2020版高中數(shù)學 第三章 不等式 3.1.2 不等式的性質(zhì)學案（含解析）新人教B版必修5.docx

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3.1.2　不等式的性質(zhì) 學習目標　1.理解并掌握不等式的性質(zhì)．2.能夠利用不等式的性質(zhì)進行數(shù)或式的大小比較． 3.會證明一些簡單的不等式． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點一　不等式的基本性質(zhì) 思考　試用作差法證明a>b，b>c?a>c. 答案　a>b，b>c?a－b>0，b－c>0?a－b＋b－c>0?a－c>0?a>c. 總結(jié)　不等式性質(zhì)： 名稱 式子表達 性質(zhì)1(對稱性) a＞b?b＜a 性質(zhì)2(傳遞性) a＞b，b＞c?a＞c 性質(zhì)3 a＞b?a＋c＞b＋c 推論1 a＋b＞c?a＞c－b a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d 推論2 性質(zhì)4 a＞b，c＞0?ac＞bc a＞b，c＜0?ac＜bc 推論1 a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1) a＞b＞0?＞(n∈N＋，n＞1) 推論2 推論3 知識點二　不等式性質(zhì)的注意事項 思考1　在性質(zhì)4的推論1中，若把a，b，c，d為正數(shù)的條件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd嗎？若不能，試舉出反例． 答案　不能，例如1＞－2，2＞－3，但12＝2＜(－2)(－3)． 思考2　在性質(zhì)3的推論2中，能把“?”改為“?”嗎？為什么？ 答案　不能，因為由a＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但顯然1＜2. 總結(jié)　(1)注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當然隨意捏造性質(zhì)． (2)注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性，只有a＞b?b＜a，a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b?ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余幾條性質(zhì)不可逆推． 1．若a>b，則ac>bc一定成立．(　　) 2．若a＋c>b＋d，則a>b且c>d．(　　) 3．若a>b且db＋d．(　√　) 4．若a>b且c>d，則ac>bd．(　　) 題型一　不等式性質(zhì)的證明 例1　若a＞b，c＞0，求證：ac＞bc. 證明　ac－bc＝(a－b)c. ∵a＞b，∴a－b＞0. 又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0， ∴ac＞bc. 反思感悟　對任意兩個實數(shù)a，b有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．這是比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎．數(shù)學是個講究邏輯的學科，不能以理解代替證明． 跟蹤訓練1　(1)若ac2＞bc2，求證：a＞b； (2)由a＞b能推出ac2＞bc2嗎？ 解　(1)∵ac2＞bc2， ∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0． 若c2＝0，則ac2＝bc2與條件矛盾． ∴c2＞0， ∴a－b＞0，即a＞b． (2)不能．當c＝0時，ac2＝bc2． 題型二　不等式性質(zhì)的應用 命題角度1　利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假 例2　判斷下列命題的真假： (1)若a>b，則acab>b2； (3)若a. 解　(1)由于c的正、負或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小缺乏依據(jù)．故該命題為假命題． (2)由?a2>ab；由?ab>b2． 所以a2>ab>b2，故該命題為真命題． (3)由a－b>0?a2>b2?>，即>，故該命題為假命題． 反思感悟　要判斷命題是真命題，應說明理由或進行證明，推理過程應緊扣有關定理、性質(zhì)等，應熟練掌握不等式的性質(zhì)及其推論的條件和結(jié)論，若判斷命題是假命題只需舉一反例即可． 跟蹤訓練2　下列命題中正確的個數(shù)是(　　) ①若a>b，b≠0，則>1； ②若a>b，且a＋c>b＋d，則c>d； ③若a>b，且ac>bd，則c>d． A．0B．1C．2D．3 答案　A 解析?、偃鬭＝2，b＝－1，則不符合題意； ②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，雖然滿足a>b且a＋c>b＋d，但不滿足c>d，故錯； ③當a＝－2，b＝－3時，取c＝－1，d＝2，則c＞d不成立． 命題角度2　利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式 例3　已知a>b>0，c. 證明　∵c－d>0， ∵a>b>0， ∴a－c>b－d>0，∴0<<． 