如圖所示，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)F. 求證：AF＝AC. 證明　過D作DG∥BF交AC于G. 在△BCF中，D是BC的中點(diǎn)，DG∥BF，∴G為CF的中點(diǎn)，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中點(diǎn)，EF∥DG，∴F是AG的中點(diǎn)，即AF＝FG. ∴AF＝AC. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.如圖所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，則AD等于(　　) A.a cm B.2a cm C.3a cm D. cm 解析　∵EF∥AD，AE＝EO，∴F是OD的中點(diǎn)， ∴EF是△OAD的中位線，∴AD＝2EF， 又∵EF∥BC，EO＝OC，∴△OEF≌△OCB， ∴EF＝BC，∴AD＝2a. 答案　B 2.如圖所示，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，DE∥AB交BC于E，則陰影部分面積為△ABC面積的(　　) A. B. C. D. 解析　∵DE∥AB，D為AC的中點(diǎn)， ∴E為BC的中點(diǎn)，∴S△BDE＝S△EDC. ∴S△BDE＝S△BDC＝S△ABC. 答案　A 3.如圖所示，若a∥b∥c，那么下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A.由AB＝BC可得FG＝GH B.由AB＝BC可得OB＝OG C.由CE＝2CD可得CA＝2BC D.由GH＝FH可得CD＝DE 解析　∵OB，OG不是一條直線被一組平行線截得的線段，故不正確. 答案　B 4.如圖所示，在△ABC中，E為AB的中點(diǎn)，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，若HC＝BH，則FC＝________BF. 解析　∵AH⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH， ∴HC＝BH＝BF，∴FC＝FH＋HC＝BF. 答案　 5.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點(diǎn)，延長CM，交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB＝6 cm，則AP＝________；若PM＝1 cm，則PC＝________. 解析　由AD⊥BC，AB＝AC知BD＝CD，又DN∥CP，∴BN＝NP.又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，∴AP＝AB＝2(cm)，易知PM＝DN，DN＝PC，∴PC＝4PM＝4(cm). 答案　2 cm　4 cm 6.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F. 求證：AF＝BF. 證明　如圖，延長AE交BC于M. ∵CD是∠ACB的角平分線，AE⊥CD， 可證△AEC≌MEC，∴AE＝EM， 又在△ABM中，EF∥BF， ∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF. 二、能力提升 7.如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，則CF的長為(　　) A.6.5 B.6 C.5 D.4 解析　連接BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn). ∴EF綊BD，又∵EF＝6， ∴BD＝12，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝12，BC＝AD＝5， 又∵AC⊥BC，∴AB＝＝13， ∵F是AB的中點(diǎn)，∴CF＝AB＝＝6.5. 答案　A 8.某梯形的中位線長10 cm，一條對角線將中位線分成的兩部分之差是3 cm，則該梯形中的較大的底邊等于________cm. 解析　由已知中位線被BD分成的較長的一部分GF＝， 又∵EF∥BC，且F為DC的中點(diǎn)，∴G為BD的中點(diǎn)，∴在△DBC中，GF＝BC， ∴較大的底邊BC長為13. 答案　13 9.如圖所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F(xiàn)三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，則EG＝________，F(xiàn)H＝________. 解析　由梯形中位線定理知： 2EG＝AD＋FH，2FH＝EG＋BC， 又由已知AD＝4，BC＝13，∴可解得EG＝7，F(xiàn)H＝10. 答案　7　10 10.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60，AB＝BC，E為AB的中點(diǎn). 求證：△ECD為等邊三角形. 證明　如圖，連接AC，過點(diǎn)E作EF平行于AD交DC于點(diǎn)F. ∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中點(diǎn)， ∴F是DC的中點(diǎn)(經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線平分另一腰).∵DC⊥BC，∴EF⊥DC.∴ED＝EC(線段垂直分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).∴△EDC為等腰三角形.∵AB＝BC，∠B＝60，∴△ABC是等邊三角形.∴∠ACB＝60.又∵E是AB邊的中點(diǎn)，∴CE平分∠ACB.∴∠FEC＝∠ECB＝30.∴∠DEF＝30.∴∠DEC＝60.又∵ED＝EC，∴△ECD為等邊三角形. 11.如圖所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，求BM與CG的長. 解　如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，作PQ∥DH交EH于Q，則PQ是梯形ADHE的中位線. ∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴＝，＝，∴＝，∴BM＝4.由于PQ為梯形ADHE的中位線，故PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15. 三、探究與創(chuàng)新 12.有人玩折紙游戲，他先把一張矩形紙ABCD按如圖(1)所示對折，設(shè)折痕為MN.如圖(2)所示，再沿AE折疊矩形一部分，使B落在折痕MN上，AE與MN交于P，得到Rt△ABE，延長EB交AD于F，得到△AEF，他認(rèn)為△AEF是一個等邊三角形，他的觀點(diǎn)是否正確？試說明理由. 解　他的觀點(diǎn)是正確的.理由如下：由題意和題中圖示可知N是梯形ADCE的腰CD的中點(diǎn)，NP∥AD，∴P為EA的中點(diǎn).又∵△ABE為直角三角形，∴BP＝PA，∴∠PAB＝∠PBA.又∵PB∥AD，∴∠PBA＝∠BAF，∴∠PAB＝∠BAF.∵∠PAB與和它重合的角相等，∴2∠PAB＋∠BAF＝90，即∠PAB＝∠BAF＝30. ∴∠AEB＝90－30＝60，∠EAF＝∠PAB＋∠BAF＝60.∴△AEF是等邊三角形.