2018-2019學年高一數學 寒假訓練08 平行、垂直關系的證明.docx

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寒假訓練08平行、垂直關系的證明 [2018伊春二中]如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，． 求證：（1）平面； （2）． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）由題意知，為的中點， 又為的中點，因此． 又因為平面，平面，所以平面． （2）因為棱柱是直三棱柱，所以平面． 因為平面，所以． 又因為，平面，平面，， 所以平面， 又因為平面，所以． 因為，所以矩形是正方形，因此． 因為，平面，，所以平面． 又因為平面，所以． 一、選擇題 1．[2018東北育才]已知互不重合的直線，，互不重合的平面，，給出下列四個命題，正確命題的個數是（） ①若，，，則 ②若，，，則 ③若，，，則 ④若，，則 A．1 B．2 C．3 D．4 2．[2018阜蒙二高]若、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列結論錯誤的是（） A．如果，那么，與所成的角和與所成的角相等 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 3．[2018南康中學]下列四個正方體圖形中，，，為正方體所在棱的中點，則能得出平面平面的是（） A． B． C． D． 4．[2018安達田家炳中學]如圖所示，在正方體中，若是的中點，則直線垂直于（） A． B． C． D． 5．[2018九江二中]如圖，在正方形中，、分別是、的中點，現在沿、、把這個正方形折成一個四面體，使、、重合，重合后的點記為．給出下列關系： ①平面；②平面；③；④平面．其中成立的有（） A．①與② B．①與③ C．②與③ D．③與④ 6．[2018福州一中]如圖所示，在三棱錐中，平面平面，，，則（） A．平面 B．平面 C．與平面相交但不垂直 D．平面 7．[2018福州期末]如下圖，梯形中，，，，，將沿對角線折起．設折起后點的位置為，并且平面平面．給出下面四個命題： ①；②三棱錐的體積為；③平面； ④平面平面．其中正確命題的序號是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 8．[2018鶴崗一中]如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，， 且；則下列結論錯誤的是（） A． B． C．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等 9．[2018惠民縣二中]如圖，矩形，下列結論中不正確的是（） A． B． C． D． 10．[2018東城二中]如圖，已知四邊形是正方形，，，，都是等邊三角形，、、、分別是線段、、、的中點， 分別以、、、為折痕將四個等邊三角形折起，使得、、、四點重合于一點，得到一個四棱錐．對于下面四個結論： ①與為異面直線；②直線與直線所成的角為； ③平面；④平面平面． 其中正確結論的個數有（） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 11．[2018泉州期末]某正方體的平面展開圖如圖所示，則在這個正方體中（） A．與相交 B．與平行 C．與平行 D．與異面 12．[2018鄂州期中]如圖，所在的平面，是的直徑，是上的一點，于，，給出下列結論：①平面；②平面；③；④平面．其中正確命題的個數是（） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題 13．[2018姜堰期中]已知，是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面給出下列四個命題： （1）若，，則 （2）若，，則 （3）若，，，則 （4）若，，則 其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號) 14．[2018姜堰期中]如圖，直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則當最小時，的面積為_______． 15．[2018南寧三中]，是兩個平面，，是兩條直線，有下列四個命題： ①如果，，，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果，，那么與所成的角和與所成的角相等． 其中正確的命題有_________．（填寫所有正確命題的編號） 16．[2018洛陽名校]正方體中，，，分別是棱，，的中點，點在對角線上，給出以下命題： ①當在線段上運動時，恒有平面； ②當在線段上運動時，恒有平面； ③過點且與直線和所成的角都為的直線有且只有3條． 其中正確命題為________． 三、解答題 17．