又∵e<0，∴>． 反思感悟　利用不等式性質(zhì)證明簡單的不等式的實質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件，如果不能直接由不等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓練3　若a>b>0，c－d>0． 又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac0．∴<，即<． 命題角度3　應用不等式性質(zhì)求取值范圍 例4　已知－6b，不等式：①a2>b2；②<；③>成立的個數(shù)是(　　) A．0B．1C．2D．3 答案　A 解析　由題意可令a＝1，b＝－1，此時①不對，②不對，③a－b＝2，此時有<，故③不對．故選A． 3．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，則(　　) A．bcadC．>D．< 答案　A 解析　∵ab>0， ∴在－>－兩側(cè)乘ab不變號， 即－bc>－ad，即bcb>1，c<0，給出下列三個結(jié)論： ①>；②acloga(b－c)． 其中所有正確結(jié)論的序號是(　　) A．①B．①②C．②③D．①②③ 答案　D 解析　由不等式性質(zhì)及a>b>1知<， 又c<0，∴>，①正確； 構(gòu)造函數(shù)y＝xc， ∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1， ∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正確． 2．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)>>B．>>aC．>a>D．>>a 答案　D 解析　取a＝－2，b＝－2，則＝1，＝－， ∴>>a． 3．若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是(　　) A．< B．a(chǎn)2>b2 C．> D．a(chǎn)|c|>b|c| 答案　C 解析　對于A，若a>0>b，則>0，<0， 此時>，∴A不成立； 對于B，若a＝1，b＝－2，則a2b， ∴>恒成立，∴C成立； 對于D，當c＝0時，a|c|＝b|c|，∴D不成立． 4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)c>bc C．a(chǎn)|b|>c|b| D．a(chǎn)2>b2>c2 答案　A 解析　由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， ?ab>ac． 5．若a<0，－1a>ab C．a(chǎn)b>b>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a 答案　D 解析　∵－1ab2>a． 6．如果－10， ∴<即<<0， ∴1>a2>b2>0， ∴<<00時，a2b>0，ab2<0，a2b0，∴<，故成立； 對于(3)， 當a＝－1，b＝1時，＝＝－1，故不成立． 8．如果a，b，c滿足cac； (2)c(b－a)>0； (3)cb20，c<0，而b的取值不確定，當b＝0時，(3)不成立． 9．若－1≤a≤3,1≤b≤2，則a－b的范圍為________． 答案　[－3,2] 解析　∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2． 10．已知a>b，e>f，c>0，則f－ac________e－bc．(填“>”“<”或“＝”) 答案?。? 解析　因為a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc． 又e>f，即f0，則a>b； (2)若a>b，ab≠0，則<； (3)若a>b，c>d，則ac>bd． 解　(1)?<，但推不出a>b，故(1)錯． (2)例如，當a＝1，b＝－1時，不成立，故(2)錯． (3)例如，當a＝c＝1，b＝d＝－2時，不成立，故(3)錯． 12．已知a＞b＞0，c＞d＞0， (1)求證：ac＞bd． (2)試比較與的大小． (1)證明　因為a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd． (2)解　因為a＞b＞0，c＞d＞0， 所以＞＞0，＞＞0， 所以＞＞0，所以＞． 13．已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍． 解　∵f(x)＝ax2－c， ∴ ∴ ∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)， 又∵－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5， ∴≤－f(1)≤，① －≤f(2)≤．② 把①②的兩邊分別相加，得－1≤f(2)－f(1)≤20，即－1≤f(3)≤20.所以f(3)的取值范圍是[－1,20]． 14．已知不等式：①a<00；⑥a1>b>c>0， 證明：>． 證明　∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， ∴0<<， 又∵f(b)＝logab，f(c)＝logac，a>1， ∴f(b)>f(c)， 又∵1>b>c>0，∴f(b)<0，f(c)<0， ∵f(b)>f(c)，∴0<－f(b)<－f(c)， ∴b－f(c)>c－f(b)>0， ∴>．