（浙江專版）2019年高考數(shù)學一輪復習 專題3.2 導數(shù)的運算（講）.doc

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第02節(jié) 導數(shù)的運算 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 導數(shù)的運算 會用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表和導數(shù)的四則運算法則求函數(shù)的導數(shù)，并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)（限于形如)的導數(shù)）. 2013浙江理科8,22；文科8，21； 2014浙江理科22；文科21； 2017浙江卷7,20； 2018浙江卷22. 1.導數(shù)的運算將依然以工具的形式考查； 2.單獨考查導數(shù)的運算題目極少.對導數(shù)的運算的考查，主要通過考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的應用來體現(xiàn)， 3.備考重點： 熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則. 【知識清單】 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則 1. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．導數(shù)的運算法則 （1） [f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)； （2） [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． (4) 復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積． 【重點難點突破】 考點1 運用導數(shù)公式進行計算 【1-1】求下列函數(shù)的導數(shù). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； （5） 【解析】(1)方法一：由題可以先展開解析式然后再求導： ∴. 方法二：由題可以利用乘積的求導法則進行求導： =. (2)根據(jù)題意把函數(shù)的解析式整理變形可得： (5)設μ=3-2x，則y=(3-2x)5是由y=μ5與μ=3-2x復合而成，所以y′=f′μμ′x=(μ5)′(3-2x)′=5μ4(-2)=-10μ4= 【領悟技法】 1.求函數(shù)導數(shù)的一般原則如下： (1)遇到連乘積的形式，先展開化為多項式形式，再求導； (2)遇到根式形式，先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導； (3)遇到復雜分式，先將分式化簡，再求導. 2.復合函數(shù)的求導方法 求復合函數(shù)的導數(shù)，一般是運用復合函數(shù)的求導法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導數(shù)解決. ①分析清楚復合函數(shù)的復合關系是由哪些基本函數(shù)復合而成的，適當選定中間變量； ②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量； ③根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)； ④復合函數(shù)的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復合過程. 【觸類旁通】 【變式一】求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝3xex－2x＋e； 【答案】(1) 3x2＋12x＋11.(2) (ln3＋1)(3e)x－2xln2. 【解析】 (1)解法一：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11. 解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. (2) y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2. 考點2 導數(shù)運算的靈活應用 【2-1】【2018年天津卷文】已知函數(shù)f(x)=exlnx，為f(x)的導函數(shù)，則的值為__________． 【答案】e 【2-2】【2018屆陜西省咸陽市三?！恳阎魏瘮?shù)的圖象如圖所示，則__________． 【答案】1. 【解析】分析：三次函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，圖形說明二次函數(shù)的零點為－1和2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得. 詳解：，由的圖象知 ， ∴，， ∴， 故答案為1. 【2-3】已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵，∴．令,得,解得，-1．故選B． 【2-4】數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，為函數(shù)的導函數(shù)，則＝ A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】，則；；則. 【領悟技法】 (1)求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． (2)復合函數(shù)求導時，先確定復合關系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元. 【觸類旁通】 【變式一】已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 017(x)等于(　　) A.－sin x－cos x B.sin x－cos x C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x 【答案】D 【變式二】【2018年高考二輪專題復習】設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(2)＝(　　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】因為，所以，令得，解得，所以，故選A. 【變式三】已知函數(shù)為的導函數(shù)，則 （ ） A．0 B．2014 C．2015 D．8 【答案】D 【解析】 因為，所以， 則為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以 ；故選D． 【變式四】【2018屆北京市人大附中十月月考】已知函數(shù)則的值為________. 【答案】1 【易錯試題常警惕】 易錯典例1： (1)若函數(shù)f(x)＝2x3＋a2，則f′(x)＝________． (2)函數(shù)y＝的導函數(shù)為________． 易錯分析：f′(x)＝6x2＋2a.沒弄清函數(shù)中的變量是x，而a只是一個字母常量，其導數(shù)為0. 正確解析：(1)6x2??； (2)y′＝＝. 溫馨提醒：對函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ————近似與精確、有限與無限——無限逼近的極限思想 1.由可以知道，函數(shù)的導數(shù)是函數(shù)的瞬時變化率，函數(shù)的瞬時變化率是平均變化率的極限，充分說明極限是人們從近似中認識精確的數(shù)學方法.極限的實質(zhì)就是無限近似的量，向著有限的目標無限逼近而產(chǎn)生量變導致質(zhì)變的結(jié)果，這是極限的實質(zhì)與精髓，也是導數(shù)的思想及其內(nèi)涵. 2.曲線的切線定義，充分體現(xiàn)了運動變化及無限逼近的思想：“兩個不同的公共點→兩公共點無限接近→兩公共點重合(切點)”“割線→切線”. (1)在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點P處的切線方程和求曲線過點P的切線方程，在點P處的切線，一定是以點P為切點，過點P的切線，不論點P在不在曲線上，點P不一定是切點． 【典例】已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)在點處的切線方程； （Ⅱ）求過點的函數(shù)的切線方程. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【解析】 試題解析：（Ⅰ）∵ ∴在點處的切線的斜率 ∴函數(shù)在點處的切線方程為即 （Ⅱ）設函數(shù)與過點的切線相切于點，則切線的斜率 ∴切線方程為，即 ∵點在切線上 ∴即 ∴，解得或 ∴所求的切線方程為或.