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第1章 常用邏輯用語
章末檢測試卷(一)
(時間：120分鐘 滿分：160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)
1.命題“?x∈R,3x≤0”的否定是____________.
考點 存在性命題的否定
題點 含存在量詞的命題的否定
答案 ?x∈R,3x>0
2.給出命題：“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是________.
考點 四種命題的真假判斷
題點 利用四種命題的關系判斷真假
答案 3
解析 原命題及逆命題都為真命題，故否命題、逆否命題也為真命題.
3.已知命題p：?x>0，x＋≥4，命題q：?x∈(0，＋∞)，2x＝，則下列判斷正確的是________.(填序號)
①p是假命題；
②q是真命題；
③p∧(綈q)是真命題；
④(綈p)∧q是真命題.
考點 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命題
題點 判斷“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題的真假
答案?、?
解析 由基本不等式，知p為真命題；由2x＝，知x＝－1，故q為假命題，所以p∧(綈q)為真命題.
4.設a，b∈R，則“(a－b)a2<0”是“a
0”；
③命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題是假命題；
④若“p或q”為真命題，則p，q至少有一個為真命題.
考點 四種命題的真假判斷
題點 利用四種命題的關系判斷真假
答案 ④
解析?、倜}“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，故①錯誤；
②命題“?x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x－1≥0”，故②錯誤；
③命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題是“若sinx≠siny，則x≠y”，是真命題，故③錯誤；
④若“p或q”為真命題，則p，q至少有一個為真命題，正確.
7.“φ＝”是“函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關于y軸對稱”的________條件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考點 條件的概念及判斷
題點 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件的判斷
答案 充分不必要
解析 因為函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關于y軸對稱，所以φ＝kπ＋，k∈Z，故“φ＝”是“函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關于y軸對稱”的充分不必要條件.
8.設a，b為正數(shù)，則“a－b>1”是“a2－b2>1”的__________條件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
考點 條件的概念及判斷
題點 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件的判斷
答案 充分不必要
解析 ∵a－b>1，∴a>b＋1.
又a，b為正數(shù)，
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，當a＝，b＝1時，滿足a2－b2>1，但a－b>1不成立，所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要條件.
9.由命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，求得實數(shù)m的取值范圍是(a，＋∞)，則實數(shù)a＝________.
考點 存在量詞與存在性命題
題點 存在性命題求參數(shù)的范圍
答案 1
解析 由題意得命題“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命題，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)，從而實數(shù)a的值為1.
10.已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________.
考點 充分條件概念及判斷
題點 由充分條件求參數(shù)的范圍
答案 [6，＋∞)
解析 由≤0，可得0＜x≤1，即1＜2x≤2，由題意知，22＋2－m≤0，即m≥6.
11.已知命題p：“?x∈R，?m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為________.
考點 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題
題點 由全稱命題和存在性命題真假求參數(shù)范圍
答案 (－∞，1]
解析 若綈p是假命題，則p是真命題，
即關于x的方程4x－22x＋m＝0有實數(shù)解，
由于m＝－(4x－22x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.
12.設有兩個命題：p：不等式x＋4>m>2x－x2對一切實數(shù)x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R上的減函數(shù)，如果“p∧q”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________.
考點 “p∧q”形式的命題
題點 已知p∧q命題的真假求參數(shù)(或其范圍)
答案 (1,3)
解析 p為真命題，則有1＜m≤4；q為真命題，則有7－2m＞1，即m＜3，∴1＜m＜3.
13.記不等式x2＋x－6<0的解集為集合A，函數(shù)y＝lg(x－a)的定義域為集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________.
考點 充分條件的概念及判斷
題點 由充分條件求參數(shù)的范圍
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}.而“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則有A?B，故a≤－3.
14.給出下列命題：
①“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件；
②“a＝2”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的充要條件；
③“m＝3”是“直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要條件；
④設a，b，c分別是△ABC三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，則“A＝30”是“B＝60”的必要不充分條件.
其中真命題的序號是________.
考點 條件的概念及判斷
題點 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件的判斷
答案?、佗?
解析 對于①，當數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，易知數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，但當數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列時，數(shù)列{an}未必是等比數(shù)列，如數(shù)列1,3,2,6,4,12,8顯然不是等比數(shù)列，而相應的數(shù)列3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列，因此①正確；對于②，當a≤2時，函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，因此②不正確；對于③，當m＝3時，相應的兩條直線互相垂直，反之，這兩條直線垂直時，不一定有m＝3，也可能m＝0，因此③不正確；對于④，由題意得＝＝，若B＝60，則sinA＝，注意到b>a，故A＝30，反之，當A＝30時，有sinB＝，由于b>a，所以B＝60或B＝120，因此④正確.綜上所述，真命題的序號是①④.
二、解答題(本大題共6小題，共90分)
15.(14分)已知命題p：x<－6或x>1，命題q：5x－6>ax2(a為常數(shù)).
(1)寫出原命題“若p：x<－6或x>1，則q：5x－6>ax2”的逆否命題；
(2)若p?q，則實數(shù)a應滿足什么條件？
考點 四種命題、條件的概念及判斷
題點 原命題與逆否命題；充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件的判斷
解 (1)命題“若p則q”的逆否命題為“若綈q：5x－6≤ax2，則綈p：－6≤x≤1”.
(2)∵p?q，∴x<－6或x>1?5x－6>ax2，即不等式ax2－5x＋6<0的解集為{x|x＜－6或x>1}，故方程ax2－5x＋6＝0有兩根分別為－6,1，即
解得a＝－1，故實數(shù)a應滿足a＝－1.
16.(14分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；
(2)命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍.
考點 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題
題點 由全稱命題和存在性命題真假求參數(shù)范圍
解 (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?.
∵命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，
∴B?A，B≠?，
∴解得2≤m≤3.
∴m的取值范圍為[2,3].
(2)若q為真，則A∩B≠?，∵B≠?，
∴m≥2，∴
∴2≤m≤4，
∴m的取值范圍為[2,4].
17.(14分)已知函數(shù)f(x)＝x|x＋m|＋n，其中m，n∈R.求證：m2＋n2＝0是f(x)是奇函數(shù)的充要條件.
考點 充要條件的概念及判斷
題點 充要條件的證明
證明 (1)充分性：若m2＋n2＝0，則m＝n＝0，
∴f(x)＝x|x|，
又有f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù).
必要性：若f(x)為奇函數(shù)，∵x∈R，
∴f(0)＝0，即n＝0，∴f(x)＝x|x＋m|.
由f(1)＝－f(－1)，有|m＋1|＝|m－1|，∴m＝0.
∴f(x)為奇函數(shù)，則m＝n＝0，即m2＋n2＝0.
∴m2＋n2＝0是f(x)為奇函數(shù)的充要條件.
18.(16分)設命題p：對任意的x∈R，x2－2x>a，命題q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.如果命題p∨q為真，命題p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍.
考點 “p∨q”“p∧q”形式命題的真假判斷
題點 由“p∨q”“p∧q”形式命題的真假求參數(shù)范圍
解 命題p：對任意的x∈R，x2－2x>a，
∴x2－2x的最小值大于a.
∵x2－2x的最小值為－1，
∴－1>a，即a<－1，∴p：a<－1；
命題q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.
∴q：a≤－2或a≥1.
∵命題p∨q為真，命題p∧q為假，
∴命題p，q中一真一假.
若p真q假，則
解得－25}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}.
(1)求M∩P＝{x|5
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