[2018桂林十八中]如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，，分別為，的中點． （1）證明：直線； （2）求三棱錐的體積． 18．[2018正定縣三中]如圖，三棱柱，底面，且為正三角形，，為中點． （1）求三棱錐的體積； （2）求證：平面平面； （3）求證：直線平面．  寒假訓練08平行、垂直關系的證明 一、選擇題 1．【答案】C 【解析】由題意，已知互不重合的直線，和互不重合的平面，， 在A中，由于，，，過直線與平面，都相交的平面， 記，，則且，所以，又，所以， 故A是正確的； 在B中，若，，，則由面面垂直和線面垂直的性質得， 所以是正確； 在C中，若，，，則由線面垂直的判定定理得， 所以是正確； 在D中，若，，則或，所以是不正確的，故選C． 2．【答案】B 【解析】A，如果，，根據線面角的定義可知，與所成的角和，與所成的角均相等，故A正確； B，如果，，，、可平行也可以相交，不能得出， 故B錯誤； C，如果，，那么與無公共點，則，故C正確； D，如果，則存在直線，使，由，可得，那么， 故D正確，故選B． 3．【答案】B 【解析】B中，可證，，故可以證明平面， 平面．又，所以平面平面．故選B． 4．【答案】B 【解析】以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，，，，，，，，，，，，則，即，故選B． 5．【答案】B 【解析】∵，，∴，，∴平面， 故①正確； 同理可得平面，又∵平面，根據線面垂直的性質定理， 得，故③正確，故選B． 6．【答案】B 【解析】∵，，∴． 又∵平面平面，平面平面，∴平面，故選B． 7．【答案】B 【解析】①，，， ，，， 平面平面，且平面平面，平面， 平面，，故不成立，故①錯誤； ②棱錐的體積為，故②錯誤； ③由①知平面，故③正確； ④由①知平面，又平面，， 又，且、平面，， 平面，又平面， 平面平面，故④正確．故選B． 8．【答案】D 【解析】在正方體中，平面， 而平面，故，故A正確． 又平面，因此平面，故B正確． 當變化時，三角形的面積不變，點到平面的距離就是到平面的距離，它是一個定值，故三棱錐的體積為定值（此時可看成三棱錐的體積），故C正確． 在正方體中，點到的距離為，而到的距離為1，D是錯誤的． 綜上，故選D． 9．【答案】A 【解析】∵矩形，∴， 若，則平面， 又平面，則過平面外一面有兩條直線與平面垂直，不成立， 故不正確，故A不正確； ∵矩形，∴，， ∴平面，∴，故B正確； ∵矩形，∴由三垂線定理得，故C正確； ∵矩形，∴由直線與平面垂直的性質得，故D正確．故選A． 10．【答案】D 【解析】①錯誤．所得四棱錐中，設中點為，則、兩點重合， ∵，即，即與不是異面直線； ②正確．∵，與重合，且與所成角為， 說明與所成角為； ③正確．∵，平面，平面， ∴平面，∴平面； ④正確．∵平面，平面，點， ∴平面平面，即平面平面，故選D． 11．【答案】B 【解析】根據題意得到立體圖如圖所示： A．與是異面直線，故不相交； B．與平行，由立體圖知是正確的； C．與位于兩個平行平面內，故不正確； D．與是相交的． 故答案為B． 12．【答案】C 【解析】因為所在的平面，所在的平面，所以， 而，，所以平面，故①正確； 又因為平面，所以，而，， 所以平面，故②正確； 而平面，所以，而，， 所以平面，而平面，所以，故③正確； 因為平面，假設平面，所以，顯然不成立，故④不正確；故選C． 二、填空題 13．【答案】（1） 【解析】（1）根據線面垂直的性質可知若，，則成立； （2）若，，則或與相交；故（2）不成立； （3）根據面面平行的可知，當與相交時，，若兩直線不相交時，結論不成立； （4）若，，則或，故（4）不成立． 故正確的是（1），故答案為（1）． 14．【答案】 【解析】將直三棱柱沿棱展開成平面連接，與的交點即為滿足最小時的點， 由于，，，再結合棱柱的性質，可得， 由圖形及棱柱的性質，可得，，，．∴， 的面積為，故答案為． 15．【答案】②③④ 【解析】①如果，不一定相交，不能得出，故錯誤； ②如果，則存在直線，使，由，可得，那么．故正確； ③如果，，那么與無公共點，則．故正確； ④如果，，那么，與所成的角和，與所成的角均相等．故正確； 故答案是②③④． 16．【答案】②③ 【解析】①當位于與平面的交點處時，在平面內， ②因為垂直于和，所以成立， ③和成角，過點與兩直線成的直線有三條 故答案為②③． 三、解答題 17．【答案】（1）詳見解析；（2）． 【解析】（1）證明：取的中點，連，， ∵為的中點，∴，， 又，，∴為平行四邊形，∴， ，，∴． （2）∵，為的中點，∴點． 又，∴， 即三棱錐的體積為． 18．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析． 【解析】（1）∵為正三角形，為中點，∴， 由可知，，，∴． 又∵底面，且，∴底面，且， ∴． （2）∵底面，∴． 又，∴平面． 又平面，∴平面平面． （3）連接交于，連接， 在中，為中點，為中點，所以， 又平面，∴直線平面．