2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何:建系困難問(wèn)題 理.docx
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大題精做7 立體幾何:建系困難問(wèn)題 [2019長(zhǎng)沙統(tǒng)測(cè)]已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中: (1)證明:平面平面; (2)若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí),求二面角的余弦值. 圖一 圖二 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,. 由題意,得,,. ∵在中,,為的中點(diǎn),∴, ∵在中,,,,,∴. ∵,,平面,∴平面, ∵平面,∴平面平面. (2)由(1)知,,,平面, ∴是直線與平面所成的角,且, ∴當(dāng)最短時(shí),即是的中點(diǎn)時(shí),最大. 由平面,,∴,, 于是以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系, 則,,,,,, ,,. 設(shè)平面的法向量為, 則由得:.令,得,,即. 設(shè)平面的法向量為, 由得:,令,得,,即. .由圖可知,二面角的余弦值為. 1.[2019安慶期末]矩形中,,,點(diǎn)為中點(diǎn),沿將折起至,如圖所示,點(diǎn)在面的射影落在上. (1)求證:面面; (2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 2.[2019南陽(yáng)期末]如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)在線段上,且,現(xiàn)將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2. (1)若點(diǎn)在線段上,且,證明:; (2)記平面與平面的交線為.若二面角為,求與平面所成角的正弦值. 3.[2019蘇州調(diào)研]如圖,在四棱錐中,已知底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)面平面,,與平面所成角的正弦值為. (1)求側(cè)棱的長(zhǎng); (2)設(shè)為中點(diǎn),若,求二面角的余弦值. 1.【答案】(1)詳見解析;(2). 【解析】(1)在四棱錐中,,,從而有, 又∵面,而面,∴,而、面,且, 由線面垂直定理可證面,又面,由面面垂直判斷定定理即證面面. (2)由條件知面,過(guò)點(diǎn)做的平行線, 又由(1)知面,以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系, 如圖所示: ,,,,, 面的一個(gè)法向量為, 設(shè)面的法向量為,則有, 從而可得面的一個(gè)法向量為,, 設(shè)平面與平面所成銳二面角為,與互補(bǔ),則, 故平面與平面所成二面角的余弦值為. 2.【答案】(1)詳見解析;(2). 【解析】證明:(1)先在圖1中連結(jié),在中,由,, 得,在中,由,, 得,∴,則, ∴,從而有,,即在圖2中有,, ∴平面,則; 解:(2)延長(zhǎng),交于點(diǎn),連接,根據(jù)公理3得到直線即為, 再根據(jù)二面角定義得到.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作底面垂線, 以為原點(diǎn),分別為,,及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,, ,,, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,取,得. ∴與平面所成角的正弦值為. 3.【答案】(1)或;(2). 【解析】(1)取中點(diǎn),中點(diǎn),連結(jié),,∵,∴, 又∵平面平面,平面,平面平面, ∴平面,∴,, 又∵是正方形,∴, 以為原點(diǎn),,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖), 則,,,, 設(shè),則,, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有, 取,則,從而, 設(shè)與平面所成角為,∵, ∴,解得或, ∴或. (2)由(1)知,,∴,, 由(1)知,平面的一個(gè)法向量為, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,而,, ∴取,則,,即, 設(shè)二面角的平面角為,∴, 根據(jù)圖形得為銳角,∴二面角的余弦值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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